La dobânda simplă dobânda se calculează mereu la suma inițială: \( D=\dfrac{S\cdot p\cdot t}{100} \), unde \( p \) este procentul anual și \( t \) numărul de ani. La dobânda compusă dobânda fiecărui an se adaugă la sumă și produce la rândul ei dobândă: după \( n \) ani suma devine \( S_n=S_0\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n \). Pentru aceeași sumă, același procent și cel puțin 2 ani, dobânda compusă aduce mai mult.
Dobânda simplă — formula
Pentru o sumă depusă \( S \), cu dobânda anuală de \( p\% \), pe o perioadă de \( t \) ani:
- dacă timpul este dat în luni: \( t=\dfrac{\text{luni}}{12} \), deci \( D=\dfrac{S\cdot p\cdot \text{luni}}{1200} \);
- dacă timpul este dat în zile, se folosește de regulă anul comercial de 360 de zile: \( t=\dfrac{\text{zile}}{360} \).
Din aceeași formulă afli orice mărime necunoscută:
Dobânda simplă este proporțională cu suma, cu procentul și cu timpul, deci problemele se pot rezolva și cu regula de trei simplă. Sumele obținute după 1, 2, 3, … ani formează o progresie aritmetică cu rația \( \dfrac{S\cdot p}{100} \).
Dobânda compusă — formula
La dobânda compusă, la sfârșitul fiecărui an dobânda se capitalizează (se adaugă la sumă). Pornind de la \( S_0 \), cu \( p\% \) pe an:
Sumele \( S_0, S_1, S_2, \dots \) formează o progresie geometrică cu rația \( q=1+\dfrac{p}{100} \). Pentru calculul puterilor vezi formulele cu puteri. Dacă se cere procentul, extragi radical: \( 1+\dfrac{p}{100}=\sqrt[n]{\dfrac{S_n}{S_0}} \).
Dacă dobânda se capitalizează de \( k \) ori pe an (de exemplu lunar, \( k=12 \)), formula devine \( S_n=S_0\left(1+\dfrac{p}{100k}\right)^{kn} \).
Comparație: dobânda simplă vs. dobânda compusă
Suma inițială \( S_0=1000 \) lei, dobândă \( 10\% \) pe an:
| Anul | Dobândă simplă: suma | Dobândă compusă: suma | Diferența |
|---|---|---|---|
| 1 | 1100 lei | 1100 lei | 0 |
| 2 | 1200 lei | 1210 lei | 10 lei |
| 3 | 1300 lei | 1331 lei | 31 lei |
| 4 | 1400 lei | 1464,10 lei | 64,10 lei |
| 5 | 1500 lei | 1610,51 lei | 110,51 lei |
| Dobânda simplă | Dobânda compusă | |
|---|---|---|
| Se calculează la | suma inițială, în fiecare an | suma de la începutul anului (cu dobânzile anterioare) |
| Suma după \( n \) ani | \( S_0\left(1+\dfrac{p\,n}{100}\right) \) | \( S_0\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n \) |
| Creștere | liniară (progresie aritmetică) | exponențială (progresie geometrică) |
| Unde apare | clasele a 6-a – a 8-a, Evaluare Națională | clasa a 8-a, clasa a 10-a (matematici financiare), Bac M2 |
În primul an cele două dobânzi sunt egale; din anul al doilea dobânda compusă este mai mare, deoarece \( (1+r)^n\gt 1+nr \) pentru \( r\gt 0 \), \( n\ge 2 \) (inegalitatea lui Bernoulli). O regulă practică (aproximativă): la dobânda compusă de \( p\% \), suma se dublează în aproximativ \( \dfrac{72}{p} \) ani; de exemplu, la \( 8\% \), în circa 9 ani (\( 1{,}08^9\approx 2 \)).
Greșeli frecvente
- Procentul folosit ca număr întreg în formula compusă: \( 5\% \) înseamnă factorul \( 1{,}05 \), nu \( 5 \) sau \( 1{,}5 \).
- Timpul în luni introdus ca ani: 8 luni înseamnă \( t=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3} \) ani.
- Confuzia între dobândă și suma finală: \( D \) este doar câștigul; suma finală este \( S+D \).
- Dobânda compusă calculată ca simplă: \( 10\% \) pe 2 ani înseamnă \( +21\% \), nu \( +20\% \).
Formulele generale cu procente, scumpiri, ieftiniri și TVA sunt pe pagina matematici financiare și la rapoarte, proporții și procente. Calculele cu procente le poți verifica cu calculatorul de procente.
Întrebări frecvente
Care este diferența dintre dobânda simplă și dobânda compusă? La dobânda simplă dobânda se calculează în fiecare an doar la suma inițială, deci este aceeași în fiecare an. La dobânda compusă dobânda se adaugă la sumă la sfârșitul fiecărui an, iar în anul următor se calculează la suma mărită.
Care este formula dobânzii simple? \( D=\dfrac{S\cdot p\cdot t}{100} \), unde \( S \) este suma depusă, \( p \) procentul anual și \( t \) timpul în ani. Pentru luni folosești \( t=\dfrac{\text{luni}}{12} \).
Care este formula dobânzii compuse? Suma după \( n \) ani este \( S_n=S_0\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n \), iar dobânda totală este \( S_n-S_0 \).
Care dobândă este mai avantajoasă pentru cel care economisește? Dobânda compusă, pentru perioade de cel puțin 2 ani, la același procent. De exemplu, 1000 de lei la \( 10\% \) devin în 5 ani 1500 de lei cu dobândă simplă și 1610,51 lei cu dobândă compusă.