Polinoame — operații, rădăcini, relațiile lui Viète

Q: Cum găsesc rapid o rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi?

Orice rădăcină întreagă divide termenul liber a_0 , deci testezi pe rând divizorii lui a_0 (de exemplu ± 1, ± 2, ) până găsești o valoare în care polinomul se anulează.

Q: Ce înseamnă rădăcină dublă?

Numărul a este rădăcină dublă dacă (X-a)² divide polinomul, adică f(a) = 0 și, după o primă împărțire la X - a , câtul se anulează din nou în a .

Formule

Un polinom cu coeficienți reali este o expresie de forma $f = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}$ , cu $a_{n} \neq 0$ . Polinoamele apar frecvent la Bacalaureat, în probleme despre rădăcini, divizibilitate și relațiile lui Viète, iar stăpânirea câtorva formule de bază rezolvă majoritatea cerințelor.

Gradul și operațiile cu polinoame

Gradul polinomului, notat $grad f$ , este cel mai mare exponent al lui $X$ care are coeficient nenul. La adunare gradul nu poate crește: $grad (f + g) \leq max (grad f, grad g)$ . La înmulțire gradele se adună: $grad (f \cdot g) = grad f + grad g$ . Valoarea polinomului în punctul $a$ se obține înlocuind $X$ cu $a$ : $f (a)$ .

Teorema împărțirii cu rest

Pentru orice polinoame $f$ și $g \neq 0$ există și sunt unice câtul $q$ și restul $r$ astfel încât $f = g \cdot q + r$ , cu $grad r < grad g$ . Un caz special foarte util: restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este chiar $f (a)$ .

Rădăcini și teorema lui Bézout

Numărul $a$ este rădăcină a polinomului $f$ dacă $f (a) = 0$ . Teorema lui Bézout leagă rădăcinile de divizibilitate: $a$ este rădăcină a lui $f$ dacă și numai dacă $X - a$ divide $f$ . Un polinom de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini reale.

Relațiile lui Viète

Pentru ecuația de gradul al II-lea $a x^{2} + b x + c = 0$ cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}$ avem $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ și $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ . Pentru ecuația de gradul al III-lea $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ relațiile sunt: $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a}$ și $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$ . O identitate des folosită: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} =$ $(x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2} -$ $2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3})$ .

Întrebări frecvente

Cum găsesc rapid o rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi? Orice rădăcină întreagă divide termenul liber $a_{0}$ , deci testezi pe rând divizorii lui $a_{0}$ (de exemplu $\pm 1, \pm 2, \dots$ ) până găsești o valoare în care polinomul se anulează.

Ce înseamnă rădăcină dublă? Numărul $a$ este rădăcină dublă dacă $(X - a)^{2}$ divide polinomul, adică $f (a) = 0$ și, după o primă împărțire la $X - a$ , câtul se anulează din nou în $a$ .

Istoric: François Viète (1540 – 1603) — a legat rădăcinile unui polinom de coeficienții lui, prin relațiile care îi poartă numele.

Exersează: fișă de lucru printabilă — polinoame, clasa a 12-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Verifică-te: 3 întrebări

Restul împărțirii polinomului $f$ la $X - a$ este:

$f (a)$
$f (- a)$
$0$

Restul împărțirii lui $f = X^{3} - 2 X + 5$ la $X - 2$ este:

Restul împărțirii lui $f = X^{2} + 3 X + 4$ la $X + 1$ este:

Exemple

Exemple rezolvate

Problemă (model Bacalaureat): Se consideră polinomul $f = X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ , cu rădăcinile $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ . Calculați $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ și determinați rădăcinile polinomului.

Rezolvare: Din relațiile lui Viète, pentru $a = 1, b = - 6, c = 11, d = - 6$ , obținem $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6$ , $x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 11$ și $x_{1} x_{2} x_{3} = 6$ . Atunci $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} =$ $(x_{1} + x_{2} + x_{3})^{2} -$ $2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) =$ $6^{2} - 2 \cdot 11 = 36 - 22 = 14$ . Pentru rădăcini, observăm că $f (1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ , deci $X - 1$ divide $f$ . Împărțind, obținem $f = (X - 1) (X^{2} - 5 X + 6) =$ $(X - 1) (X - 2) (X - 3)$ , deci rădăcinile sunt $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ , $x_{3} = 3$ . Verificare: $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 1 + 4 + 9 = 14$ .

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →