Integrale — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 12-a)

O primitivă a lui $f$ este o funcție $F$ cu $F^{\prime }=f$, iar integrala definită se calculează cu formula Leibniz–Newton: ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$ $=F(b)-F(a)$. Pentru produse folosești integrarea prin părți, iar pentru funcții compuse schimbarea de variabilă. Mai jos ai 10 exerciții rezolvate, de la integrale directe la arii, volume și șiruri de integrale de tip Bacalaureat.

Ce trebuie să știi

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$$ $${\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x){|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)dx$$

• Primitive de bază: ${\displaystyle \int x^{n}dx}$ $=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ($n\ne -1$), ${\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}$ $=\ln |x|+C$, ${\displaystyle \int e^{x}dx=e^x+C}$, ${\displaystyle \int \frac{u^{\prime }}{u}dx}$ $=\ln |u|+C$.
• Integrala este liniară: ${\displaystyle \int (af+bg)}$ $=a\int f+b\int g$, dar integrala unui produs nu este produsul integralelor.
• Aria suprafeței dintre grafic, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$: $\mathcal{A}$ $={\displaystyle {\int }_a^b|f(x)|dx}$.
• Volumul corpului obținut prin rotirea graficului în jurul axei $Ox$: $V$ $=\pi {\displaystyle {\int }_a^b{f}^2(x)dx}$.
• Teorie completă: tabelul de integrale, integrala definită, integrarea prin părți, aplicații ale integralei.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

1. Calculează ${\displaystyle \int (3x^2-4x+5)dx}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Integrăm termen cu termen: ${\displaystyle \int 3x^{2}dx=x^3}$, ${\displaystyle \int 4xdx=2x^2}$, ${\displaystyle \int 5dx=5x}$.
2. Adăugăm constanta de integrare.

Răspuns: $x^3-2x^2+5x+C$.

2. Calculează ${\displaystyle {\int }_0^2(2x+1)dx}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. O primitivă este $F(x)=x^2+x$.
2. ${\displaystyle {\int }_0^2(2x+1)dx}$ $=F(2)-F(0)=(4+2)-0$ $=6$.

Răspuns: 6.

3. Arată că funcția $F:(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $F(x)=x\ln x-x$, este o primitivă a funcției $f(x)=\ln x$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Trebuie să arătăm că $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x>0$.
2. $F^{\prime }(x)=(x\ln x{)}^{\prime }-(x{)}^{\prime }$ $=\ln x+x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}-1$ $=\ln x+1-1=\ln x$.

Răspuns: $F^{\prime }(x)=\ln x=f(x)$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$.

Nivel mediu

4. Calculează ${\displaystyle {\int }_1^e(x+\frac{1}{x})dx}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. O primitivă pe $[1,e]$ este $F(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+\ln x$.
2. $F(e)-F(1)$ $=({\displaystyle \frac{e^2}{2}}+1)-({\displaystyle \frac{1}{2}}+0)$ $={\displaystyle \frac{e^2+1}{2}}$.

Răspuns: ${\displaystyle \frac{e^2+1}{2}}$.

5. Calculează ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{2x}{x^2+1}dx}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Numărătorul este derivata numitorului: $(x^2+1{)}^{\prime }=2x$, deci integrala are forma ${\displaystyle \int \frac{u^{\prime }}{u}dx}$ $=\ln |u|$.
2. ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{2x}{x^2+1}dx}$ $=\ln (x^2+1){|}_0^1$ $=\ln 2-\ln 1=\ln 2$.
3. Echivalent, cu schimbarea $t=x^2+1$: limitele devin $t=1$ și $t=2$, iar integrala devine ${\displaystyle {\int }_1^2\frac{dt}{t}}$ $=\ln 2$.

Răspuns: $\ln 2$.

6. Calculează, prin părți, ${\displaystyle {\int }_0^{1}x{e}^{x}dx}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Alegem $f(x)=x$ (se simplifică prin derivare) și $g^{\prime }(x)=e^x$, deci $f^{\prime }(x)=1$, $g(x)=e^x$.
2. ${\displaystyle {\int }_0^{1}x{e}^{x}dx}$ $=x{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx$ $=e-(e-1)$.
3. $=e-e+1=1$.

Răspuns: 1.

7. Calculează ${\displaystyle {\int }_1^e\ln xdx}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Prin părți, cu $f(x)=\ln x$, $g^{\prime }(x)=1$: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, $g(x)=x$.
2. ${\displaystyle {\int }_1^e\ln xdx}$ $=x\ln x{|}_1^e-{\int }_1^{e}x\cdot \frac{1}{x}dx$ $=(e-0)-(e-1)=1$.
3. Același rezultat îl dă primitiva de la exercițiul 3: $F(e)-F(1)=(e-e)-(0-1)=1$.

Răspuns: 1.

Nivel greu (tip Bacalaureat)

8. Calculează aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f(x)=x^2-1$, axa $Ox$ și dreptele $x=0$ și $x=2$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $f(x)=(x-1)(x+1)$: pe $[0,1]$ avem $f(x)\le 0$, pe $[1,2]$ avem $f(x)\ge 0$. Aria folosește $|f|$, deci împărțim intervalul în $x=1$.
2. ${\displaystyle {\int }_0^1(1-x^2)dx}$ $=(x-\frac{x^3}{3}){|}_0^1$ $=\frac{2}{3}$.
3. ${\displaystyle {\int }_1^2(x^2-1)dx}$ $=(\frac{x^3}{3}-x){|}_1^2$ $=\frac{2}{3}-(-\frac{2}{3})$ $=\frac{4}{3}$.
4. $\mathcal{A}$ $={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{4}{3}}$ $=2$. Atenție: ${\displaystyle {\int }_0^2(x^2-1)dx}$ $=\frac{2}{3}$ nu este aria, pentru că partea de sub axă se scade.

Răspuns: $\mathcal{A}=2$.

9. Calculează volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $V$ $=\pi {\displaystyle {\int }_0^4{f}^2(x)dx}$ $=\pi {\int }_0^{4}xdx$, pentru că $(\sqrt{x}{)}^2=x$.
2. $\pi \cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}{|}_0^4$ $=\pi \cdot {\displaystyle \frac{16}{2}}$ $=8\pi$.

Răspuns: $V=8\pi$.

10. Pentru fiecare număr natural $n$ se consideră $I_n$ $={\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx}$.
a) Calculează $I_0$ și $I_1$.
b) Arată că $I_{n+1}+I_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ pentru orice $n\in \mathbb{N}$.
c) Arată că $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{I}_n=0$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) $I_0$ $={\displaystyle {\int }_0^1\frac{dx}{1+x}}$ $=\ln (1+x){|}_0^1=\ln 2$; $I_1$ $={\displaystyle {\int }_0^1\frac{x+1-1}{1+x}dx}$ $={\int }_0^1(1-\frac{1}{1+x})dx$ $=1-\ln 2$.
2. b) $I_{n+1}+I_n$ $={\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^{n+1}+x^n}{1+x}dx}$ $={\int }_0^1\frac{x^n(x+1)}{1+x}dx$ $={\int }_0^1{x}^{n}dx$ $=\frac{1}{n+1}$.
3. c) Pe $[0,1]$: $1+x\ge 1$, deci $0\le {\displaystyle \frac{x^n}{1+x}}\le x^n$. Integrând, $0\le I_n\le {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$.
4. Cum ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}\to 0$, din criteriul cleștelui $I_n\to 0$.

Răspuns: a) $I_0=\ln 2$, $I_1=1-\ln 2$; c) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{I}_n=0$.

Greșeli frecvente

• Uiți constanta $C$ la integrala nedefinită. O funcție are o infinitate de primitive, care diferă printr-o constantă.
• Integrala produsului = produsul integralelor — greșit. Pentru ${\displaystyle \int x{e}^{x}dx}$ folosești integrarea prin părți (exercițiul 6).
• La schimbarea de variabilă nu schimbi limitele. Dacă treci la $t=x^2+1$, limitele $0$ și $1$ devin $1$ și $2$; altfel revii la $x$ înainte de a înlocui.
• Aria calculată fără modul. Când funcția este negativă pe o parte din interval, împarți intervalul la rădăcini și integrezi $|f|$ (exercițiul 8).
• Semnul la $\cos$ și $\sin$. ${\displaystyle \int \sin xdx}$ $=-\cos x+C$, iar ${\displaystyle \int \cos xdx}$ $=\sin x+C$; verifică mereu prin derivare.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișe de lucru printabile: primitive și integrale, integrarea prin părți, schimbarea de variabilă, integrala definită, arii și volume cu integrala.
• Subiecte de Bac pe capitol: integrale la Bacalaureat, rezolvate. De exemplu, Bac 2025 M1, Subiectul al III-lea, ex. 2 (integrale definite și aria unei suprafețe) și Bac 2024 M1, Subiectul al III-lea, ex. 2.
• Verifică rezultatele cu calculatorul de integrale.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre primitivă și integrala definită? Primitiva (integrala nedefinită) este o funcție, scrisă cu $+C$. Integrala definită ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx}$ este un număr, obținut ca diferența $F(b)-F(a)$ dintre valorile unei primitive.

Cum se aplică formula Leibniz–Newton? Găsești o primitivă $F$ a funcției, o evaluezi în capătul de sus și în cel de jos și faci diferența: $F(b)-F(a)$. Constanta $C$ se reduce, deci nu se mai scrie.

Când folosesc integrarea prin părți? Când integrezi un produs în care un factor se simplifică prin derivare (un polinom, $\ln x$) și celălalt are primitivă cunoscută ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$), de exemplu ${\displaystyle \int x{e}^{x}dx}$ sau ${\displaystyle \int \ln xdx}$.

Cum se calculează aria cu integrala? Aria dintre graficul lui $f$, axa $Ox$ și dreptele $x=a$, $x=b$ este ${\displaystyle {\int }_a^b|f(x)|dx}$. Dacă funcția schimbă semnul, împarți intervalul în punctele în care se anulează.