Formule matematică clasa a 11-a — matrice, limite, derivate

Q: Cum găsesc punctele de extrem ale unei funcții?

Calculezi f'(x) , rezolvi f'(x)=0 și faci tabelul de semn al lui f' . Acolo unde f' trece din plus în minus ai un maxim, iar unde trece din minus în plus ai un minim.

Clasa a 11-a are două părți: algebră (matrice, determinanți, sisteme de ecuații liniare) și analiză matematică (limite de șiruri și de funcții, asimptote, continuitate, derivate și studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor). Aceste capitole formează subiectele al II-lea și al III-lea de la Bacalaureat. Mai jos ai formulele esențiale pe capitole, cu linkuri spre explicații și calculatoare pas cu pas.

Capitolele sunt cele din programa de clasa a 11-a în vigoare în 2026–2027. La M2 (științe ale naturii) lipsesc limitele de șiruri și teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange; restul capitolelor sunt comune cu M1.

Algebră

1. Matrice

O matrice este un tablou de numere. Le aduni element cu element și le înmulțești „linie cu coloană”.

\( (A\cdot B)_{ij}=\sum_{k} a_{ik}b_{kj} \); în general \( AB\ne BA \).
\( A\cdot I_n=I_n\cdot A=A \); transpusa \( {}^tA \) schimbă liniile cu coloanele.
Pentru \( A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \): \( A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=O_2 \).
Inversa: \( A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\,A^{*} \), unde \( A^* \) este adjuncta; \( A \) este inversabilă \( \iff \det A\ne 0 \).

→ detalii: matrice inversabilă.

2. Determinanți

\( \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc \).
Ordinul 3: regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie.
\( \det(AB)=\det A\cdot\det B \); \( \det({}^tA)=\det A \); dacă două linii sunt egale, determinantul este 0.
Aria triunghiului \( ABC \): \( \mathcal A=\dfrac{1}{2}|\Delta| \), \( \Delta=\begin{vmatrix}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_C&y_C&1\end{vmatrix} \); \( A,B,C \) coliniare \( \iff \Delta=0 \).

→ detalii: determinanți, distanțe și arii. Calculator: determinant și matrice inversă.

3. Sisteme de ecuații liniare

Regula lui Cramer (sistem cu \( \Delta\ne 0 \)): \( x=\dfrac{\Delta_x}{\Delta} \), \( y=\dfrac{\Delta_y}{\Delta} \), \( z=\dfrac{\Delta_z}{\Delta} \).
Scriere matriceală: \( A\cdot X=B\Rightarrow X=A^{-1}B \).
Metoda lui Gauss: transformi sistemul într-unul triunghiular prin eliminarea succesivă a necunoscutelor.
Sistem omogen: are soluții nenule \( \iff \Delta=0 \).

→ detalii: sisteme de ecuații. Biografii: Gabriel Cramer, Carl Friedrich Gauss.

Analiză matematică

4. Limite de șiruri (M1)

Orice șir monoton și mărginit este convergent (Weierstrass).
\( \lim\limits_{n\to\infty}q^n=0 \) pentru \( |q|\lt 1 \) și \( +\infty \) pentru \( q\gt 1 \).
\( \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e\approx 2{,}718 \).
Criteriul cleștelui: dacă \( a_n\le x_n\le b_n \) și \( a_n,b_n\to\ell \), atunci \( x_n\to\ell \).

→ detalii: șiruri.

5. Limite de funcții. Asimptote

\( \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 \), \( \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1 \), \( \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1 \), \( \lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e \).
Raport de polinoame la \( \pm\infty \): dacă gradele sunt egale, limita este raportul coeficienților dominanți.
Asimptotă orizontală: \( y=\ell \), unde \( \ell=\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x) \) este finită.
Asimptotă verticală: \( x=a \), dacă o limită laterală în \( a \) este \( \pm\infty \).
Asimptotă oblică \( y=mx+n \): \( m=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x} \) (finit, nenul), \( n=\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx) \).

→ detalii: limite remarcabile, asimptote. Calculatoare: limite, asimptote. Biografie: Augustin-Louis Cauchy.

6. Continuitate

\( f \) este continuă în \( a \iff \lim\limits_{x\nearrow a}f(x)=\lim\limits_{x\searrow a}f(x)=f(a) \).
Dacă \( f \) este continuă pe \( [a,b] \) și \( f(a)\cdot f(b)\lt 0 \), ecuația \( f(x)=0 \) are cel puțin o soluție în \( (a,b) \).

7. Derivate

Definiția: \( f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \).
\( (x^n)'=nx^{n-1} \), \( (\sqrt x)'=\dfrac{1}{2\sqrt x} \), \( (e^x)'=e^x \), \( (\ln x)'=\dfrac{1}{x} \), \( (\sin x)'=\cos x \), \( (\cos x)'=-\sin x \).
\( (fg)'=f'g+fg' \), \( \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2} \), \( (f(u))'=f'(u)\cdot u' \).
Tangenta în punctul de abscisă \( a \): \( y-f(a)=f'(a)(x-a) \).

→ detalii: derivate, ecuația tangentei. Calculator: derivate pas cu pas. Biografii: Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz.

8. Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor

\( f'\gt 0 \) pe un interval \( \Rightarrow f \) strict crescătoare; \( f'\lt 0\Rightarrow f \) strict descrescătoare.
\( f''\ge 0\Rightarrow f \) convexă; \( f''\le 0\Rightarrow f \) concavă; punctele de inflexiune sunt unde \( f'' \) își schimbă semnul.
M1 — Fermat: într-un punct de extrem din interiorul intervalului, dacă \( f \) este derivabilă, \( f'(c)=0 \).
M1 — Rolle: \( f(a)=f(b)\Rightarrow \exists c\in(a,b) \) cu \( f'(c)=0 \); Lagrange: \( f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) \).
l'Hôpital: pentru cazurile \( \frac{0}{0} \) și \( \frac{\infty}{\infty} \), \( \lim\dfrac{f}{g}=\lim\dfrac{f'}{g'} \) (dacă ultima limită există).

→ detalii: aplicații ale derivatelor. Biografii: Pierre de Fermat, Michel Rolle, Joseph-Louis Lagrange, Guillaume de l'Hôpital.

Exemple rezolvate

Inversa unei matrice. Pentru \( A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \): \( \det A=4-6=-2\ne 0 \), deci \( A^{-1}=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\ \frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix} \).

Limită la infinit. \( \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+1}{x^2-3}=2 \) (gradele sunt egale, iar raportul coeficienților dominanți este 2), deci \( y=2 \) este asimptotă orizontală spre \( +\infty \).

Extreme. \( f(x)=x^3-3x \): \( f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1 \). \( f' \) este pozitivă pe \( (-\infty,-1) \), negativă pe \( (-1,1) \) și pozitivă pe \( (1,\infty) \), deci \( x=-1 \) este punct de maxim (\( f(-1)=2 \)) și \( x=1 \) punct de minim (\( f(1)=-2 \)).

Tangenta. Pentru \( f(x)=x^2 \) în punctul de abscisă 1: \( f(1)=1 \), \( f'(1)=2 \), deci tangenta este \( y-1=2(x-1) \), adică \( y=2x-1 \).

Ce intră la examen

La Bacalaureatul la matematică, subiectul al II-lea începe de obicei cu o problemă de matrice, determinanți sau sisteme, iar subiectul al III-lea are o problemă cu derivate (tangentă, monotonie, asimptote, inegalități). Toate formulele de examen sunt pe pagina formule Bac M1 și M2.

Întrebări frecvente

Ce formule din clasa a 11-a apar sigur la Bacalaureat? Produsul matricelor, determinantul de ordinul 2 și 3, inversa unei matrice, regula lui Cramer, limitele remarcabile, tabelul de derivate, regulile de derivare și ecuația tangentei. La subiectul al III-lea se cer aproape mereu monotonia și asimptotele unei funcții.

Când o matrice are inversă? O matrice pătratică este inversabilă exact atunci când determinantul ei este diferit de 0. Inversa se calculează cu formula \( A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}A^* \).

Cum găsesc punctele de extrem ale unei funcții? Calculezi \( f'(x) \), rezolvi \( f'(x)=0 \) și faci tabelul de semn al lui \( f' \). Acolo unde \( f' \) trece din plus în minus ai un maxim, iar unde trece din minus în plus ai un minim.

Formule pe clase

clasa a 5-a · clasa a 6-a · clasa a 7-a · clasa a 8-a · clasa a 9-a · clasa a 10-a · clasa a 11-a · clasa a 12-a

Toate formulele, pe domenii: algebră, geometrie și trigonometrie, analiză matematică — sau pagina principală formule matematice.

Formule matematică clasa a 11-a — matrice, determinanți, limite, derivate, pe capitole