Media armonică a unor numere pozitive este inversul mediei aritmetice a inverselor lor. Ea este media potrivită atunci când mărimile se raportează la aceeași unitate „de lucru” — cel mai cunoscut exemplu fiind viteza medie pe două porțiuni egale de drum.
Media armonică a două numere:
Media armonică a n numere:
Ce spun formulele, în cuvinte
Pentru două numere, \(M_h=\frac{2ab}{a+b}\): dublul produsului împărțit la sumă. Pentru \(n\) numere, împărțim \(n\) la suma inverselor \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}\). Exemplu clasic: dacă parcurgi o distanță cu viteza \(v_1\) și te întorci pe același drum cu viteza \(v_2\), viteza medie pe întregul traseu este media armonică \(\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\), nu media aritmetică a vitezelor.
În lanțul inegalității mediilor, media armonică este cea mai mică: \(M_h\le M_g\le M_a\le M_p\). Pentru două numere pozitive are loc și identitatea \(M_g^2=M_a\cdot M_h\), care leagă cele trei medii clasice.
Întrebări frecvente
De ce numerele trebuie să fie pozitive (nenule)? Formula folosește inversele numerelor, iar \(\frac{1}{0}\) nu este definit; pentru numere de semne diferite media armonică își pierde semnificația de valoare intermediară.
Când coincide media armonică cu media aritmetică? Numai când toate numerele sunt egale — atunci toate cele patru medii coincid cu valoarea comună.