Euclid — biografie și contribuții în matematică

Euclid a fost un matematician grec care a lucrat la Alexandria în jurul anului 300 î.Hr. și a scris Elementele, probabil cea mai influentă carte de matematică din istorie. Geometria plană din gimnaziu, cmmdc-ul calculat prin împărțiri repetate și demonstrația că numerele prime sunt infinite pornesc, toate, din opera lui.

Viața

Despre viața lui Euclid se știu foarte puține lucruri sigure. Sursele antice târzii, mai ales comentatorul Proclus (secolul al V-lea d.Hr.), îl plasează la Alexandria, în Egipt, pe vremea regelui Ptolemeu I, adică în jurul anului 300 î.Hr. Este probabil să se fi format în tradiția Academiei lui Platon din Atena și să fi predat la Alexandria, oraș care devenise, prin Muzeion și celebra sa Bibliotecă, centrul științific al lumii elenistice. Nu cunoaștem nici locul nașterii, nici data morții; de aceea este numit adesea „Euclid din Alexandria”, ca să nu fie confundat cu filozoful Euclid din Megara.

Pe lângă Elemente, i se atribuie lucrări de optică (Optica), astronomie (Fenomenele), teoria muzicii și o culegere de probleme numită Data („Datele”). Câteva dintre scrierile lui s-au pierdut.

Contribuții în matematică

Elementele și metoda axiomatică

Elementele cuprind 13 cărți: geometria plană (cărțile I–VI), aritmetica și teoria numerelor (VII–IX), mărimile incomensurabile (X) și geometria în spațiu (XI–XIII). Noutatea nu a fost descoperirea fiecărui rezultat — multe erau cunoscute înainte, de la Thales, de la pitagoreici sau de la Eudoxus — ci organizarea lor. Euclid pornește de la definiții, cinci postulate și câteva „noțiuni comune” (axiome) și deduce totul prin demonstrații, propoziție după propoziție. Este modelul după care se construiește și astăzi orice teorie matematică.

Al cincilea postulat, al paralelelor, este echivalent cu afirmația că printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură paralelă la acea dreaptă. Timp de secole, matematicienii au încercat să-l deducă din celelalte postulate; abia în secolul al XIX-lea, János Bolyai și Nikolai Lobacevski au arătat că există geometrii coerente în care el nu este adevărat.

Algoritmul lui Euclid

În cartea a VII-a apare metoda de aflare a celui mai mare divizor comun prin împărțiri repetate: împarți numărul mai mare la cel mai mic, apoi împărțitorul la rest și tot așa, până când restul devine 0. Ultimul rest nenul este cmmdc-ul. Metoda se bazează pe faptul că, dacă \( a = b \cdot q + r \), atunci

\[ (a, b) = (b, r). \]

De exemplu, pentru 252 și 105: \( 252 = 2 \cdot 105 + 42 \), \( 105 = 2 \cdot 42 + 21 \), \( 42 = 2 \cdot 21 + 0 \), deci \( (252, 105) = 21 \). Este unul dintre cei mai vechi algoritmi folosiți și azi, inclusiv în programele de calculator.

Infinitatea numerelor prime

În cartea a IX-a, Euclid arată că nu există un cel mai mare număr prim. Ideea, scrisă în limbaj modern: dacă \( p_1, p_2, \dots, p_n \) ar fi toate numerele prime, atunci numărul

\[ N = p_1 \cdot p_2 \cdots p_n + 1 \]

dă restul 1 la împărțirea cu fiecare dintre ele, deci are un divizor prim care nu se află pe listă — contradicție. Este un exemplu clasic de raționament prin reducere la absurd.

Alte rezultate

Tot în Elemente găsim o demonstrație a teoremei lui Pitagora (cartea I, propoziția 47), construcțiile cu rigla și compasul, teoria proporțiilor și a asemănării, lema după care un număr prim care divide un produs divide măcar unul dintre factori și construcția celor cinci poliedre regulate.

Unde îl întâlnești la școală

• Clasele V–VI: divizibilitate, numere prime și compuse și cmmdc și cmmmc, unde algoritmul lui Euclid este o alternativă la descompunerea în factori primi.
• La fracții, aducerea la forma ireductibilă înseamnă împărțirea la cmmdc; poți verifica rezultatul cu calculatorul de simplificare a fracțiilor, care afișează pașii algoritmului lui Euclid.
• Geometria din clasele VI–VIII urmează structura euclidiană: elementele de geometrie, axioma paralelelor, congruența și asemănarea triunghiurilor.
• În triunghiul dreptunghic: teorema lui Pitagora și teorema înălțimii și teorema catetei, ambele demonstrate în Elemente.

Curiozități

• Se spune că regele Ptolemeu I l-a întrebat dacă există o cale mai scurtă spre geometrie decât Elementele, iar Euclid i-ar fi răspuns că „nu există drum regal către geometrie”. Anecdota apare la Proclus, la multe secole după Euclid.
• Elementele au fost traduse în arabă și apoi în latină, iar prima ediție tipărită a apărut la Veneția, în 1482. Sunt considerate una dintre cele mai editate cărți din toate timpurile.
• „Geometria euclidiană” este numele dat azi geometriei care acceptă postulatul paralelelor — adică exact geometria pe care o înveți la școală.

Vezi și: Arhimede, care a continuat la Siracuza tradiția matematică a Alexandriei, și Heron din Alexandria.

Întrebări frecvente

Când a trăit Euclid? A activat la Alexandria în jurul anului 300 î.Hr., în timpul domniei lui Ptolemeu I. Datele exacte ale nașterii și morții sale nu sunt cunoscute.

Ce este algoritmul lui Euclid? Este metoda de aflare a cmmdc-ului a două numere prin împărțiri repetate: împarți de fiecare dată împărțitorul la rest, iar ultimul rest diferit de 0 este cel mai mare divizor comun.

Câte cărți au Elementele lui Euclid? Elementele au 13 cărți, care tratează geometria plană, teoria numerelor, mărimile incomensurabile și geometria în spațiu, inclusiv cele cinci poliedre regulate.

Vezi și: Carl Friedrich Gauss, Georg Cantor, Gheorghe Țițeica · toți matematicienii

Sursa: wikipedia.org