Medii: aritmetică, geometrică, ponderată, armonică, pătratică
Formule conexe
Capitolul Medii prezintă cele cinci medii studiate în școală — media aritmetică, media geometrică (proporțională), media aritmetică ponderată, media armonică și media pătratică — împreună cu inegalitatea mediilor, care le leagă pe toate. Media aritmetică și cea ponderată apar din clasa a V-a și sunt cerute constant la Evaluarea Națională (probleme cu note, prețuri, viteze medii), media geometrică intervine în teorema înălțimii și în progresii, iar inegalitatea mediilor este un instrument de bază la olimpiade și la Bacalaureat M1 pentru demonstrarea inegalităților și aflarea minimelor.
Formulele esențiale
Pentru două numere pozitive \( a \) și \( b \):
\[ m_a = \frac{a+b}{2},\qquad m_g = \sqrt{ab},\qquad m_h = \frac{2ab}{a+b},\qquad m_p = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}. \]Media aritmetică a \( n \) numere: \( m_a = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \).
Media aritmetică ponderată cu ponderile \( p_1, \dots, p_n \):
\[ m_{pond} = \frac{p_1 x_1 + p_2 x_2 + \dots + p_n x_n}{p_1 + p_2 + \dots + p_n}. \]Media geometrică a \( n \) numere pozitive: \( m_g = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \).
Media armonică a \( n \) numere pozitive: \( m_h = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}} \).
Inegalitatea mediilor: pentru orice numere pozitive,
\[ m_h \le m_g \le m_a \le m_p, \]cu egalitate dacă și numai dacă toate numerele sunt egale. O consecință utilă: \( a + b \ge 2\sqrt{ab} \) și \( \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2 \).
Cum alegi media potrivită
- Valori „la fel de importante” (note, temperaturi, lungimi) — media aritmetică.
- Valori cu importanță diferită (note cu număr diferit de ore, prețuri cu cantități diferite) — media ponderată; ponderile sunt frecvențele sau cantitățile.
- Mărimi care se înmulțesc (creșteri procentuale succesive, proporții, teorema înălțimii \( h^2 = m \cdot n \)) — media geometrică.
- Rapoarte parcurse pe același drum (viteza medie pe distanțe egale, debite, rezistențe în paralel) — media armonică.
- Demonstrarea unei inegalități sau aflarea unui minim — aplică inegalitatea mediilor și verifică cazul de egalitate.
Greșeli frecvente
- Calcularea vitezei medii ca medie aritmetică a vitezelor, când distanțele parcurse sunt egale — corect este media armonică.
- Uitarea condiției \( a, b > 0 \) la media geometrică sau la inegalitatea mediilor; pentru numere negative inegalitatea nu mai are sens.
- Împărțirea la numărul de valori în loc de suma ponderilor la media ponderată.
Întrebări frecvente
Care este diferența dintre media aritmetică și media geometrică? Media aritmetică adună numerele și împarte la câte sunt; media geometrică le înmulțește și extrage radicalul de ordin egal cu numărul lor. Pentru numere pozitive diferite, media geometrică este întotdeauna mai mică decât cea aritmetică.
Ce medii se cer la Evaluarea Națională? Media aritmetică (inclusiv aflarea unui termen când se știe media), media ponderată și, prin teorema înălțimii și a catetei, media geometrică.
La ce folosește inegalitatea mediilor? La demonstrarea inegalităților de tipul \( x + \dfrac{1}{x} \ge 2 \) pentru \( x > 0 \) și la determinarea valorii minime a unei sume cu produs constant.
Capitolul aparține secțiunii Algebră; mediile se folosesc și în Ecuații (relațiile lui Viète) și în Geometrie (teorema înălțimii).