Un polinom cu coeficienți reali este o expresie de forma \( f = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_1X + a_0 \), cu \( a_n \neq 0 \). Polinoamele apar frecvent la Bacalaureat, în probleme despre rădăcini, divizibilitate și relațiile lui Viète, iar stăpânirea câtorva formule de bază rezolvă majoritatea cerințelor.
Gradul și operațiile cu polinoame
Gradul polinomului, notat \( \operatorname{grad} f \), este cel mai mare exponent al lui \( X \) care are coeficient nenul. La adunare gradul nu poate crește: \( \operatorname{grad}(f+g) \le \max(\operatorname{grad} f, \operatorname{grad} g) \). La înmulțire gradele se adună: \( \operatorname{grad}(f \cdot g) = \operatorname{grad} f + \operatorname{grad} g \). Valoarea polinomului în punctul \( a \) se obține înlocuind \( X \) cu \( a \): \( f(a) \).
Teorema împărțirii cu rest
Pentru orice polinoame \( f \) și \( g \neq 0 \) există și sunt unice câtul \( q \) și restul \( r \) astfel încât \( f = g \cdot q + r \), cu \( \operatorname{grad} r < \operatorname{grad} g \). Un caz special foarte util: restul împărțirii lui \( f \) la \( X - a \) este chiar \( f(a) \).
Rădăcini și teorema lui Bézout
Numărul \( a \) este rădăcină a polinomului \( f \) dacă \( f(a) = 0 \). Teorema lui Bézout leagă rădăcinile de divizibilitate: \( a \) este rădăcină a lui \( f \) dacă și numai dacă \( X - a \) divide \( f \). Un polinom de grad \( n \) are cel mult \( n \) rădăcini reale.
Relațiile lui Viète
Pentru ecuația de gradul al II-lea \( ax^2 + bx + c = 0 \) cu rădăcinile \( x_1, x_2 \) avem \( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \) și \( x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} \). Pentru ecuația de gradul al III-lea \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) cu rădăcinile \( x_1, x_2, x_3 \) relațiile sunt: \( x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a} \), \( x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \dfrac{c}{a} \) și \( x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a} \). O identitate des folosită: \( x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3) \).
Întrebări frecvente
Cum găsesc rapid o rădăcină întreagă a unui polinom cu coeficienți întregi? Orice rădăcină întreagă divide termenul liber \( a_0 \), deci testezi pe rând divizorii lui \( a_0 \) (de exemplu \( \pm 1, \pm 2, \dots \)) până găsești o valoare în care polinomul se anulează.
Ce înseamnă rădăcină dublă? Numărul \( a \) este rădăcină dublă dacă \( (X-a)^2 \) divide polinomul, adică \( f(a) = 0 \) și, după o primă împărțire la \( X - a \), câtul se anulează din nou în \( a \).