Calculator simplificare fracții și operații cu fracții — cmmdc, pas cu pas

A simplifica o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul la același număr, până când nu mai au niciun divizor comun în afară de 1. Calculatorul de mai sus găsește cel mai mare divizor comun prin algoritmul lui Euclid, îl verifică prin descompunere în factori primi și simplifică fracția dintr-un singur pas, până la forma ireductibilă. În al doilea tab poți aduna, scădea, înmulți și împărți două fracții, cu aducerea la numitor comun (cmmmc), amplificare și simplificarea rezultatului, totul pas cu pas.

Cum se simplifică o fracție

Fracția \(\dfrac{a}{b}\) se simplifică prin \(d\) dacă \(d\) divide atât pe \(a\), cât și pe \(b\): \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{a : d}{b : d}\). Valoarea fracției nu se schimbă. Ca să ajungi direct la fracția ireductibilă, simplifici prin \(d = \text{cmmdc}(a, b)\). Regulile complete pentru fracții (amplificare, comparare, operații) sunt pe pagina fracții, iar metodele de calcul pentru divizori și multipli pe pagina cmmdc și cmmmc.

Algoritmul lui Euclid

Împarți numărul mai mare la cel mai mic și reții restul; apoi împarți împărțitorul la rest și continui până când restul devine 0. Ultimul rest nenul este cmmdc. Pentru \(\dfrac{84}{126}\):

\[ 126 = 84 \cdot 1 + 42, \qquad 84 = 42 \cdot 2 + 0 \quad \Rightarrow \quad \text{cmmdc}(84, 126) = 42, \]

deci \(\dfrac{84}{126} = \dfrac{84 : 42}{126 : 42} = \dfrac{2}{3}\). Algoritmul este foarte rapid chiar și pentru numere cu zeci de cifre, unde descompunerea în factori ar fi greu de făcut de mână.

Prin descompunere în factori primi

Descompui ambele numere: \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\) și \(126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7\). Cmmdc este produsul factorilor comuni, luați la puterea cea mai mică: \(2 \cdot 3 \cdot 7 = 42\). Pentru a găsi rapid divizorii, folosește criteriile de divizibilitate.

Operații cu fracții

• Adunare și scădere: aduci fracțiile la același numitor — cel mai mic multiplu comun al numitorilor, \(\text{cmmmc}(b, d) = \dfrac{b \cdot d}{\text{cmmdc}(b, d)}\) — amplifici fiecare fracție, apoi aduni sau scazi numărătorii. Exemplu: \(\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{18} = \dfrac{21}{36} + \dfrac{10}{36} = \dfrac{31}{36}\).
• Înmulțire: numărătorul cu numărătorul, numitorul cu numitorul: \(\dfrac{4}{15} \cdot \dfrac{25}{8} = \dfrac{100}{120} = \dfrac{5}{6}\). Merită să simplifici „în cruce” înainte de a înmulți.
• Împărțire: înmulțești cu inversa celei de-a doua fracții: \(\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{10} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{10}{9} = \dfrac{30}{36} = \dfrac{5}{6}\). Împărțirea la 0 nu are sens.

Rezultatul se scrie ca fracție ireductibilă, iar când numărătorul este mai mare decât numitorul și ca număr mixt (\(\dfrac{7}{3} = 2\tfrac{1}{3}\)). Calculatorul afișează și forma zecimală: finită (\(\dfrac{3}{8} = 0{,}375\)) sau periodică (\(\dfrac{1}{6} = 0{,}1(6)\)).

Greșeli frecvente

• Simplificarea „pe bucăți” la sume. În \(\dfrac{2 + 6}{2}\) nu poți tăia doar 2 cu 2; se simplifică factorii, nu termenii.
• Adunarea numitorilor. \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}\); corect este \(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}\).
• Simplificare incompletă. \(\dfrac{12}{18} = \dfrac{6}{9}\) nu este încă ireductibilă; prin cmmdc = 6 ajungi direct la \(\dfrac{2}{3}\).
• Semnul minus. \(\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}\), iar \(\dfrac{-a}{-b} = \dfrac{a}{b}\).

Fracțiile apar și în problemele de proporționalitate — vezi calculatorul pentru regula de trei simplă — și în cele cu procente, unde \(p\% = \dfrac{p}{100}\): calculatorul de procente.

Întrebări frecvente

Cum aflu dacă o fracție este ireductibilă? Calculezi cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului. Dacă acesta este 1 (numerele sunt prime între ele), fracția este ireductibilă. De exemplu, \(\dfrac{8}{15}\) este ireductibilă, pentru că 8 și 15 nu au divizori comuni în afară de 1.

Cum simplific o fracție cu numere mari? Folosești algoritmul lui Euclid: împărțiri repetate cu rest, până când restul este 0. Ultimul rest nenul este cmmdc, iar prin el simplifici o singură dată. Calculatorul acceptă numere oricât de mari.

Cum adun două fracții cu numitori diferiți? Afli cmmmc al numitorilor, amplifici fiecare fracție astfel încât să aibă acest numitor, aduni numărătorii și simplifici rezultatul. De exemplu, \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}\).

Cum transform o fracție în număr mixt? Împarți numărătorul la numitor: câtul este partea întreagă, iar restul devine noul numărător. \(\dfrac{17}{5}\): \(17 = 5 \cdot 3 + 2\), deci \(\dfrac{17}{5} = 3\tfrac{2}{5}\).