Metode aritmetice clasa a 5-a: probleme rezolvate

Formule

Metodele aritmetice sunt procedee de rezolvare a problemelor fără ecuații, studiate în clasa a 5-a: metoda figurativă (reprezentarea mărimilor prin segmente), metoda mersului invers (pornești de la rezultat și faci operațiile inverse), metoda falsei ipoteze (presupui o situație și corectezi diferența), metoda comparației (compari două situații ca să elimini o mărime) și metoda reducerii la unitate. Mai jos găsești, pentru fiecare, când o folosești, pașii și o problemă rezolvată.

Metoda figurativă

Când o folosești: când se cunosc suma sau diferența a două (sau mai multe) numere și o relație între ele („cu … mai mult”, „de … ori mai mare”). Fiecare număr se reprezintă printr-un segment, iar părțile egale se desenează la fel de lungi.

Cazuri tipice:

suma și diferența: numărul mic $= (S - D) : 2$ , numărul mare $= (S + D) : 2$ ;
suma și raportul („de $k$ ori mai mare”): o parte $= S : (k + 1)$ ;
diferența și raportul: o parte $= D : (k - 1)$ .

Problemă rezolvată. Ana și Mihai au împreună 74 de lei. Ana are cu 12 lei mai mult decât Mihai. Câți lei are fiecare?

Dacă din total scădem cei 12 lei în plus ai Anei, cele două segmente devin egale: $74 - 12 = 62$ lei.
Un segment (suma lui Mihai): $62 : 2 = 31$ lei.
Ana are $31 + 12 = 43$ lei.
Verificare: $31 + 43 = 74$ și $43 - 31 = 12$ .

Răspuns: Mihai are 31 de lei, Ana are 43 de lei.

Metoda mersului invers

Când o folosești: când se cunoaște rezultatul final al unui șir de operații făcute asupra unui număr necunoscut. Pornești de la final și faci, în ordine inversă, operațiile inverse: adunarea devine scădere, înmulțirea devine împărțire și invers.

Problemă rezolvată. M-am gândit la un număr. L-am înmulțit cu 3, la rezultat am adunat 14, suma am împărțit-o la 5 și am obținut 10. La ce număr m-am gândit?

Ultima operație a fost împărțirea la 5, deci înainte de ea aveam $10 \cdot 5 = 50$ .
Înainte de adunarea lui 14: $50 - 14 = 36$ .
Înainte de înmulțirea cu 3: $36 : 3 = 12$ .
Verificare: $12 \cdot 3 = 36$ , $36 + 14 = 50$ , $50 : 5 = 10$ .

Răspuns: numărul este 12. Scris pe scurt: $[(10 \cdot 5) - 14] : 3 = 12$ .

Metoda falsei ipoteze

Când o folosești: când sunt două categorii de obiecte, se cunoaște numărul total de obiecte și un total „ponderat” (picioare, roți, lei). Presupui că toate obiectele sunt de același fel, calculezi totalul în această ipoteză falsă și explici diferența prin înlocuirea unor obiecte cu celelalte.

Problemă rezolvată. Într-o curte sunt găini și iepuri, în total 30 de capete și 84 de picioare. Câte găini și câți iepuri sunt?

Presupunem că toate cele 30 de animale sunt găini: ar avea $30 \cdot 2 = 60$ de picioare.
Diferența față de realitate: $84 - 60 = 24$ de picioare.
Fiecare iepur pus în locul unei găini adaugă $4 - 2 = 2$ picioare, deci sunt $24 : 2 = 12$ iepuri.
Găini: $30 - 12 = 18$ . Verificare: $18 \cdot 2 + 12 \cdot 4 = 36 + 48 = 84$ .

Răspuns: 18 găini și 12 iepuri.

Metoda comparației

Când o folosești: când apar două mărimi necunoscute (de exemplu prețul unui caiet și al unui pix) în două situații diferite. Scrii situațiile una sub alta; dacă o mărime apare în aceeași cantitate, prin scădere o elimini. Dacă nu, înmulțești mai întâi o situație ca să egalezi cantitățile.

Problemă rezolvată. 2 caiete și 3 pixuri costă 19 lei, iar 4 caiete și un pix costă 23 de lei. Cât costă un caiet și cât costă un pix?

Scriem: $2$ caiete $+ 3$ pixuri $= 19$ lei; $4$ caiete $+ 1$ pix $= 23$ lei.
Dublăm prima situație, ca să avem tot 4 caiete: $4$ caiete $+ 6$ pixuri $= 38$ lei.
Comparăm cu a doua situație: diferența de $6 - 1 = 5$ pixuri costă $38 - 23 = 15$ lei, deci un pix costă $15 : 5 = 3$ lei.
Din prima situație: 2 caiete costă $19 - 3 \cdot 3 = 10$ lei, deci un caiet costă 5 lei. Verificare: $4 \cdot 5 + 3 = 23$ .

Răspuns: un caiet costă 5 lei, un pix costă 3 lei.

Metoda reducerii la unitate

Când o folosești: când de câte ori crește o mărime, de atâtea ori crește (sau scade) cealaltă — de exemplu cantitatea și prețul, numărul muncitorilor și numărul de zile. Calculezi întâi valoarea corespunzătoare unei singure unități, apoi pentru numărul cerut de unități.

Problemă rezolvată. 6 muncitori termină o lucrare în 10 zile. În câte zile ar termina aceeași lucrare 4 muncitori care lucrează la fel de repede?

Un singur muncitor ar avea nevoie de $6$ ori mai multe zile: $10 \cdot 6 = 60$ de zile.
4 muncitori termină de 4 ori mai repede: $60 : 4 = 15$ zile.

Răspuns: 15 zile. Aceeași idee, scrisă cu proporții (clasa a 6-a), este regula de trei simplă.

Cum recunoști metoda potrivită

Indiciul din enunț	Metoda
„împreună au …”, „cu … mai mult”, „de … ori mai mare”	figurativă
„m-am gândit la un număr…”, „a cheltuit…, apoi…, i-au rămas…”	mersul invers
două tipuri de obiecte, total de obiecte și total de picioare/roți/lei	falsa ipoteză
două cumpărături (situații) cu aceleași două produse	comparația
„dacă 5 kg costă …, cât costă 8 kg?”, „câți muncitori…”	reducerea la unitate

Greșeli frecvente

La metoda figurativă se împarte suma direct la 2, deși numerele nu sunt egale: întâi scazi diferența, apoi împarți.
„De 3 ori mai mare” înseamnă 3 părți față de 1 parte, deci în total 4 părți, nu 3.
La mersul invers se fac operațiile inverse, dar în ordinea directă; ordinea trebuie și ea inversată.
Lipsa verificării: la toate metodele, verifică rezultatul în enunț; o greșeală de calcul se vede imediat.

Pentru exersare: fișa de lucru metode aritmetice clasa a 5-a, fișa operații cu numere naturale și subiectele de admitere în clasa a 5-a, unde problemele de acest tip apar des. Calculele cu paranteze din rezolvări urmează ordinea efectuării operațiilor.

Întrebări frecvente

Ce metode aritmetice se învață în clasa a 5-a? Programa de clasa a 5-a cuprinde metoda reducerii la unitate, metoda comparației, metoda figurativă, metoda mersului invers și metoda falsei ipoteze. Toate rezolvă probleme fără ecuații, prin raționament și operații cu numere naturale.

Cum se rezolvă o problemă prin metoda mersului invers? Pornești de la rezultatul final și parcurgi operațiile de la ultima la prima, făcând de fiecare dată operația inversă (scădere în loc de adunare, împărțire în loc de înmulțire). La final verifici numărul găsit în enunț.

Ce este metoda falsei ipoteze? Presupui (ipoteză falsă) că toate obiectele sunt de un singur fel, calculezi totalul, compari cu totalul real și împarți diferența la diferența produsă de un singur obiect înlocuit. Așa afli câte obiecte sunt de celălalt fel.

Se pot rezolva aceste probleme și cu ecuații? Da. Din clasa a 6-a aceleași probleme se rezolvă și cu ecuații, dar metodele aritmetice rămân utile pentru verificare rapidă și apar la concursuri și la testele de admitere.

Verifică-te: 3 întrebări

Suma a două numere este 60, iar diferența lor este 10. Care este numărul mai mare?

Un număr înmulțit cu 2, apoi mărit cu 6, dă 20. Care este numărul?

Într-o fermă sunt 10 animale, găini și oi, cu 28 de picioare în total. Câte oi sunt?

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — figurativă, suma și raportul

Într-o livadă sunt 96 de pomi, meri și peri. Merii sunt de 3 ori mai mulți decât perii. Câți peri și câți meri sunt?

Rezolvare: Perii reprezintă o parte, merii 3 părți, în total $1 + 3 = 4$ părți egale. O parte: $96 : 4 = 24$ . Sunt 24 de peri și $24 \cdot 3 = 72$ de meri. Verificare: $24 + 72 = 96$ .

Exemplul 2 — figurativă, diferența și raportul

Un număr este de 5 ori mai mare decât altul, iar diferența lor este 64. Aflați numerele.

Rezolvare: Numărul mic este o parte, cel mare 5 părți; diferența corespunde la $5 - 1 = 4$ părți. O parte: $64 : 4 = 16$ . Numerele sunt 16 și $16 \cdot 5 = 80$ . Verificare: $80 - 16 = 64$ .

Exemplul 3 — mersul invers cu „rest”

Ion a cheltuit jumătate din banii pe care îi avea, apoi încă 15 lei, apoi jumătate din ce i-a rămas. La final mai are 20 de lei. Câți lei a avut la început?

Rezolvare: Înainte de ultima cheltuială avea $20 \cdot 2 = 40$ de lei; înainte să cheltuie 15 lei avea $40 + 15 = 55$ de lei; aceasta era jumătate din suma inițială, deci la început avea $55 \cdot 2 = 110$ lei.

Verificare: $110 : 2 = 55$ , $55 - 15 = 40$ , $40 : 2 = 20$ . Răspuns: 110 lei.

Exemplul 4 — falsa ipoteză cu bancnote

O persoană are 25 de bancnote de 10 lei și de 50 de lei, în valoare totală de 650 de lei. Câte bancnote are de fiecare fel?

Rezolvare: Presupunem că toate sunt de 10 lei: $25 \cdot 10 = 250$ de lei. Diferența $650 - 250 = 400$ de lei. O bancnotă de 50 de lei pusă în locul uneia de 10 lei adaugă 40 de lei, deci sunt $400 : 40 = 10$ bancnote de 50 de lei și $25 - 10 = 15$ bancnote de 10 lei. Verificare: $15 \cdot 10 + 10 \cdot 50 = 150 + 500 = 650$ .

Exemplul 5 — comparația, același număr dintr-un produs

3 kg de mere și 2 kg de pere costă 24 de lei, iar 3 kg de mere și 5 kg de pere costă 42 de lei. Cât costă 1 kg din fiecare fruct?

Rezolvare: Merele apar în aceeași cantitate, deci diferența de $5 - 2 = 3$ kg de pere costă $42 - 24 = 18$ lei; 1 kg de pere costă 6 lei. Atunci 3 kg de mere costă $24 - 2 \cdot 6 = 12$ lei, deci 1 kg de mere costă 4 lei.

Exerciții

Exerciții propuse

Suma a două numere este 150, iar diferența lor este 34. Aflați numerele.
Suma a două numere este 120, iar unul este de 5 ori mai mare decât celălalt. Aflați numerele.
M-am gândit la un număr. Am adunat 7, rezultatul l-am înmulțit cu 4, apoi am scăzut 8 și am obținut 60. La ce număr m-am gândit?
Într-o parcare sunt 40 de vehicule, autoturisme și motociclete, cu 128 de roți în total. Câte autoturisme sunt?
5 kg de cartofi și 2 kg de ceapă costă 23 de lei, iar 5 kg de cartofi și 4 kg de ceapă costă 31 de lei. Cât costă 1 kg de cartofi?
Trei frați au împreună 110 lei. Al doilea are cu 10 lei mai mult decât primul, iar al treilea are de două ori mai mult decât al doilea. Câți lei are fiecare?
Un elev citește o carte în trei zile: în prima zi o treime din carte, a doua zi jumătate din rest, iar a treia zi ultimele 40 de pagini. Câte pagini are cartea?
5 kg de mere costă 35 de lei. Cât costă 8 kg de mere?

Răspunsuri

58 și 92 ( $(150 - 34) : 2 = 58$ ).
20 și 100 (6 părți egale, o parte $120 : 6 = 20$ ).
10 ( $60 + 8 = 68$ , $68 : 4 = 17$ , $17 - 7 = 10$ ).
24 de autoturisme (și 16 motociclete): toate motociclete ar însemna 80 de roți, $(128 - 80) : 2 = 24$ .
3 lei (ceapa costă 4 lei/kg: $(31 - 23) : 2 = 4$ ).
20, 30 și 60 de lei: primul are o parte, al doilea o parte + 10, al treilea două părți + 20; $4$ părți $+ 30 = 110$ , o parte $= 20$ .
120 de pagini: restul după prima zi este $40 \cdot 2 = 80$ de pagini, adică două treimi din carte.
56 de lei (1 kg costă $35 : 5 = 7$ lei).

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Metode aritmetice clasa a 5-a — figurativă, mersul invers, falsa ipoteză, comparația