Fracții ordinare — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 5-a)

O fracție ordinară $\frac{a}{b}$ (cu $b\ne 0$) arată că un întreg a fost împărțit în $b$ părți egale, din care s-au luat $a$. Regula de bază: fracțiile se adună și se scad doar după ce au același numitor, se înmulțesc „numărător cu numărător, numitor cu numitor”, iar împărțirea devine înmulțire cu fracția inversată.

Ce trebuie să știi

$$\begin{array}{rlrl}\frac{a}{b}& =\frac{a\cdot k}{b\cdot k}(k\ne 0),& \frac{a}{b}+\frac{c}{b}& =\frac{a+c}{b},\\ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}& =\frac{a\cdot c}{b\cdot d},& \frac{a}{b}:\frac{c}{d}& =\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}\end{array}$$

• Tipuri: subunitară ($a<b$), echiunitară ($a=b$, egală cu 1), supraunitară ($a>b$).
• Simplificare: împarți numărătorul și numitorul la același număr (poți simplifica de mai multe ori, pe rând); fracția e ireductibilă când numărătorul și numitorul nu mai au divizori comuni în afară de 1.
• Numitor comun: pentru adunare, scădere și comparare amplifici fracțiile până la cel mai mic multiplu comun al numitorilor.
• Comparare: la numitori egali e mai mare fracția cu numărătorul mai mare; la numărători egali e mai mare fracția cu numitorul mai mic.
• Întregi: $\frac{23}{5}=4\frac{3}{5}$ (câtul 4, restul 3); invers, $3\frac{2}{7}=\frac{3\cdot 7+2}{7}=\frac{23}{7}$.
• Fracție dintr-un număr: $\frac{a}{b}$ din $N$ înseamnă $\frac{a}{b}\cdot N$.

Toate regulile, cu exemple: formule cu fracții · formule matematică clasa a 5-a.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Simplifică fracția $\frac{36}{48}$ până obții o fracție ireductibilă.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Scrii divizorii celor două numere. Divizorii lui 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Divizorii lui 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
2. Divizorii comuni sunt 1, 2, 3, 4, 6 și 12, deci cel mai mare divizor comun al numerelor 36 și 48 este 12.
3. Împarți ambii termeni la 12: $\frac{36}{48}=\frac{36:12}{48:12}=\frac{3}{4}$. (La fel de corect este să simplifici pe rând: cu 2, $\frac{18}{24}$; cu 2, $\frac{9}{12}$; cu 3, $\frac{3}{4}$.)
4. Verificare: 3 și 4 nu mai au divizori comuni în afară de 1, deci fracția nu se mai poate simplifica.

Răspuns: $\frac{3}{4}$

Exercițiul 2. Compară fracțiile $\frac{5}{8}$ și $\frac{7}{12}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Cauți cel mai mic multiplu comun al numitorilor. Multiplii lui 8: 8, 16, 24, 32, …; multiplii lui 12: 12, 24, 36, … Primul multiplu comun este 24, deci numitorul comun este 24.
2. Amplifici: $\frac{5}{8}=\frac{15}{24}$ (cu 3) și $\frac{7}{12}=\frac{14}{24}$ (cu 2).
3. La numitori egali compari numărătorii: $15>14$.

Răspuns: $\frac{5}{8}>\frac{7}{12}$

Exercițiul 3. a) Scoate întregii din fracția $\frac{23}{5}$. b) Introdu întregii în fracție: $3\frac{2}{7}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) Împarți: $23:5=4$ rest $3$. Câtul dă întregii, restul devine numărătorul: $\frac{23}{5}=4\frac{3}{5}$.
2. b) Înmulțești întregii cu numitorul și aduni numărătorul: $3\cdot 7+2=23$, numitorul rămâne 7.

Răspuns: a) $4\frac{3}{5}$; b) $\frac{23}{7}$

Nivel mediu

Exercițiul 4. Calculează $\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{7}{12}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Numitorul comun: 12, pentru că 12 se împarte și la 4, și la 6 (este cel mai mic multiplu comun al numitorilor).
2. Amplifici: $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$, $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$.
3. $\frac{9}{12}+\frac{10}{12}-\frac{7}{12}=\frac{9+10-7}{12}=\frac{12}{12}=1$.

Răspuns: 1

Exercițiul 5. Calculează $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{10}:\frac{3}{4}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Înmulțirea și împărțirea se fac în ordinea în care apar, de la stânga la dreapta.
2. $\frac{2}{3}\cdot \frac{9}{10}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$ (simplifici cu 6).
3. Împărțirea devine înmulțire cu inversa: $\frac{3}{5}:\frac{3}{4}=\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{5}$.

Răspuns: $\frac{4}{5}$

Exercițiul 6. O carte are 240 de pagini. Ana citește în prima zi $\frac{3}{8}$ din carte, iar a doua zi $\frac{2}{5}$ din paginile rămase. Câte pagini mai are de citit?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Prima zi: $\frac{3}{8}\cdot 240=90$ de pagini.
2. Rămân $240-90=150$ de pagini.
3. A doua zi: $\frac{2}{5}\cdot 150=60$ de pagini (atenție: $\frac{2}{5}$ din rest, nu din toată cartea).
4. Mai are de citit $150-60=90$ de pagini.

Răspuns: 90 de pagini

Exercițiul 7. Ordonează crescător fracțiile $\frac{2}{3},\frac{3}{5},\frac{7}{10},\frac{5}{8}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Numitorul comun trebuie să se împartă la 3, 5, 8 și 10. Multiplii lui 10 se împart și la 5; dintre ei (10, 20, 30, 40, …) primul care se împarte la 8 este 40. Dintre multiplii lui 40 (40, 80, 120, …) primul care se împarte la 3 este 120, deci numitorul comun este 120.
2. $\frac{2}{3}=\frac{80}{120}$, $\frac{3}{5}=\frac{72}{120}$, $\frac{7}{10}=\frac{84}{120}$, $\frac{5}{8}=\frac{75}{120}$.
3. Ordonezi numărătorii: $72<75<80<84$.

Răspuns: $\frac{3}{5}<\frac{5}{8}<\frac{2}{3}<\frac{7}{10}$

Nivel greu (tip olimpiadă / Evaluare Națională)

Exercițiul 8. Calculează $(1\frac{1}{2}+\frac{2}{3}):(2\frac{1}{6}-\frac{5}{4})$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Introduci întregii: $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, $2\frac{1}{6}=\frac{13}{6}$.
2. Prima paranteză: $\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{9}{6}+\frac{4}{6}=\frac{13}{6}$.
3. A doua paranteză: $\frac{13}{6}-\frac{5}{4}=\frac{26}{12}-\frac{15}{12}=\frac{11}{12}$.
4. $\frac{13}{6}:\frac{11}{12}=\frac{13}{6}\cdot \frac{12}{11}=\frac{26}{11}=2\frac{4}{11}$.

Răspuns: $\frac{26}{11}=2\frac{4}{11}$

Exercițiul 9. Determină numerele naturale $n$ pentru care fracția $\frac{2n+5}{n+1}$ este egală cu un număr natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Scrii numărătorul cu ajutorul numitorului: $2n+5=2(n+1)+3$.
2. Atunci $\frac{2n+5}{n+1}=2+\frac{3}{n+1}$, care e număr natural doar dacă $n+1$ divide 3.
3. Divizorii lui 3 sunt 1 și 3, deci $n+1=1$ sau $n+1=3$, adică $n=0$ sau $n=2$.
4. Verificare: $n=0\Rightarrow \frac{5}{1}=5$; $n=2\Rightarrow \frac{9}{3}=3$.

Răspuns: $n\in \{0,2\}$

Exercițiul 10. Un turist parcurge în prima zi $\frac{1}{3}$ din lungimea unui traseu, a doua zi $\frac{2}{5}$ din traseu, iar a treia zi restul de 16 km. Ce lungime are traseul?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. În primele două zile parcurge $\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{5}{15}+\frac{6}{15}=\frac{11}{15}$ din traseu.
2. Rămâne $1-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}$ din traseu, adică 16 km.
3. O parte din cele 15: $16:4=4$ km, deci tot traseul are $15\cdot 4=60$ km.
4. Verificare: $20+24+16=60$ km.

Răspuns: 60 km

Greșeli frecvente

• Aduni numitorii: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ne \frac{2}{5}$. Corect: aduci la numitor comun, $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$.
• Simplifici termeni dintr-o sumă: în $\frac{2+3}{2+5}$ nu poți „tăia” 2. Calculezi întâi: $\frac{5}{7}$. Se simplifică doar factori ai unui produs.
• Inversezi fracția greșită la împărțire: la $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}$ se inversează a doua fracție (împărțitorul), nu prima.
• Compari doar numitorii: $\frac{3}{7}$ are numitorul mai mare decât $\frac{2}{5}$, dar asta nu spune nimic singur; compari după aducerea la același numitor ($\frac{15}{35}>\frac{14}{35}$).
• „Din rest” confundat cu „din tot”: în probleme, citește atent din ce se ia fracția (vezi exercițiul 6).

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișă de lucru: fracții ordinare, clasa a 5-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Calculator pentru simplificarea fracțiilor: verifică-ți rezultatele.
• Fracțiile apar și la Evaluarea Națională: Simulare EN 2026, Subiectul I, ex. 3 (cel mai mare număr natural din intervalul $[\frac{2}{3},\frac{9}{4}]$) și EN 2026, Subiectul I, ex. 4 (transformarea lui 1,(2) în fracție ordinară), rezolvate pe pagina numere reale și fracții la Evaluarea Națională.
• Mai departe: puteri, exerciții rezolvate (clasa a 5-a).

Întrebări frecvente

Cum se adună două fracții cu numitori diferiți? Afli cel mai mic multiplu comun al numitorilor, amplifici fiecare fracție până la acest numitor comun, apoi aduni numărătorii și păstrezi numitorul. Exemplu: $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$.

Cum se simplifică o fracție? Împarți numărătorul și numitorul la același număr diferit de 0. Ca să ajungi direct la fracția ireductibilă, împarți la cel mai mare divizor comun al lor.

Cum se împart două fracții? Înmulțești prima fracție cu inversa celei de-a doua: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$.

Ce este o fracție ireductibilă? O fracție la care numărătorul și numitorul nu mai au divizori comuni în afară de 1, de exemplu $\frac{3}{4}$ sau $\frac{7}{10}$.