Media pătratică — formula √((a²+b²)/2) + exemple

Q: Când este media pătratică egală cu media aritmetică?

Numai când numerele sunt egale; în rest M_p M_a, conform identității M_p²-M_a²=((a-b)/(2))².

Q: Media pătratică poate fi negativă?

Nu: fiind un radical, M_p≥ 0 întotdeauna, chiar dacă unele dintre numere sunt negative.

Formule

Media pătratică a două numere $a$ și $b$ este $M_{p} = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ : ridicăm numerele la pătrat, facem media aritmetică a pătratelor și extragem radicalul. Este cea mai mare dintre mediile clasice și apare frecvent în statistică (abaterea medie pătratică) și în fizică (valori efective).

Formula pentru 2, 3 și n numere

Media pătratică a 2 numere:

$M_{p} = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$

Media pătratică a 3 numere:

$M_{p} = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}}$

Media pătratică pentru $n$ numere:

$M_{p} = \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}{n}}$

În cuvinte: $M_{p}$ este radicalul mediei aritmetice a pătratelor. Deoarece ridicarea la pătrat amplifică valorile mari, media pătratică „trage” rezultatul spre numerele mai mari — de aceea, pentru numere pozitive, ea încheie lanțul $M_{h} \leq M_{g} \leq M_{a} \leq M_{p}$ .

Cum se calculează media pătratică — pași

Pas	Ce faci	Exemplu: 1, 5, 7
1	Ridici fiecare număr la pătrat	$1, 25, 49$
2	Aduni pătratele	$75$
3	Împarți la câte numere sunt	$75 : 3 = 25$
4	Extragi radicalul	$M_{p} = \sqrt{25} = 5$

Proprietăți

Este mai mare sau egală cu media aritmetică: $M_{p} \geq M_{a}$ , cu egalitate doar când numerele sunt egale.
Identitate pentru două numere: $M_{p}^{2} - M_{a}^{2} = {(\frac{a - b}{2})}^{2}$ . Diferența dintre cele două medii măsoară cât de depărtate sunt numerele.
Este între minim și maxim (pentru numere pozitive): $min (a_{i}) \leq M_{p} \leq max (a_{i})$ .
Nu depinde de semne: $M_{p} (- 3, 4) = M_{p} (3, 4)$ , deoarece contează doar pătratele.
Scalare: dacă înmulțim toate numerele cu $k > 0$ , media pătratică se înmulțește cu $k$ .

Unde apare media pătratică

În electricitate, valoarea efectivă a unei tensiuni alternative este media pătratică a valorilor instantanee: pentru o tensiune sinusoidală, $U_{e f} = \frac{U_{m a x}}{\sqrt{2}}$ (de aici „230 V” la priză, cu vârfuri de aproximativ 325 V). În statistică, abaterea medie pătratică (abaterea standard) este media pătratică a abaterilor față de medie. În ambele cazuri media pătratică este preferată pentru că valorile pozitive și negative nu se anulează.

Relația cu celelalte medii

Pentru numere pozitive: media armonică $\leq$ media geometrică $\leq$ media aritmetică $\leq$ media pătratică. Pentru două numere:

$\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} ⟺ (a - b)^{2} \geq 0$

Demonstrația completă este în pagina inegalitatea mediilor; toate mediile sunt adunate în pagina Medii.

Greșeli frecvente

Uiți radicalul: $\frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ este media pătratelor, nu media pătratică.
Scoți radicalul pe bucăți: $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \neq a + b$ . Pentru 6 și 8: $\sqrt{36 + 64} = 10$ , nu 14.
Ridici greșit la pătrat expresii cu radicali: $(\sqrt{3} + 1)^{2} = 4 + 2 \sqrt{3}$ , nu $3 + 1$ .
Împarți la un număr greșit: la $n$ numere se împarte la $n$ , nu la 2.

Întrebări frecvente

Cum se calculează media pătratică a două numere? Aduni pătratele numerelor, împarți la 2 și extragi radicalul: $M_{p} = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ . Pentru 2 și 14: $\sqrt{\frac{4 + 196}{2}} = \sqrt{100} = 10$ .

Când este media pătratică egală cu media aritmetică? Numai când numerele sunt egale; în rest $M_{p} > M_{a}$ , conform identității $M_{p}^{2} - M_{a}^{2} = {(\frac{a - b}{2})}^{2}$ .

Media pătratică poate fi negativă? Nu: fiind un radical, $M_{p} \geq 0$ întotdeauna, chiar dacă unele dintre numere sunt negative.

Verifică-te: 3 întrebări

Media pătratică a două numere $a$ și $b$ este:

$\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$
$\frac{a^{2} + b^{2}}{2}$
$\sqrt{\frac{a + b}{2}}$

Cât este media pătratică a numerelor 1 și 7?

$4$
$25$
$5$

Cât este media pătratică a numerelor 3 și 4?

$5$
$\frac{5 \sqrt{2}}{2}$
$\frac{7}{2}$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — media pătratică a două numere

Calculați media pătratică a numerelor $2$ și $14$ .

Rezolvare. $M_{p} = \sqrt{\frac{2^{2} + 14^{2}}{2}} =$ $\sqrt{\frac{4 + 196}{2}} = \sqrt{100} = 10$ .

Exemplul 2 — media pătratică a trei numere

Calculați media pătratică a numerelor $1$ , $5$ și $7$ .

Rezolvare. $M_{p} = \sqrt{\frac{1 + 25 + 49}{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ .

Exemplul 3 — numere cu radicali

Calculați media pătratică a numerelor $a = \sqrt{3} - 1$ și $b = \sqrt{3} + 1$ .

Rezolvare. $a^{2} = 3 - 2 \sqrt{3} + 1 = 4 - 2 \sqrt{3}$ , $b^{2} = 4 + 2 \sqrt{3}$ , deci $a^{2} + b^{2} = 8$ . Atunci $M_{p} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$ .

Exemplul 4 — comparație cu media aritmetică

Pentru numerele $6$ și $8$ , calculați $M_{a}$ , $M_{p}$ și verificați identitatea $M_{p}^{2} - M_{a}^{2} = {(\frac{a - b}{2})}^{2}$ .

Rezolvare. $M_{a} = 7$ , $M_{p} = \sqrt{\frac{36 + 64}{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} \approx 7, 07$ . Avem $M_{p}^{2} - M_{a}^{2} = 50 - 49 = 1$ și ${(\frac{6 - 8}{2})}^{2} = 1$ ✓. Deci $M_{p}$ este doar puțin mai mare decât $M_{a}$ , pentru că numerele sunt apropiate.

Exemplul 5 — aflarea unui număr

Media pătratică a numerelor pozitive $a$ și $2$ este $\sqrt{10}$ . Aflați $a$ .

Rezolvare. $\frac{a^{2} + 4}{2} = 10 \Rightarrow a^{2} = 16 \Rightarrow a = 4$ (convine doar valoarea pozitivă).

Exerciții

Exerciții propuse

Calculați media pătratică a numerelor $1$ și $7$ .
Calculați media pătratică a numerelor $2 \sqrt{10}$ și $\sqrt{10}$ .
Calculați media pătratică a numerelor $3$ și $9$ .
Calculați media pătratică a numerelor $2$ , $3$ și $6$ .
Media pătratică a numerelor pozitive $a$ și $1$ este $5$ . Aflați $a$ .
Calculați $M_{p}^{2} - M_{a}^{2}$ pentru numerele $4$ și $10$ .
Calculați media pătratică a numerelor $\sqrt{2} - 1$ și $\sqrt{2} + 1$ .

Răspunsuri

$\sqrt{\frac{1 + 49}{2}} = \sqrt{25} = 5$ .
$\sqrt{\frac{40 + 10}{2}} = \sqrt{25} = 5$ .
$\sqrt{\frac{9 + 81}{2}} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$ .
$\sqrt{\frac{4 + 9 + 36}{3}} = \sqrt{\frac{49}{3}} = \frac{7 \sqrt{3}}{3}$ .
$\frac{a^{2} + 1}{2} = 25 \Rightarrow a^{2} = 49 \Rightarrow a = 7$ .
$M_{p}^{2} = 58$ , $M_{a}^{2} = 49$ , diferența $= 9 = {(\frac{10 - 4}{2})}^{2}$ .
Pătratele sunt $3 - 2 \sqrt{2}$ și $3 + 2 \sqrt{2}$ , suma $6$ ; $M_{p} = \sqrt{3}$ .

Vezi și media aritmetică, media geometrică și inegalitatea mediilor.

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Media pătratică — formulă pentru 2 și n numere, proprietăți și exemple rezolvate