Pătrate perfecte și cuburi perfecte: tabel și verificare

Q: Cum îmi dau seama dacă un număr este pătrat perfect?

Uită-te întâi la ultima cifră: dacă este 2, 3, 7 sau 8, numărul nu este pătrat perfect. Altfel, descompune-l în factori primi: este pătrat perfect doar dacă toți exponenții sunt pari. Pentru numere mici, caută-l în tabelul pătratelor.

Q: Care sunt cuburile perfecte de la 1 la 1000?

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 și 1000, adică 1³, 2³, , 10³ .

Q: Este 0 pătrat perfect?

Da, 0 = 0² , și este și cub perfect, 0 = 0³ . La fel numărul 1.

Q: Cu ce număr înmulțesc ca să obțin un pătrat perfect?

Descompui numărul în factori primi și înmulțești cu factorii care au exponent impar. De exemplu, 72 = 2³ · 3² ; înmulțit cu 2 dă 144 = 12² .

Formule

Un număr natural este pătrat perfect dacă se scrie ca $n^{2}$ , cu $n$ natural (de exemplu $49 = 7^{2}$ ), și cub perfect dacă se scrie ca $n^{3}$ (de exemplu $64 = 4^{3}$ ). Verifici rapid cu ultima cifră (un pătrat perfect nu se termină în 2, 3, 7 sau 8) și sigur cu descompunerea în factori primi: la pătrat perfect toți exponenții sunt pari, la cub perfect toți sunt multipli de 3.

Definiții

N pătrat perfect ⟺ N = n^{2}, n \in N; N cub perfect ⟺ N = n^{3}, n \in N

Numerele $0$ și $1$ sunt și pătrate perfecte, și cuburi perfecte. Un număr poate fi în același timp pătrat și cub perfect: $64 = 8^{2} = 4^{3}$ , $729 = 27^{2} = 9^{3}$ (acestea sunt puterile a șasea: $2^{6}$ , $3^{6}$ ).

Tabelul pătratelor perfecte de la 1 la 30

$n$	$n^{2}$	$n$	$n^{2}$	$n$	$n^{2}$
1	1	11	121	21	441
2	4	12	144	22	484
3	9	13	169	23	529
4	16	14	196	24	576
5	25	15	225	25	625
6	36	16	256	26	676
7	49	17	289	27	729
8	64	18	324	28	784
9	81	19	361	29	841
10	100	20	400	30	900

Merită reținute și $40^{2} = 1600$ , $45^{2} = 2025$ , $50^{2} = 2500$ , $100^{2} = 10 000$ .

Tabelul cuburilor perfecte de la 1 la 12

$n$	$n^{3}$	$n$	$n^{3}$	$n$	$n^{3}$
1	1	5	125	9	729
2	8	6	216	10	1000
3	27	7	343	11	1331
4	64	8	512	12	1728

Verificarea cu ultima cifră

Ultima cifră a lui $n^{2}$ depinde doar de ultima cifră a lui $n$ :

Ultima cifră a lui $n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ultima cifră a lui $n^{2}$	0	1	4	9	6	5	6	9	4	1
Ultima cifră a lui $n^{3}$	0	1	8	7	4	5	6	3	2	9

Un pătrat perfect se termină doar în 0, 1, 4, 5, 6 sau 9. Dacă ultima cifră este 2, 3, 7 sau 8, numărul nu este pătrat perfect.
Atenție: ultima cifră bună nu garantează nimic: $26$ se termină în 6 și nu este pătrat perfect.
Un cub perfect poate avea orice ultimă cifră, deci testul ultimei cifre nu elimină cuburi.
Un pătrat perfect terminat în zerouri are un număr par de zerouri la final: $4900 = 70^{2}$ , dar $49 000$ nu este pătrat perfect.

Verificarea sigură: descompunerea în factori primi

Scrie numărul ca produs de puteri de numere prime, $N = p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \dots p_{k}^{a_{k}}$ . Atunci:

$N$ este pătrat perfect dacă și numai dacă toți exponenții $a_{1}, a_{2}, \dots$ sunt pari;
$N$ este cub perfect dacă și numai dacă toți exponenții sunt multipli de 3.

Exemple: $784 = 2^{4} \cdot 7^{2}$ este pătrat perfect, $784 = (2^{2} \cdot 7)^{2} = 28^{2}$ ; $1728 = 2^{6} \cdot 3^{3}$ este cub perfect, $1728 = (2^{2} \cdot 3)^{3} = 12^{3}$ ; $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ nu este nici pătrat, nici cub perfect. Descompunerea o poți face cu calculatorul de factori primi; regulile de divizibilitate sunt pe pagina divizibilitate.

Încadrarea între pătrate consecutive

Dacă $n^{2} < N < (n + 1)^{2}$ , atunci $N$ nu este pătrat perfect, pentru că între două pătrate consecutive nu mai există alt pătrat. De exemplu, $44^{2} = 1936 < 2000 < 2025 = 45^{2}$ , deci 2000 nu este pătrat perfect. Tot de aici: produsul a două numere naturale consecutive nenule, $n (n + 1)$ , nu este pătrat perfect, fiindcă $n^{2} < n (n + 1) < (n + 1)^{2}$ .

Proprietăți utile în exerciții

Suma primelor $n$ numere impare este pătrat perfect: $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ .
Produsul a două pătrate perfecte este pătrat perfect: $a^{2} \cdot b^{2} = (a b)^{2}$ . La fel pentru cuburi.
O putere cu exponent par este pătrat perfect: $a^{2 k} = (a^{k})^{2}$ ; o putere cu exponentul multiplu de 3 este cub perfect: $a^{3 k} = (a^{k})^{3}$ .
Pentru a arăta că o sumă de puteri este pătrat perfect, dai factor comun și urmărești să obții un produs de forma $(\dots)^{2}$ (vezi Exemplul 4).

Rădăcina pătrată a unui pătrat perfect este un număr natural: $\sqrt{n^{2}} = n$ . Despre radicali din numere care nu sunt pătrate perfecte afli în clasa a 7-a, pe pagina radicali.

Greșeli frecvente

„Se termină în 6, deci e pătrat perfect”: testul ultimei cifre poate doar elimina un număr, nu îl poate confirma.
Confuzia $n^{2}$ cu $2 n$ : $7^{2} = 49$ , nu 14; $2^{3} = 8$ , nu 6.
Exponenți impari ignorați: $2^{2} \cdot 3^{3} = 108$ nu este pătrat perfect, deși $2^{2}$ este.
Suma de pătrate nu e pătrat: $3^{2} + 4^{2} = 25$ este pătrat, dar $2^{2} + 3^{2} = 13$ nu este; nu există o regulă generală pentru sume.

Pentru exersare: fișa de lucru puteri clasa a 5-a, fișa divizibilitate clasa a 6-a, regulile de calcul din pagina puteri și calculatorul de radicali pentru extragerea rădăcinii.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama dacă un număr este pătrat perfect? Uită-te întâi la ultima cifră: dacă este 2, 3, 7 sau 8, numărul nu este pătrat perfect. Altfel, descompune-l în factori primi: este pătrat perfect doar dacă toți exponenții sunt pari. Pentru numere mici, caută-l în tabelul pătratelor.

Care sunt cuburile perfecte de la 1 la 1000? 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 și 1000, adică $1^{3}, 2^{3}, \dots, 10^{3}$ .

Este 0 pătrat perfect? Da, $0 = 0^{2}$ , și este și cub perfect, $0 = 0^{3}$ . La fel numărul 1.

Cu ce număr înmulțesc ca să obțin un pătrat perfect? Descompui numărul în factori primi și înmulțești cu factorii care au exponent impar. De exemplu, $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ ; înmulțit cu 2 dă $144 = 12^{2}$ .

Verifică-te: 3 întrebări

Care dintre numere este pătrat perfect?

Un număr natural NU poate fi pătrat perfect dacă ultima lui cifră este:

Cât este $12^{3}$ ?

1728
144
1331

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — verificare cu factori primi

Stabiliți dacă 784 și 1000 sunt pătrate perfecte.

Rezolvare: $784 = 2^{4} \cdot 7^{2}$ : exponenții 4 și 2 sunt pari, deci $784 = (2^{2} \cdot 7)^{2} = 28^{2}$ este pătrat perfect. $1000 = 2^{3} \cdot 5^{3}$ : exponenții sunt impari, deci 1000 nu este pătrat perfect (are și trei zerouri la final, număr impar). În schimb $1000 = 10^{3}$ este cub perfect.

Exemplul 2 — ultima cifră

Arătați că $N = 2^{2026} + 3$ nu este pătrat perfect.

Rezolvare: Ultimele cifre ale puterilor lui 2 se repetă din 4 în 4: 2, 4, 8, 6. Cum $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , ultima cifră a lui $2^{2026}$ este 4. Atunci ultima cifră a lui $N$ este $4 + 3 = 7$ , iar un pătrat perfect nu se termină în 7.

Exemplul 3 — suma numerelor impare

Arătați că $S = 1 + 3 + 5 + \dots + 2025$ este pătrat perfect.

Rezolvare: Numărul de termeni este $(2025 - 1) : 2 + 1 = 1013$ . Suma primelor 1013 numere impare este $1013^{2}$ , deci $S = 1013^{2}$ este pătrat perfect. (Verificare prin suma Gauss: $S = \frac{(1 + 2025) \cdot 1013}{2} = 1013 \cdot 1013$ .)

Exemplul 4 — factor comun

Arătați că $A = 5^{2 n + 1} + 4 \cdot 5^{2 n}$ este pătrat perfect pentru orice $n \in N$ .

Rezolvare: Dăm factor comun $5^{2 n}$ :

A = 5^{2 n} (5 + 4) = 9 \cdot 5^{2 n} = 3^{2} \cdot (5^{n})^{2} = (3 \cdot 5^{n})^{2}

Exemplul 5 — cel mai mic factor

Aflați cel mai mic număr natural nenul cu care trebuie înmulțit 72 pentru a obține un pătrat perfect, respectiv un cub perfect.

Rezolvare: $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ . Pentru pătrat perfect, exponentul lui 2 trebuie să devină par, deci înmulțim cu 2: $144 = 2^{4} \cdot 3^{2} = 12^{2}$ . Pentru cub perfect, exponentul lui 3 trebuie să devină 3, deci înmulțim cu 3: $216 = 2^{3} \cdot 3^{3} = 6^{3}$ .

Exerciții

Exerciții propuse

Care dintre numerele 196, 250, 441, 1000, 2025, 3127 sunt pătrate perfecte?
Care dintre numerele 216, 500, 1331, 2744 sunt cuburi perfecte?
Arătați că $2^{10} \cdot 5^{6}$ este pătrat perfect și scrieți-l ca pătratul unui număr natural.
Arătați că $1 + 3 + 5 + \dots + 51$ este pătrat perfect.
Arătați că $10^{2026} + 7$ nu este pătrat perfect.
Arătați că $A = 4^{n + 1} + 5 \cdot 4^{n}$ este pătrat perfect pentru orice $n \in N$ .
Între ce pătrate perfecte consecutive se află numărul 2027? Este 2027 pătrat perfect?
Aflați cel mai mic număr natural nenul $k$ pentru care $50 \cdot k$ este pătrat perfect.

Răspunsuri

$196 = 14^{2}$ , $441 = 21^{2}$ , $2025 = 45^{2}$ . Nu sunt: 250 ( $2 \cdot 5^{3}$ ), 1000 ( $2^{3} \cdot 5^{3}$ ), 3127 (se termină în 7).
$216 = 6^{3}$ , $1331 = 11^{3}$ , $2744 = 14^{3}$ ; $500 = 2^{2} \cdot 5^{3}$ nu este cub perfect.
$2^{10} \cdot 5^{6} = (2^{5} \cdot 5^{3})^{2} = 4000^{2}$ .
Sunt 26 de numere impare, deci suma este $26^{2} = 676$ .
Numărul se termină în cifra 7.
$A = 4^{n} (4 + 5) = 9 \cdot 4^{n} = (3 \cdot 2^{n})^{2}$ .
$45^{2} = 2025 < 2027 < 2116 = 46^{2}$ , deci 2027 nu este pătrat perfect.
$k = 2$ : $50 = 2 \cdot 5^{2}$ , iar $50 \cdot 2 = 100 = 10^{2}$ .

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Pătrate perfecte și cuburi perfecte — tabel 1–30, cuburi 1–12, cum verifici