Ordinea efectuării operațiilor: reguli și exemple

Q: Ce se calculează mai întâi, puterea sau înmulțirea?

Puterea. În 3 · 2³ calculezi întâi 2³ = 8 , apoi 3 · 8 = 24 .

Formule

Ordinea efectuării operațiilor: întâi calculezi ce este în paranteze (de la cele rotunde spre acolade), apoi ridicările la putere, apoi înmulțirile și împărțirile în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta, și la final adunările și scăderile, tot de la stânga la dreapta. Înmulțirea și împărțirea au aceeași prioritate, la fel adunarea și scăderea.

Regulile ordinii operațiilor

Operațiile se împart în trei trepte (ordine):

Prioritate	Operații	Cum se efectuează
1	ridicarea la putere	prima, înaintea înmulțirii
2	înmulțirea și împărțirea (ordinul II)	în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta
3	adunarea și scăderea (ordinul I)	în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta

Parantezele schimbă ordinea: ce este într-o paranteză se calculează înaintea a tot ce este în afara ei. Când parantezele sunt una în alta, se lucrează din interior spre exterior:

paranteze rotunde () \to paranteze drepte [] \to acolade {}

În interiorul fiecărei paranteze se respectă aceleași reguli: puteri, apoi înmulțiri și împărțiri, apoi adunări și scăderi.

De ce contează „de la stânga la dreapta”

Înmulțirea și împărțirea au aceeași prioritate, deci nu faci întâi toate înmulțirile. Exemplu:

100 : 5 \cdot 2 = 20 \cdot 2 = 40, nu 100 : 10 = 10

La fel la scădere: $20 - 5 + 3 = 15 + 3 = 18$ , nu $20 - 8 = 12$ . Dacă vrei altă ordine, trebuie să pui paranteze: $20 - (5 + 3) = 12$ .

Puteri, semne și fracții — cazuri speciale

Puterea se aplică doar bazei lipite de ea: $2 \cdot 3^{2} = 2 \cdot 9 = 18$ , nu $6^{2} = 36$ .
Exponent de exponent: $2^{3^{2}} = 2^{9} = 512$ (se calculează întâi exponentul de sus), în timp ce ${(2^{3})}^{2} = 2^{6} = 64$ . Regulile de calcul sunt pe pagina puteri.
Numere întregi (clasa a 6-a): $- 3^{2} = - 9$ , pentru că puterea se aplică lui 3, nu lui $- 3$ ; în schimb $(- 3)^{2} = 9$ .
Bara de fracție se comportă ca o paranteză: $\frac{12 + 8}{4} = 20 : 4 = 5$ .
Împărțirea la 0 nu are sens; $0 : 7 = 0$ , dar $7 : 0$ nu se poate efectua.

Cum rezolvi un exercițiu lung, pas cu pas

Găsește paranteza cea mai din interior și calculează-o complet.
Rescrie exercițiul cu rezultatul în locul parantezei (nu sări peste rânduri).
Repetă până dispar toate parantezele.
Calculează puterile, apoi înmulțirile/împărțirile, apoi adunările/scăderile, de la stânga la dreapta.

Exemplu complet:

\begin{aligned} {[(15 - 3 \cdot 2)^{2} - 1] : 8 + 6} \cdot 2 & = {[9^{2} - 1] : 8 + 6} \cdot 2 \\ = {80 : 8 + 6} \cdot 2 \\ = 16 \cdot 2 = 32 \end{aligned}

Greșeli frecvente

Adunarea făcută înaintea înmulțirii: $5 + 3 \cdot 4 = 5 + 12 = 17$ , nu $8 \cdot 4 = 32$ .
Toate înmulțirile înaintea împărțirilor: $36 : 6 \cdot 3 = 18$ , nu $36 : 18 = 2$ .
Puterea aplicată unui produs fără paranteză: $2 \cdot 5^{2} = 50$ , nu $10^{2} = 100$ .
Semnul minus și puterea: $- 2^{4} = - 16$ , dar $(- 2)^{4} = 16$ .
Paranteze scăpate la rescriere: când copiezi exercițiul de pe un rând pe altul, păstrează toate parantezele care nu au fost încă calculate.

Pentru exersare: fișa operații cu numere naturale clasa a 5-a, fișa puteri clasa a 5-a, fișa numere întregi clasa a 6-a și fișa operații cu numere reale clasa a 7-a. Pentru calculele cu fracții vezi fracții; ordinea operațiilor se folosește și în metodele aritmetice.

Întrebări frecvente

Ce se face prima dată, înmulțirea sau împărțirea? Niciuna nu are prioritate față de cealaltă: se efectuează în ordinea în care apar în exercițiu, de la stânga la dreapta. De exemplu $24 : 4 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$ .

Ce se calculează mai întâi, puterea sau înmulțirea? Puterea. În $3 \cdot 2^{3}$ calculezi întâi $2^{3} = 8$ , apoi $3 \cdot 8 = 24$ .

În ce ordine se rezolvă parantezele? Din interior spre exterior: întâi parantezele rotunde, apoi cele drepte, apoi acoladele. În fiecare paranteză se respectă ordinea obișnuită a operațiilor.

Adunarea are prioritate față de scădere? Nu. Adunările și scăderile se fac în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta: $10 - 4 + 2 = 8$ , nu $10 - 6 = 4$ .

Verifică-te: 3 întrebări

Cât este $10 - 2 \cdot 3$ ?

Cât este $24 : 4 \cdot 2$ ?

Cât este $2 \cdot 3^{2}$ ?

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — fără paranteze

Calculați $48 - 6 \cdot 5 + 12 : 4$ .

Rezolvare: Întâi înmulțirea și împărțirea: $6 \cdot 5 = 30$ , $12 : 4 = 3$ . Apoi, de la stânga la dreapta: $48 - 30 + 3 = 18 + 3 = 21$ .

Exemplul 2 — cu puteri

Calculați $2 \cdot 3^{2} + 4^{3} : 8 - 5$ .

Rezolvare: Puterile: $3^{2} = 9$ , $4^{3} = 64$ . Apoi $2 \cdot 9 = 18$ , $64 : 8 = 8$ . La final $18 + 8 - 5 = 21$ .

Exemplul 3 — paranteze rotunde, drepte și acolade

Calculați $5 + 2 \cdot {3 \cdot [40 - (2^{3} + 4) \cdot 3] - 5}$ .

Rezolvare:

\begin{aligned} 5 + 2 \cdot {3 \cdot [40 - (8 + 4) \cdot 3] - 5} & = 5 + 2 \cdot {3 \cdot [40 - 36] - 5} \\ = 5 + 2 \cdot {3 \cdot 4 - 5} \\ = 5 + 2 \cdot 7 = 19 \end{aligned}

Exemplul 4 — numere întregi (clasa a 6-a)

Calculați $- 3^{2} + (- 2)^{3} - (- 1)^{2026}$ .

Rezolvare: $- 3^{2} = - 9$ (puterea se aplică lui 3), $(- 2)^{3} = - 8$ (exponent impar), $(- 1)^{2026} = 1$ (exponent par). Deci $- 9 + (- 8) - 1 = - 18$ .

Exemplul 5 — cu fracții

Calculați $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$ .

Rezolvare: Întâi înmulțirea: $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ . Apoi $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ . Dacă adunai întâi, obțineai greșit $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{5}{8}$ .

Exerciții

Exerciții propuse

$75 - 5 \cdot (18 - 3 \cdot 4)$
$3^{4} : 9 - 2^{5} : 4 + 7 \cdot 0$
$1200 : [2 \cdot (50 - 5 \cdot 6) + 20]$
${[(2^{4} - 6) \cdot 3 + 10] : 8}^{2}$
$36 : 6 \cdot 3 - 3 \cdot 6 : 2$
$2 + 3 \cdot [5^{2} - 4 \cdot (13 - 2^{3})]$
(clasa a 6-a) $- 2^{2} \cdot 3 - (- 12) : (- 4)$
Puneți o pereche de paranteze astfel încât $2 + 3 \cdot 4 - 1 = 19$ .

Răspunsuri

$45$ ( $18 - 12 = 6$ , $5 \cdot 6 = 30$ ).
$1$ ( $81 : 9 = 9$ , $32 : 4 = 8$ , $9 - 8 + 0$ ).
$20$ (paranteza dreaptă este $2 \cdot 20 + 20 = 60$ ).
$25$ ( $10 \cdot 3 + 10 = 40$ , $40 : 8 = 5$ , $5^{2} = 25$ ).
$9$ ( $6 \cdot 3 = 18$ , $18 : 2 = 9$ , $18 - 9$ ).
$17$ ( $13 - 8 = 5$ , $25 - 20 = 5$ , $2 + 15$ ).
$- 15$ ( $- 4 \cdot 3 = - 12$ , $(- 12) : (- 4) = 3$ , $- 12 - 3$ ).
$(2 + 3) \cdot 4 - 1 = 20 - 1 = 19$ .

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor — reguli și exemple