Calculator trigonometric — sin, cos, tg, ctg pentru orice unghi, valori exacte

Calculatorul trigonometric de mai sus află sin, cos, tg și ctg pentru orice unghi, în grade sau în radiani, și arată fiecare pas: transformarea în grade/radiani, reducerea la un unghi din \([0^\circ, 360^\circ)\), cadranul și semnele, unghiul de referință, formulele de reducere la primul cadran și valorile din tabel. Pentru unghiurile multiple de \(15^\circ\) (adică de \(\dfrac{\pi}{12}\)) rezultatul este exact, cu radicali — de exemplu \(\sin 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) sau \(\cos 150^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) — iar pentru celelalte unghiuri primești valori zecimale. Desenul cercului trigonometric arată unghiul, punctul \(P\) și proiecțiile lui: \(\cos\) pe axa \(Ox\), \(\sin\) pe axa \(Oy\).

Grade și radiani

Un unghi se măsoară în grade sau în radiani. Legătura dintre ele vine din faptul că un unghi alungit are \(180^\circ\) și \(\pi\) radiani:

\[ \alpha_{\text{rad}} = \alpha^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}, \qquad \alpha^\circ = \alpha_{\text{rad}} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi}. \]

De exemplu, \(150^\circ = 150 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}\), iar \(\dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{5 \cdot 180^\circ}{4} = 225^\circ\). Un radian are aproximativ \(57^\circ 17'\), deci \(1{,}2\) rad \(\approx 68{,}75^\circ\). Valorile pentru unghiurile uzuale sunt adunate în tabelul trigonometric pentru 0°–360°.

Reducerea la primul cadran, pas cu pas

Pe cercul trigonometric (cercul de rază 1 cu centrul în origine), unghiul \(\alpha\) determină punctul \(P(\cos \alpha, \sin \alpha)\). Pentru un unghi oarecare se procedează astfel:

1. Reducem la \([0^\circ, 360^\circ)\), scăzând sau adunând rotații complete: \(\sin\) și \(\cos\) au perioada \(360^\circ\) (\(2\pi\)), iar \(\operatorname{tg}\) și \(\operatorname{ctg}\) au perioada \(180^\circ\) (\(\pi\)). Exemplu: \(1110^\circ = 30^\circ + 3 \cdot 360^\circ\).
2. Stabilim cadranul și semnul: în cadranul I toate funcțiile sunt pozitive, în II doar \(\sin\), în III doar \(\operatorname{tg}\) și \(\operatorname{ctg}\), în IV doar \(\cos\).
3. Găsim unghiul de referință \(x\) (ascuțit) și aplicăm formulele de reducere.
4. Citim valorile pentru \(x\) din tabel și punem semnul cadranului.

Pentru \(15^\circ\) și \(75^\circ\) valorile exacte se obțin cu formulele pentru sinusul și cosinusul unei diferențe sau sume: \(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\), de unde \(\sin 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\), \(\cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\), \(\operatorname{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}\). Toate aceste formule sunt pe pagina formule trigonometrice.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: \(\cos 150^\circ\). Unghiul este în cadranul II, unde cosinusul este negativ. \(150^\circ = 180^\circ - 30^\circ\), deci \(\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Exemplul 2: \(\sin \dfrac{5\pi}{4}\). \(\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}\) (adică \(225^\circ\), cadranul III), deci \(\sin \dfrac{5\pi}{4} = -\sin \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), iar \(\operatorname{tg} \dfrac{5\pi}{4} = \operatorname{tg} \dfrac{\pi}{4} = 1\).

Exemplul 3: \(\operatorname{tg}(-30^\circ)\). Funcția tangentă este impară: \(\operatorname{tg}(-30^\circ) = -\operatorname{tg} 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\). La același rezultat ajungem cu \(-30^\circ = 330^\circ - 360^\circ\) (cadranul IV).

Greșeli frecvente

• Calculatorul de buzunar în modul greșit. \(\sin 30 \approx -0{,}988\) în radiani, dar \(\sin 30^\circ = 0{,}5\). Verifică dacă lucrezi în DEG sau RAD.
• Semnul uitat. Formulele de reducere dau valoarea absolută; semnul se ia din cadran.
• \(\operatorname{tg} 90^\circ\) și \(\operatorname{ctg} 0^\circ\) nu există (împărțire la 0): tangenta nu este definită pentru \(90^\circ + k \cdot 180^\circ\), cotangenta pentru \(k \cdot 180^\circ\).
• Confuzia \(\sin\)/\(\cos\) pe cerc: cosinusul este abscisa (pe \(Ox\)), sinusul este ordonata (pe \(Oy\)).

În triunghiuri, aceste valori se folosesc în teorema sinusului și teorema cosinusului. Pentru calcule cu puteri și exponenți vezi și calculatorul de logaritmi.

Întrebări frecvente

Cât este sin 15 grade? \(\sin 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \approx 0{,}2588\). Se obține din \(\sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\).

Cum transform gradele în radiani? Înmulțești numărul de grade cu \(\dfrac{\pi}{180}\) și simplifici fracția: \(150^\circ = \dfrac{150\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}\), \(45^\circ = \dfrac{\pi}{4}\). Invers, din radiani în grade înlocuiești \(\pi\) cu \(180^\circ\): \(\dfrac{2\pi}{3} = 120^\circ\).

Cum aflu semnul lui sin, cos și tg într-un cadran? În cadranul I toate sunt pozitive; în cadranul II este pozitiv doar sinusul; în cadranul III sunt pozitive tangenta și cotangenta; în cadranul IV este pozitiv doar cosinusul. Semnul vine din coordonatele punctului \(P(\cos \alpha, \sin \alpha)\) de pe cercul trigonometric.

De ce nu există tg 90°? Pentru că \(\operatorname{tg} 90^\circ = \dfrac{\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ} = \dfrac{1}{0}\), iar împărțirea la 0 nu este definită. La fel, \(\operatorname{tg} 270^\circ\) și \(\operatorname{ctg} 0^\circ\), \(\operatorname{ctg} 180^\circ\) nu există.