Calculator radicali — scoaterea factorilor de sub radical, introducere, raționalizare (pas cu pas)

Calculatorul de mai sus lucrează exact, ca la tablă: descompune numerele în factori primi, scoate factorii de sub radical, introduce factori sub radical, adună și scade radicali asemenea, înmulțește și împarte radicali și raționalizează numitorul cu conjugata. Fiecare pas este scris în formă matematică, iar la final primești rezultatul simplificat și valoarea aproximativă cu zecimale.

Scoaterea factorilor de sub radical

Pentru \(a, b \ge 0\) avem \(\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}\). Metoda sigură: descompui numărul de sub radical în factori primi și grupezi factorii câte doi (pentru radicalul de ordinul 2), câte trei (pentru radicalul de ordinul 3) și așa mai departe. Fiecare grup iese în fața radicalului ca un singur factor, iar ce nu formează grup rămâne sub radical:

\[ \sqrt{72} = \sqrt{2^3 \cdot 3^2} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}. \]

La radicalul de ordinul 3: \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}\). Dacă toți exponenții rămași au un divizor comun cu ordinul, se simplifică și ordinul: \(\sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt{2}\). Proprietățile folosite sunt cele ale puterilor, iar pentru descompunerea rapidă ajută criteriile de divizibilitate. Toate regulile de calcul cu radicali sunt adunate pe pagina radicali — proprietăți și raționalizare.

Introducerea factorilor sub radical

Operația inversă: un factor pozitiv intră sub radical ridicat la puterea egală cu ordinul radicalului, \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) și \(a\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a^3 b}\). Exemplu: \(3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}\). Așa compari ușor doi radicali: \(3\sqrt{2} = \sqrt{18}\) și \(2\sqrt{5} = \sqrt{20}\), deci \(3\sqrt{2} < 2\sqrt{5}\). Atenție la semn: la ordin par minusul rămâne în față, \(-2\sqrt{5} = -\sqrt{20}\); la ordin impar poate intra, \(-2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{-24}\).

Operații cu radicali

Adunare și scădere

Se adună doar radicalii asemenea (același ordin și același număr sub radical), adunând coeficienții. De aceea mai întâi scoți factorii de sub radical:

\[ 2\sqrt{3} + 5\sqrt{12} - \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 10\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}. \]

Înmulțire și împărțire

Coeficienții se înmulțesc între ei, iar numerele de sub radical între ele: \(2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{12} = 10\sqrt{36} = 60\), iar \(\sqrt{72} : \sqrt{8} = \sqrt{9} = 3\). Dacă ordinele diferă, aduci radicalii la un ordin comun: \(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt[6]{2^2} \cdot \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{32}\). Pentru paranteze folosești formulele de calcul prescurtat: \((\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}\).

Raționalizarea numitorului

• Numitor \(\sqrt{b}\): amplifici cu \(\sqrt{b}\): \(\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\).
• Numitor \(\sqrt[3]{b}\): amplifici cu radicalul care completează un cub: \(\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}} = \dfrac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = \sqrt[3]{2}\).
• Numitor \(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}\) sau \(c \pm \sqrt{b}\): amplifici cu conjugata (aceiași termeni, semnul din mijloc schimbat) și folosești \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\):

\[ \dfrac{10}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \dfrac{10(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{7 - 2} = 2\sqrt{7} + 2\sqrt{2}, \qquad \dfrac{4}{3 - \sqrt{5}} = \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = 3 + \sqrt{5}. \]

Dacă ai nevoie să simplifici fracția obținută, vezi și calculatorul de simplificare a fracțiilor.

Greșeli frecvente

• Radicalul unei sume. \(\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\), nu \(\sqrt{16} + \sqrt{9} = 7\). Radicalul se „împarte” doar la produse și câturi.
• Adunarea radicalilor diferiți. \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}\); termenii cu radicali diferiți nu se adună.
• Scoaterea incompletă. \(\sqrt{72} = 3\sqrt{8}\) nu este forma finală; \(3\sqrt{8} = 6\sqrt{2}\). Descompunerea în factori primi evită greșeala.
• Conjugata greșită. Pentru \(\sqrt{7} - \sqrt{2}\) conjugata este \(\sqrt{7} + \sqrt{2}\), nu \(-\sqrt{7} - \sqrt{2}\), și trebuie înmulțit și numărătorul.
• Modulul. \(\sqrt{a^2} = |a|\), deci \(\sqrt{(-3)^2} = 3\).

Întrebări frecvente

Cum scot factorii de sub radical? Descompui numărul în factori primi și grupezi factorii egali câte doi (la radicalul de ordinul 2) sau câte trei (la ordinul 3). Fiecare grup iese în fața radicalului ca un singur factor: \(\sqrt{50} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\).

Când pot aduna doi radicali? Doar când sunt asemenea, adică au același ordin și același număr sub radical după simplificare. Atunci aduni coeficienții: \(\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\).

Ce este conjugata unui numitor? Pentru \(a + \sqrt{b}\) conjugata este \(a - \sqrt{b}\), iar pentru \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) este \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\). Produsul lor nu mai conține radical: \((\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b\).

De ce se raționalizează numitorul? Prin convenție, rezultatul final se scrie fără radical la numitor. Forma raționalizată se compară și se adună mai ușor cu alte expresii, iar la Evaluarea Națională și la Bacalaureat rezultatul este așteptat în această formă.