Ecuații: formule și metode de rezolvare — gradul I, II, sisteme

Capitolul Ecuații adună într-un singur loc formulele și metodele de rezolvare pentru toate tipurile de ecuații întâlnite în gimnaziu și liceu: ecuația de gradul întâi, ecuația de gradul al doilea, ecuațiile exponențiale, sistemele de ecuații liniare și inecuațiile. Ecuațiile de gradul I și II și sistemele apar la Evaluarea Națională (clasa a VIII-a), iar ecuațiile exponențiale, inecuațiile cu tabel de semn și regula lui Cramer sunt subiecte clasice la Bacalaureat, atât la M1, cât și la M2. Fiecare pagină din secțiune conține formulele, un exemplu rezolvat pas cu pas și întrebări frecvente.

Formulele esențiale

Ecuația de gradul I: \( ax + b = 0,\ a \neq 0 \Rightarrow x = -\dfrac{b}{a} \).

Ecuația de gradul al II-lea: \( ax^2 + bx + c = 0,\ a \neq 0 \), cu discriminantul \( \Delta = b^2 - 4ac \) și soluțiile

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}. \]

Dacă \( \Delta > 0 \) există două soluții reale distincte, dacă \( \Delta = 0 \) o soluție dublă, iar dacă \( \Delta < 0 \) nu există soluții reale.

Relațiile lui Viète: \( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},\quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} \).

Ecuația exponențială: \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x) \), pentru \( a > 0,\ a \neq 1 \); iar \( a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a b \), cu \( b > 0 \).

Sistem liniar 2×2 (regula lui Cramer): pentru \( \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases} \) avem \( x = \dfrac{D_x}{D},\ y = \dfrac{D_y}{D} \), unde \( D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0 \).

Inecuația de gradul II: semnul expresiei \( ax^2 + bx + c \) este semnul lui \( a \) în afara rădăcinilor și semn contrar lui \( a \) între rădăcini.

Cum alegi metoda

1. Identifică tipul ecuației după cea mai mare putere a necunoscutei: gradul I (\( x \) la puterea 1), gradul II (\( x^2 \)), exponențială (necunoscuta la exponent).
2. Stabilește domeniul: la ecuații cu numitor sau cu radical, pune condițiile de existență înainte de a rezolva.
3. Adu ecuația la forma standard: desfaci parantezele, aduni termenii asemenea, treci totul într-un singur membru.
4. Aplică formula potrivită: izolarea necunoscutei, discriminantul, egalarea exponenților sau substituția (\( t = a^x \)) la ecuațiile exponențiale.
5. Pentru sisteme, alege substituția când o necunoscută are coeficientul 1, reducerea când coeficienții sunt „potriviți” și Cramer pentru sistemele cu parametri.
6. Verifică soluțiile în ecuația inițială și compară-le cu domeniul.

Greșeli frecvente

• Uitarea semnului la calculul discriminantului: \( b^2 - 4ac \) când \( c < 0 \) devine o adunare, nu o scădere.
• Împărțirea ambilor membri printr-o expresie care poate fi zero (de exemplu prin \( x \)), ceea ce pierde soluția \( x = 0 \).
• La inecuații, înmulțirea cu un număr negativ fără schimbarea sensului inegalității sau ignorarea tabelului de semn.

Întrebări frecvente

Ce ecuații apar la Evaluarea Națională? Ecuații de gradul I, ecuații de gradul II simple (adesea prin descompunere sau formulă) și sisteme de două ecuații cu două necunoscute rezolvate prin substituție sau reducere.

Când o ecuație de gradul II nu are soluții reale? Când discriminantul este negativ, \( \Delta < 0 \). În acest caz soluțiile sunt numere complexe conjugate — subiect de clasa a X-a.

Cum rezolv o ecuație exponențială cu baze diferite? Scrie ambele baze ca puteri ale aceluiași număr (de exemplu \( 4 = 2^2 \), \( 8 = 2^3 \)) sau logaritmează ambii membri. Detalii găsești în pagina dedicată ecuațiilor exponențiale.

Capitolul face parte din secțiunea Algebră; vezi și Medii pentru inegalități utile și Analiză matematică pentru ecuații rezolvate cu ajutorul funcțiilor.

Toate formulele din această categorie

Testează-te la Evaluarea Națională Grile din subiecte oficiale, cu scor instant și explicații →