Media armonică — formula pentru 2 și 3 numere, exemple rezolvate

Media armonică a două numere pozitive $a$ și $b$ este $H={\displaystyle \frac{2ab}{a+b}}$, iar a trei numere $a$, $b$, $c$ este $H={\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}$. În general, media armonică a $n$ numere pozitive este inversul mediei aritmetice a inverselor lor. Este media potrivită atunci când mărimile se raportează la aceeași „cantitate de lucru” — cel mai cunoscut exemplu fiind viteza medie pe două porțiuni egale de drum.

Formula generală (n numere)

Pentru $a_1,a_2,\dots ,a_n>0$:

$$H=\frac{n}{{\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_n}}}$$

Echivalent, ${\displaystyle \frac{1}{H}}={\displaystyle \frac{1}{n}}({\displaystyle \frac{1}{a_1}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_n}})$: inversul mediei armonice este media aritmetică a inverselor. Notații întâlnite în manuale: $H$, $m_h$ sau $M_h$. Numele vine de la seria armonică $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots$: fiecare termen este media armonică a vecinilor săi (de exemplu, media armonică a lui $\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{4}$ este $\frac{1}{3}$).

Interpretare. Media aritmetică răspunde la întrebarea „ce valoare comună ar da aceeași sumă?”, iar media armonică la întrebarea „ce valoare comună ar da aceeași sumă a inverselor?”. De aceea apare natural la mărimi de tip raport (viteză = distanță/timp, preț = bani/cantitate) atunci când numărătorii sunt egali: dacă parcurgi două distanțe egale cu vitezele $v_1$ și $v_2$, timpul total este $\frac{d}{v_1}+\frac{d}{v_2}$, iar viteza constantă care ar consuma același timp este exact $H(v_1,v_2)$.

Media armonică a două numere

$$H=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}=\frac{2ab}{a+b}$$

Regula de reținut: dublul produsului împărțit la sumă. Exemplu: pentru $4$ și $6$, $H={\displaystyle \frac{2\cdot 4\cdot 6}{4+6}}={\displaystyle \frac{48}{10}}=4,8$.

Media armonică a trei numere

$$H=\frac{3}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}}=\frac{3abc}{ab+bc+ca}$$

Exemplu: pentru $2$, $3$ și $6$, ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}=1$, deci $H={\displaystyle \frac{3}{1}}=3$.

Relația cu media aritmetică și media geometrică

Pentru numere pozitive, inegalitatea mediilor dă

$$H\le G\le A,\text{adică}\frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2},$$

cu egalitate doar când numerele sunt egale — atunci toate mediile coincid cu valoarea comună. Pentru două numere are loc și identitatea $G^2=A\cdot H$: media geometrică este media geometrică a mediei aritmetice și a celei armonice. Verificare pentru $4$ și $6$: $A=5$, $H=4,8$, $A\cdot H=24=G^2$. Celelalte medii sunt prezentate în pagina Medii.

Când folosești media armonică

• Viteza medie pe distanțe egale. Dus cu viteza $v_1$, întors pe același drum cu $v_2$: $v_{med}={\displaystyle \frac{2v_1{v}_2}{v_1+v_2}}$, nu ${\displaystyle \frac{v_1+v_2}{2}}$.
• Rezistoare în paralel. ${\displaystyle \frac{1}{R}}={\displaystyle \frac{1}{R_1}}+{\displaystyle \frac{1}{R_2}}$, deci $R={\displaystyle \frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}}={\displaystyle \frac{H}{2}}$: rezistența echivalentă este jumătatea mediei armonice.
• Preț mediu la sumă fixă. Cumperi de aceeași sumă un produs la prețul $p_1$, apoi la prețul $p_2$: prețul mediu plătit pe unitate este media armonică a celor două prețuri.
• Ritmuri de lucru și debite, când cantitățile de lucru sunt egale, iar ritmurile diferă.

Cum calculezi, pas cu pas

Greșeli frecvente

• Media armonică nu este media inverselor. $\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ este media aritmetică a inverselor; media armonică este inversul acesteia.
• Uiți factorul $n$ de la numărător: $H={\displaystyle \frac{n}{\sum 1/a_i}}$, nu ${\displaystyle \frac{1}{\sum 1/a_i}}$.
• Folosești media aritmetică pentru viteza medie pe porțiuni egale — rezultatul este mereu prea mare.
• Numerele trebuie să fie strict pozitive (inversul lui $0$ nu există), iar toate mărimile trebuie exprimate în aceeași unitate (km/h cu km/h, ohmi cu ohmi) înainte de calcul.

Întrebări frecvente

Care este formula mediei armonice a două numere? $H={\displaystyle \frac{2ab}{a+b}}$: dublul produsului împărțit la suma numerelor. Pentru $3$ și $6$, $H={\displaystyle \frac{36}{9}}=4$.

Cum calculez media armonică a 3 numere? $H={\displaystyle \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}}$ sau, echivalent, $H={\displaystyle \frac{3abc}{ab+bc+ca}}$: aduni inversele celor trei numere și împarți $3$ la sumă.

Când se folosește media armonică? Când mediezi rapoarte (viteze, prețuri, debite) pe cantități egale ale numitorului: viteza medie pe drumuri de lungimi egale, rezistoare în paralel, prețul mediu la sume egale cheltuite.