Trigonometrie — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 9-a)

Trigonometria de clasa a 9-a pornește de la cercul trigonometric: pentru un unghi $x$, $\cos x$ și $\sin x$ sunt coordonatele punctului corespunzător de pe cercul de rază 1, iar $\mathrm{tg}x$ $=\frac{\sin x}{\cos x}$. Cu relația ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, formulele de reducere la primul cadran și formulele pentru suma a două unghiuri rezolvi aproape orice exercițiu. Mai jos ai 10 exerciții rezolvate pas cu pas, de la radiani la ecuații trigonometrice și teorema cosinusului.

Ce trebuie să știi

$$\begin{array}{rlrlrl}{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x& =1,& \mathrm{tg}x& =\frac{\sin x}{\cos x},& \mathrm{ctg}x& =\frac{\cos x}{\sin x},\\ \sin (a\pm b)& =\sin a\cos b\pm \cos a\sin b,& \cos (a\pm b)& =\cos a\cos b\mp \sin a\sin b,& \sin 2x& =2\sin x\cos x\end{array}$$

• Radiani: ${180}^{\circ }=\pi$ rad, deci ${\alpha }^{\circ }$ $=\frac{\alpha \pi }{180}$ rad.
• Valori de bază: $\sin \frac{\pi }{6}$ $=\frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi }{4}$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \frac{\pi }{3}$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (pentru cosinus, ordinea se inversează); $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$ $=1$.
• Semne pe cadrane: în cadranul I toate sunt pozitive; în II doar $\sin$; în III doar $\mathrm{tg}$ și $\mathrm{ctg}$; în IV doar $\cos$.
• Reducere la primul cadran: $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos (\pi -x)=-\cos x$, $\sin (\pi +x)=-\sin x$, $\cos (\pi +x)=-\cos x$, $\mathrm{tg}(\pi +x)$ $=\mathrm{tg}x$, $\sin (\frac{\pi }{2}-x)$ $=\cos x$.
• Unghi dublu: $\cos 2x$ $={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ $=1-2{\sin }^{2}x$ $=2{\cos }^{2}x-1$.
• În triunghi: teorema cosinusului $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ și teorema sinusurilor $\frac{a}{\sin A}=2R$.

Toate formulele: cercul trigonometric · formule trigonometrice · tabel trigonometric. Conform programei noi de matematică pentru liceu (aplicată din anul școlar 2026–2027), aceste noțiuni se învață în clasa a 9-a; elevii care au început liceul înainte de 2026 le studiază, în mare parte, în clasa a 10-a.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. a) Transformați ${150}^{\circ }$ în radiani. b) Transformați $\frac{5\pi }{4}$ radiani în grade.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Folosim ${180}^{\circ }=\pi$ rad.
2. a) ${150}^{\circ }$ $=\frac{150\pi }{180}$ $=\frac{5\pi }{6}$ rad.
3. b) $\frac{5\pi }{4}$ $=\frac{5\cdot {180}^{\circ }}{4}$ $={225}^{\circ }$.

Răspuns: a) $\frac{5\pi }{6}$; b) ${225}^{\circ }$.

Exercițiul 2. Calculați $E$ $=\sin \frac{5\pi }{6}+\cos \frac{2\pi }{3}+\mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $\sin \frac{5\pi }{6}$ $=\sin (\pi -\frac{\pi }{6})$ $=\sin \frac{\pi }{6}$ $=\frac{1}{2}$.
2. $\cos \frac{2\pi }{3}$ $=\cos (\pi -\frac{\pi }{3})$ $=-\cos \frac{\pi }{3}$ $=-\frac{1}{2}$.
3. $\mathrm{tg}\frac{5\pi }{4}$ $=\mathrm{tg}(\pi +\frac{\pi }{4})$ $=\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$ $=1$.
4. $E$ $=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1$ $=1$.

Răspuns: $E=1$.

Exercițiul 3. Stabiliți semnul numerelor $\sin {200}^{\circ }$, $\cos {100}^{\circ }$, $\mathrm{tg}{300}^{\circ }$ și al produsului $\sin {200}^{\circ }\cdot \cos {100}^{\circ }$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. ${200}^{\circ }\in ({180}^{\circ },{270}^{\circ })$, cadranul III, unde sinusul este negativ: $\sin {200}^{\circ }<0$.
2. ${100}^{\circ }\in ({90}^{\circ },{180}^{\circ })$, cadranul II, unde cosinusul este negativ: $\cos {100}^{\circ }<0$.
3. ${300}^{\circ }\in ({270}^{\circ },{360}^{\circ })$, cadranul IV, unde tangenta este negativă: $\mathrm{tg}{300}^{\circ }$ $<0$.
4. Produsul a două numere negative este pozitiv.

Răspuns: $\sin {200}^{\circ }<0$, $\cos {100}^{\circ }<0$, $\mathrm{tg}{300}^{\circ }$ $<0$, iar $\sin {200}^{\circ }\cdot \cos {100}^{\circ }$ $>0$.

Nivel mediu

Exercițiul 4. Știind că $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$, calculați $\cos x$, $\mathrm{tg}x$ și $\mathrm{ctg}x$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Din ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: ${\cos }^{2}x$ $=1-\frac{9}{25}$ $=\frac{16}{25}$, deci $\cos x=\pm \frac{4}{5}$.
2. $x$ este în cadranul II, unde cosinusul este negativ, deci $\cos x=-\frac{4}{5}$.
3. $\mathrm{tg}x$ $=\frac{\sin x}{\cos x}$ $=\frac{3/5}{-4/5}$ $=-\frac{3}{4}$, iar $\mathrm{ctg}x$ $=\frac{1}{\mathrm{tg}x}$ $=-\frac{4}{3}$.

Răspuns: $\cos x=-\frac{4}{5}$, $\mathrm{tg}x$ $=-\frac{3}{4}$, $\mathrm{ctg}x$ $=-\frac{4}{3}$.

Exercițiul 5. Arătați că $\sin {75}^{\circ }$ $=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Scriem ${75}^{\circ }={45}^{\circ }+{30}^{\circ }$ și aplicăm formula pentru sinusul sumei.
2. $$\sin {75}^{\circ }=\sin {45}^{\circ }\cos {30}^{\circ }+\cos {45}^{\circ }\sin {30}^{\circ }$$
3. $=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}$ $=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$ $=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Răspuns: $\sin {75}^{\circ }$ $=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ (aceeași valoare are și $\cos {15}^{\circ }$, pentru că $\cos {15}^{\circ }$ $=\sin ({90}^{\circ }-{15}^{\circ })$).

Exercițiul 6. Știind că $\sin x=\frac{4}{5}$ și $x\in (0,\frac{\pi }{2})$, calculați $\sin 2x$ și $\cos 2x$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. În cadranul I cosinusul este pozitiv: $\cos x$ $=\sqrt{1-\frac{16}{25}}$ $=\frac{3}{5}$.
2. $\sin 2x$ $=2\sin x\cos x$ $=2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}$ $=\frac{24}{25}$.
3. $\cos 2x$ $=1-2{\sin }^{2}x$ $=1-\frac{32}{25}$ $=-\frac{7}{25}$.
4. Verificare: ${\left(\frac{24}{25}\right)}^2+{\left(\frac{7}{25}\right)}^2$ $=\frac{576+49}{625}$ $=1$.

Răspuns: $\sin 2x=\frac{24}{25}$, $\cos 2x=-\frac{7}{25}$.

Exercițiul 7. Se consideră expresia $E(x)$ $=\sin 2x\cdot \mathrm{tg}x+\cos 2x$, unde $x\in (0,\frac{\pi }{2})$. Arătați că $E(x)=1$, pentru orice $x\in (0,\frac{\pi }{2})$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $\sin 2x\cdot \mathrm{tg}x$ $=2\sin x\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}$ $=2{\sin }^{2}x$ (pe intervalul dat $\cos x\ne 0$).
2. $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$.
3. $E(x)$ $=2{\sin }^{2}x+1-2{\sin }^{2}x$ $=1$.

Răspuns: $E(x)=1$, ceea ce trebuia demonstrat.

Nivel greu (tip Bacalaureat)

Exercițiul 8. Rezolvați ecuația $\sin x=\frac{1}{2}$: a) pe intervalul $[0,2\pi ]$; b) în $\mathbb{R}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) Pe cercul trigonometric, $\sin x$ este ordonata punctului. Dreapta $y=\frac{1}{2}$ taie cercul în două puncte: unul în cadranul I, $x=\frac{\pi }{6}$, și simetricul lui față de axa $Oy$, în cadranul II, $x$ $=\pi -\frac{\pi }{6}$ $=\frac{5\pi }{6}$.
2. b) Sinusul are perioada $2\pi$, deci soluțiile sunt $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ și $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
3. Cele două familii se scriu compact cu formula $x$ $=(-1{)}^k\arcsin \frac{1}{2}+k\pi$, adică $x$ $=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Răspuns: a) $\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\}$; b) $\{(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

Exercițiul 9. Rezolvați ecuația $2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$, pentru $x\in [0,2\pi )$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Notăm $\cos x=t$, cu $t\in [-1,1]$: $2t^2-t-1=0$.
2. $\mathrm{\Delta }=1+8=9$, $t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$, deci $t_1=1$, $t_2=-\frac{1}{2}$ (ambele în $[-1,1]$).
3. $\cos x=1$ pe $[0,2\pi )$: $x=0$.
4. $\cos x=-\frac{1}{2}$: cosinusul este negativ în cadranele II și III; $x$ $=\pi -\frac{\pi }{3}$ $=\frac{2\pi }{3}$ sau $x$ $=\pi +\frac{\pi }{3}$ $=\frac{4\pi }{3}$.

Răspuns: $x\in \{0,\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\}$.

Exercițiul 10. În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=5$, $AC=8$ și $m(\mathrm{\angle }A)={60}^{\circ }$. Calculați lungimea laturii $BC$, raza $R$ a cercului circumscris și aria triunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Teorema cosinusului: $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$$ $B{C}^2$ $=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}$ $=49$, deci $BC=7$.
2. Teorema sinusurilor: $\frac{BC}{\sin A}$ $=2R$ $\Rightarrow R$ $=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$ $=\frac{7}{\sqrt{3}}$ $=\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
3. Aria: $\mathcal{A}$ $=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}$ $=\frac{5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$ $=10\sqrt{3}$.

Răspuns: $BC=7$, $R=\frac{7\sqrt{3}}{3}$, aria $=10\sqrt{3}$.

Greșeli frecvente

• Semnul după ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: din ${\cos }^{2}x=\frac{16}{25}$ rezultă $\cos x=\pm \frac{4}{5}$; alegi semnul după cadran (exercițiul 4), nu automat „+”.
• Formula sumei „liniarizată”: $\sin (a+b)\ne \sin a+\sin b$. De exemplu $\sin {75}^{\circ }\approx 0,97$, dar $\sin {45}^{\circ }+\sin {30}^{\circ }\approx 1,21$.
• Pierderea unei soluții: ecuația $\sin x=\frac{1}{2}$ are pe $[0,2\pi ]$ două soluții, $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{5\pi }{6}$. Desenează cercul și dreapta orizontală.
• Grade amestecate cu radiani: $\sin 30$ (radiani) nu este $\frac{1}{2}$; scrie mereu semnul de grad sau lucrează doar în radiani.
• Reducere greșită: $\cos (\pi -x)=-\cos x$, nu $\cos x$; verifică semnul cu regula cadranelor.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișe de lucru cu răspunsuri: trigonometrie, clasa a 9-a, teorema sinusurilor și a cosinusului și test de recapitulare geometrie și trigonometrie.
• Verifică orice valoare cu calculatorul trigonometric (valori exacte pentru sin, cos, tg, ctg).
• La Bacalaureat (M1), trigonometria apare la Subiectul I, ex. 6: Bac 2026 M1, Subiectul I.6 (o expresie calculată în $\frac{\pi }{3}$, ca în exercițiul 7) și Simulare Bac 2023 M1, Subiectul I.6 (ecuația $\sin 2x=1+\cos 2x$). Toți itemii: trigonometrie la Bacalaureat — subiecte rezolvate.
• Teoria pentru triunghi: teorema cosinusului și teorema sinusurilor.

Întrebări frecvente

Ce este cercul trigonometric? Este cercul cu centrul în originea sistemului de axe și raza 1, pe care unghiurile se măsoară pornind de la semiaxa $Ox$ pozitivă, în sens invers acelor de ceasornic. Pentru punctul asociat unghiului $x$, abscisa este $\cos x$, iar ordonata este $\sin x$.

Cum transform gradele în radiani? Înmulțești cu $\frac{\pi }{180}$: de exemplu ${60}^{\circ }$ $=\frac{60\pi }{180}$ $=\frac{\pi }{3}$. Invers, din radiani în grade înmulțești cu $\frac{180}{\pi }$, adică înlocuiești $\pi$ cu ${180}^{\circ }$.

Cum aflu cosinusul dacă știu sinusul? Folosești ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, deci $\cos x$ $=\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}x}$, iar semnul îl alegi după cadranul în care se află $x$: pozitiv în cadranele I și IV, negativ în II și III.

Ce înseamnă reducerea la primul cadran? Înseamnă să exprimi funcția trigonometrică a unui unghi din cadranele II, III sau IV prin valoarea unui unghi ascuțit, cu semnul potrivit. De exemplu $\cos \frac{2\pi }{3}$ $=-\cos \frac{\pi }{3}$ $=-\frac{1}{2}$.