Teorema cosinusului — formulă, demonstrație, exemple rezolvate

Teorema cosinusului afirmă că, în orice triunghi $ABC$, pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus dublul produsului lor înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Din ea se obține direct formula pentru unghi, $\cos A={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$. Se folosește când cunoști două laturi și unghiul dintre ele (și vrei a treia latură) sau toate cele trei laturi (și vrei unghiurile). Pentru $A={90}^{\circ }$ devine teorema lui Pitagora, de aceea i se mai spune și teorema lui Pitagora generalizată.

Enunțul teoremei cosinusului

Fie $ABC$ un triunghi oarecare, cu $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ (fiecare latură este notată cu litera mică a vârfului opus).

Teorema cosinusului. În orice triunghi $ABC$ au loc relațiile: $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$ $$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,$$ $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$

Regula de memorare: latura din stânga este cea opusă unghiului care apare în cosinus, iar în produsul $2bc$ intră exact cele două laturi care formează acel unghi.

Formula pentru unghi. Explicitând cosinusul, obținem: $$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac},\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$$

Deoarece funcția cosinus este strict descrescătoare pe $[0^{\circ },{180}^{\circ }]$, valoarea lui $\cos A$ determină unghiul $A$ în mod unic — spre deosebire de teorema sinusului, aici nu există caz ambiguu.

Demonstrație

Cu proiecții. Ducem înălțimea $CD\perp AB$ (figura de mai sus) și presupunem că $A$ este ascuțit, deci $D$ se află pe segmentul $AB$. În triunghiul dreptunghic $ADC$: $AD=b\cos A$ și $CD=b\sin A$. Atunci $BD=c-b\cos A$. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $BDC$: $$a^2=C{D}^2+B{D}^2=b^2{\sin }^{2}A+(c-b\cos A{)}^2=b^2{\sin }^{2}A+c^2-2bc\cos A+b^2{\cos }^{2}A.$$ Cum ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$, rezultă $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Dacă $A$ este obtuz, $D$ cade în afara segmentului $AB$, $BD=c+b\cos ({180}^{\circ }-A)=c-b\cos A$, iar calculul este identic.

Cu vectori (varianta scurtă). Din $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, ridicând la pătrat scalar: $$a^2=|\overrightarrow{AC}{|}^2+|\overrightarrow{AB}{|}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=b^2+c^2-2bc\cos A.$$

Teorema cosinusului și teorema lui Pitagora

Dacă $A={90}^{\circ }$, atunci $\cos A=0$ și relația devine $a^2=b^2+c^2$ — exact teorema lui Pitagora, cu $a$ ipotenuză. Termenul $-2bc\cos A$ este „corecția” necesară atunci când unghiul nu este drept:

• $A<{90}^{\circ }\Rightarrow$ $\cos A>0\Rightarrow a^2<b^2+c^2$;
• $A={90}^{\circ }\Rightarrow$ $\cos A=0\Rightarrow a^2=b^2+c^2$;
• $A>{90}^{\circ }\Rightarrow$ $\cos A<0\Rightarrow a^2>b^2+c^2$.

Natura triunghiului din semnul cosinusului

Fie $a$ latura cea mai mare (deci $A$ este unghiul cel mai mare). Comparând $a^2$ cu $b^2+c^2$ aflăm tipul triunghiului fără să calculăm niciun unghi:

• $a^2<b^2+c^2$ — triunghi ascuțitunghic;
• $a^2=b^2+c^2$ — triunghi dreptunghic (reciproca teoremei lui Pitagora);
• $a^2>b^2+c^2$ — triunghi obtuzunghic.

Este suficient să testăm doar unghiul opus laturii celei mai mari: celelalte două sunt sigur ascuțite.

Când se folosește teorema cosinusului

• Cazul LUL (două laturi și unghiul cuprins între ele): a treia latură rezultă direct, $a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}$. Apoi celelalte unghiuri se pot afla fie tot cu teorema cosinusului, fie cu teorema sinusului.
• Cazul LLL (trei laturi): fiecare unghi rezultă din $\cos A={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$. Recomandare: calculează cu teorema cosinusului unghiul cel mai mare (singurul care poate fi obtuz), iar restul cu suma unghiurilor sau cu teorema sinusului.
• Verificarea tipului de triunghi (ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic), după regula de mai sus.
• Diagonalele paralelogramului: într-un paralelogram cu laturile $x$, $y$ și unghiul $\alpha$ dintre ele, diagonalele sunt $d_1^2=x^2+y^2-2xy\cos \alpha$ și $d_2^2=x^2+y^2+2xy\cos \alpha$, deci $d_1^2+d_2^2=2(x^2+y^2)$.
• Lungimea medianei: aplicând teorema cosinusului în cele două triunghiuri formate de mediana $m_a$, se obține $m_a^2={\displaystyle \frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}}$.
• Când cunoști o latură și unghiul opus ei, folosește mai degrabă teorema sinusului; comparația celor două metode este pe pagina Teorema sinusului și teorema cosinusului.

Greșeli frecvente

• Semnul greșit. Formula are minus: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Când $A$ este obtuz, $\cos A$ este negativ și termenul devine efectiv plus — nu schimba formula, doar înlocuiește valoarea cu semnul ei.
• Unghiul nepotrivit. În $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, unghiul $A$ este cel cuprins între $b$ și $c$ (adică opus lui $a$). Dacă știi unghiul $B$, scrii relația pentru $b^2$.
• Uitarea radicalului. Teorema dă $a^2$; latura este $a=\sqrt{\dots }$, iar rezultatul trebuie simplificat (de exemplu $\sqrt{76}=2\sqrt{19}$).
• Cosinusul unghiurilor uzuale. $\cos {30}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, $\cos {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, $\cos {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $\cos {90}^{\circ }=0$, $\cos {120}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, $\cos {135}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, $\cos {150}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. Vezi formulele trigonometrice.
• Cosinus în afara intervalului $[-1,1]$. Dacă din trei laturi obții $|\cos A|>1$, laturile nu formează un triunghi (nu respectă inegalitatea triunghiului) sau ai o greșeală de calcul.

Întrebări frecvente

Care este formula teoremei cosinusului? $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, unde $a$ este latura opusă unghiului $A$, iar $b$ și $c$ sunt laturile care formează acest unghi. Relațiile analoge sunt $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ și $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.

Cum aflu unghiul cu teorema cosinusului? Explicitezi cosinusul: $\cos A={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$. Dacă valoarea este una uzuală ($\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $0$ sau opusele lor), citești unghiul din tabel; altfel scrii $A=\arccos (\dots )$. Un cosinus negativ înseamnă unghi obtuz.

Ce legătură are teorema cosinusului cu Pitagora? Teorema lui Pitagora este cazul particular $A={90}^{\circ }$: atunci $\cos A=0$ și rămâne $a^2=b^2+c^2$. De aceea teorema cosinusului se mai numește teorema lui Pitagora generalizată, iar semnul termenului $-2bc\cos A$ arată dacă unghiul este ascuțit sau obtuz.

Pagini înrudite

• Teorema sinusului — ${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}=2R$, pentru cazurile ULU și LLU.
• Teorema sinusului și teorema cosinusului — comparație: când o folosești pe fiecare.
• Triunghiul dreptunghic — teorema lui Pitagora, teorema înălțimii și a catetei.
• Formule trigonometrice — valorile cosinusului, reducerea la primul cadran.
• Arii, înălțime, apotemă — formulele de arie ale triunghiului.
• Geometrie și trigonometrie — toate formulele capitolului.