Teorema cosinusului afirmă că, în orice triunghi \(ABC\), pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus dublul produsului lor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \). Din ea se obține direct formula pentru unghi, \( \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \). Se folosește când cunoști două laturi și unghiul dintre ele (și vrei a treia latură) sau toate cele trei laturi (și vrei unghiurile). Pentru \( A = 90^\circ \) devine teorema lui Pitagora, de aceea i se mai spune și teorema lui Pitagora generalizată.
Enunțul teoremei cosinusului
Fie \(ABC\) un triunghi oarecare, cu \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\) (fiecare latură este notată cu litera mică a vârfului opus).
Teorema cosinusului. În orice triunghi \(ABC\) au loc relațiile: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A, \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B, \] \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C. \]
Regula de memorare: latura din stânga este cea opusă unghiului care apare în cosinus, iar în produsul \(2bc\) intră exact cele două laturi care formează acel unghi.
Formula pentru unghi. Explicitând cosinusul, obținem: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}, \qquad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}. \]
Deoarece funcția cosinus este strict descrescătoare pe \( [0^\circ, 180^\circ] \), valoarea lui \( \cos A \) determină unghiul \(A\) în mod unic — spre deosebire de teorema sinusului, aici nu există caz ambiguu.
Demonstrație
Cu proiecții. Ducem înălțimea \( CD \perp AB \) (figura de mai sus) și presupunem că \(A\) este ascuțit, deci \(D\) se află pe segmentul \(AB\). În triunghiul dreptunghic \(ADC\): \( AD = b \cos A \) și \( CD = b \sin A \). Atunci \( BD = c - b \cos A \). Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic \(BDC\): \[ a^2 = CD^2 + BD^2 = b^2 \sin^2 A + (c - b \cos A)^2 = b^2 \sin^2 A + c^2 - 2bc \cos A + b^2 \cos^2 A. \] Cum \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), rezultă \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \). Dacă \(A\) este obtuz, \(D\) cade în afara segmentului \(AB\), \( BD = c + b \cos(180^\circ - A) = c - b \cos A \), iar calculul este identic.
Cu vectori (varianta scurtă). Din \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \), ridicând la pătrat scalar: \[ a^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AB}|^2 - 2\, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = b^2 + c^2 - 2bc \cos A. \]
Teorema cosinusului și teorema lui Pitagora
Dacă \( A = 90^\circ \), atunci \( \cos A = 0 \) și relația devine \( a^2 = b^2 + c^2 \) — exact teorema lui Pitagora, cu \(a\) ipotenuză. Termenul \( -2bc \cos A \) este „corecția” necesară atunci când unghiul nu este drept:
- \( A < 90^\circ \Rightarrow \cos A > 0 \Rightarrow a^2 < b^2 + c^2 \);
- \( A = 90^\circ \Rightarrow \cos A = 0 \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 \);
- \( A > 90^\circ \Rightarrow \cos A < 0 \Rightarrow a^2 > b^2 + c^2 \).
Natura triunghiului din semnul cosinusului
Fie \(a\) latura cea mai mare (deci \(A\) este unghiul cel mai mare). Comparând \( a^2 \) cu \( b^2 + c^2 \) aflăm tipul triunghiului fără să calculăm niciun unghi:
- \( a^2 < b^2 + c^2 \) — triunghi ascuțitunghic;
- \( a^2 = b^2 + c^2 \) — triunghi dreptunghic (reciproca teoremei lui Pitagora);
- \( a^2 > b^2 + c^2 \) — triunghi obtuzunghic.
Este suficient să testăm doar unghiul opus laturii celei mai mari: celelalte două sunt sigur ascuțite.
Când se folosește teorema cosinusului
- Cazul LUL (două laturi și unghiul cuprins între ele): a treia latură rezultă direct, \( a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc \cos A} \). Apoi celelalte unghiuri se pot afla fie tot cu teorema cosinusului, fie cu teorema sinusului.
- Cazul LLL (trei laturi): fiecare unghi rezultă din \( \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \). Recomandare: calculează cu teorema cosinusului unghiul cel mai mare (singurul care poate fi obtuz), iar restul cu suma unghiurilor sau cu teorema sinusului.
- Verificarea tipului de triunghi (ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic), după regula de mai sus.
- Diagonalele paralelogramului: într-un paralelogram cu laturile \(x\), \(y\) și unghiul \( \alpha \) dintre ele, diagonalele sunt \( d_1^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos \alpha \) și \( d_2^2 = x^2 + y^2 + 2xy \cos \alpha \), deci \( d_1^2 + d_2^2 = 2(x^2 + y^2) \).
- Lungimea medianei: aplicând teorema cosinusului în cele două triunghiuri formate de mediana \(m_a\), se obține \( m_a^2 = \dfrac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4} \).
- Când cunoști o latură și unghiul opus ei, folosește mai degrabă teorema sinusului; comparația celor două metode este pe pagina Teorema sinusului și teorema cosinusului.
Greșeli frecvente
- Semnul greșit. Formula are minus: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \). Când \(A\) este obtuz, \( \cos A \) este negativ și termenul devine efectiv plus — nu schimba formula, doar înlocuiește valoarea cu semnul ei.
- Unghiul nepotrivit. În \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \), unghiul \(A\) este cel cuprins între \(b\) și \(c\) (adică opus lui \(a\)). Dacă știi unghiul \(B\), scrii relația pentru \(b^2\).
- Uitarea radicalului. Teorema dă \(a^2\); latura este \( a = \sqrt{\ldots} \), iar rezultatul trebuie simplificat (de exemplu \( \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \)).
- Cosinusul unghiurilor uzuale. \( \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \), \( \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} \), \( \cos 90^\circ = 0 \), \( \cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2} \), \( \cos 135^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos 150^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \). Vezi formulele trigonometrice.
- Cosinus în afara intervalului \([-1, 1]\). Dacă din trei laturi obții \( |\cos A| > 1 \), laturile nu formează un triunghi (nu respectă inegalitatea triunghiului) sau ai o greșeală de calcul.
Întrebări frecvente
Care este formula teoremei cosinusului? \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \), unde \(a\) este latura opusă unghiului \(A\), iar \(b\) și \(c\) sunt laturile care formează acest unghi. Relațiile analoge sunt \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \) și \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \).
Cum aflu unghiul cu teorema cosinusului? Explicitezi cosinusul: \( \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \). Dacă valoarea este una uzuală (\( \frac{1}{2} \), \( \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), \(0\) sau opusele lor), citești unghiul din tabel; altfel scrii \( A = \arccos(\ldots) \). Un cosinus negativ înseamnă unghi obtuz.
Ce legătură are teorema cosinusului cu Pitagora? Teorema lui Pitagora este cazul particular \( A = 90^\circ \): atunci \( \cos A = 0 \) și rămâne \( a^2 = b^2 + c^2 \). De aceea teorema cosinusului se mai numește teorema lui Pitagora generalizată, iar semnul termenului \( -2bc \cos A \) arată dacă unghiul este ascuțit sau obtuz.
Pagini înrudite
- Teorema sinusului — \( \dfrac{a}{\sin A} = 2R \), pentru cazurile ULU și LLU.
- Teorema sinusului și teorema cosinusului — comparație: când o folosești pe fiecare.
- Triunghiul dreptunghic — teorema lui Pitagora, teorema înălțimii și a catetei.
- Formule trigonometrice — valorile cosinusului, reducerea la primul cadran.
- Arii, înălțime, apotemă — formulele de arie ale triunghiului.
- Geometrie și trigonometrie — toate formulele capitolului.