Ecuații de gradul 1 — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 7-a)

O ecuație de gradul 1 cu o necunoscută se aduce la forma $ax+b=0$, cu $a\ne 0$, și are soluția unică $x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$. Pentru a ajunge acolo desfaci parantezele, elimini numitorii, treci termenii cu $x$ într-un membru și pe ceilalți în celălalt. Mai jos ai 10 exerciții rezolvate pas cu pas, inclusiv probleme cu text de tip Evaluare Națională.

Ce trebuie să știi

• Treci termenii dintr-un membru în celălalt schimbându-le semnul: din $5x+4=2x-8$ obții $5x-2x=-8-4$.
• Paranteze: le desfaci întâi; un minus în fața parantezei schimbă semnul fiecărui termen: $-3(x+2)=-3x-6$.
• Numitori: înmulțești toți termenii ecuației, inclusiv pe cei fără numitor, cu numitorul comun.
• Împărțirea la coeficient: din $ax=c$, cu $a\ne 0$, rezultă $x={\displaystyle \frac{c}{a}}$; atenție la semn când $a$ este negativ.
• Cazuri speciale: dacă ajungi la $0\cdot x=0$, orice număr real este soluție ($S=\mathbb{R}$); dacă ajungi la $0\cdot x=b$, cu $b\ne 0$, ecuația nu are soluții ($S=\varnothing$).
• Verificarea: înlocuiești soluția în ecuația inițială; cei doi membri trebuie să dea același rezultat.

Teoria pe larg: ecuația de gradul 1 — formule și exemple.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

1. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $3x-7=11$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Treci $-7$ în membrul drept: $3x=11+7=18$.
2. Împarți la 3: $x=6$.
3. Verificare: $3\cdot 6-7=18-7=11$.

Răspuns: $S=\{6\}$.

2. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $5x+4=2x-8$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Termenii cu $x$ în stânga, numerele în dreapta: $5x-2x=-8-4$.
2. $3x=-12$, deci $x=-4$.
3. Verificare: $5\cdot (-4)+4=-16$ și $2\cdot (-4)-8=-16$.

Răspuns: $S=\{-4\}$.

3. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $2(x-3)=3x+1$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Desfaci paranteza: $2x-6=3x+1$.
2. $2x-3x=1+6$, adică $-x=7$.
3. Înmulțești cu $-1$: $x=-7$. Verificare: $2\cdot (-10)=-20$ și $3\cdot (-7)+1=-20$.

Răspuns: $S=\{-7\}$.

Nivel mediu

4. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația ${\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{x}{3}}=10$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Numitorul comun este 6; înmulțești fiecare termen cu 6: $3x+2x=60$.
2. $5x=60$, deci $x=12$.
3. Verificare: ${\displaystyle \frac{12}{2}}+{\displaystyle \frac{12}{3}}=6+4=10$.

Răspuns: $S=\{12\}$.

5. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația ${\displaystyle \frac{x-1}{3}}-{\displaystyle \frac{x+2}{4}}=1$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Înmulțești toți termenii cu 12, inclusiv pe 1 din dreapta: $4(x-1)-3(x+2)=12$.
2. Desfaci parantezele (atenție la minusul din fața celei de-a doua): $4x-4-3x-6=12$.
3. $x-10=12$, deci $x=22$.
4. Verificare: ${\displaystyle \frac{21}{3}}-{\displaystyle \frac{24}{4}}=7-6=1$.

Răspuns: $S=\{22\}$.

6. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{2}x-4=\sqrt{2}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $\sqrt{2}x=4+\sqrt{2}$.
2. Împarți la $\sqrt{2}$: $x={\displaystyle \frac{4+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}+1$.
3. Raționalizezi: ${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}$, deci $x=2\sqrt{2}+1$.
4. Verificare: $\sqrt{2}(2\sqrt{2}+1)-4=4+\sqrt{2}-4=\sqrt{2}$.

Răspuns: $S=\{2\sqrt{2}+1\}$.

7. Determină numărul real $m$, știind că $x=2$ este soluție a ecuației $3x+m=2m-x+5$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Dacă 2 este soluție, egalitatea este adevărată pentru $x=2$: $6+m=2m-2+5$.
2. $6+m=2m+3$, deci $m=3$.
3. Verificare: pentru $m=3$ ecuația este $3x+3=11-x$, adică $4x=8$, $x=2$.

Răspuns: $m=3$.

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

8. Un elev a citit o carte în trei zile. În prima zi a citit o treime din carte, a doua zi 40% din paginile rămase, iar a treia zi ultimele 72 de pagini. Câte pagini are cartea?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Notezi cu $x$ numărul de pagini. Prima zi: ${\displaystyle \frac{x}{3}}$; rămân ${\displaystyle \frac{2x}{3}}$ pagini.
2. A doua zi: ${\displaystyle \frac{40}{100}}\cdot {\displaystyle \frac{2x}{3}}={\displaystyle \frac{4x}{15}}$ pagini.
3. Ecuația: ${\displaystyle \frac{x}{3}}+{\displaystyle \frac{4x}{15}}+72=x$. Înmulțești cu 15: $5x+4x+1080=15x$, deci $6x=1080$, $x=180$.
4. Verificare: 60 de pagini în prima zi, 40% din 120 = 48 a doua zi, 72 a treia zi; $60+48+72=180$.

Răspuns: cartea are 180 de pagini.

9. Un tată are 41 de ani, iar fiul lui are 11 ani. Peste câți ani vârsta tatălui va fi de trei ori mai mare decât vârsta fiului?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Peste $x$ ani, tatăl va avea $41+x$ ani, iar fiul $11+x$ ani.
2. Ecuația: $41+x=3(11+x)$, adică $41+x=33+3x$.
3. $41-33=3x-x$, deci $2x=8$, $x=4$.
4. Verificare: peste 4 ani, tatăl va avea 45 de ani, iar fiul 15 ani, și $45=3\cdot 15$.

Răspuns: peste 4 ani.

10. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuațiile: a) $2(x+3)-x=x+6$; b) $2(x+3)-x=x+5$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) Membrul stâng este $2x+6-x=x+6$, deci ecuația devine $x+6=x+6$, adică $0\cdot x=0$.
2. Egalitatea este adevărată pentru orice $x$: $S=\mathbb{R}$.
3. b) Obții $x+6=x+5$, adică $0\cdot x=-1$, ceea ce nu se întâmplă pentru niciun $x$: $S=\varnothing$.

Răspuns: a) $S=\mathbb{R}$; b) $S=\varnothing$.

Greșeli frecvente

• Muți un termen fără să-i schimbi semnul. Din $3x-7=11$ rezultă $3x=11+7$, nu $3x=11-7$.
• Minusul din fața parantezei. $-3(x+2)=-3x-6$, nu $-3x+6$. Schimbă semnul fiecărui termen din paranteză.
• Uiți să înmulțești termenul fără numitor. În exercițiul 5, după înmulțirea cu 12, membrul drept devine 12, nu rămâne 1.
• Semnul la împărțirea cu un număr negativ. Din $-x=7$ rezultă $x=-7$; din $-2x=10$ rezultă $x=-5$.
• Scrii „$x=0$” în cazurile speciale. $0\cdot x=0$ înseamnă $S=\mathbb{R}$, iar $0\cdot x=-1$ înseamnă $S=\varnothing$; niciunul nu înseamnă soluția 0.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișe de lucru printabile, cu răspunsuri: ecuații de gradul 1 — clasa a 7-a, apoi sisteme de ecuații.
• Itemi din subiectele oficiale: ecuații la Evaluarea Națională. De exemplu, EN 2025, Subiectul I, itemul 4 (o ecuație de forma $ax+b=c$) și EN 2024, Subiectul I, itemul 6 (verifici dacă un număr este soluție). Problemele cu text de la Subiectul al III-lea, problema 1 se rezolvă la fel ca exercițiile 8 și 9.
• Tot pentru clasa a 7-a: radicali și raționalizare, sisteme de ecuații, teorema lui Pitagora, teorema lui Thales.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă o ecuație de gradul 1? Desfaci parantezele, elimini numitorii înmulțind cu numitorul comun, aduci termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt (schimbând semnul celor mutați), reduci termenii asemenea și împarți la coeficientul lui $x$. La final verifici soluția.

Ce înseamnă că două ecuații sunt echivalente? Au aceeași mulțime de soluții. Toți pașii de rezolvare (mutarea termenilor, înmulțirea sau împărțirea cu un număr nenul) transformă ecuația într-una echivalentă.

Când o ecuație de gradul 1 nu are soluții? Când, după reducerea termenilor, $x$ dispare și rămâne o egalitate falsă, de tipul $0\cdot x=-1$. Dacă rămâne o egalitate adevărată ($0\cdot x=0$), orice număr real este soluție.

Cum verific dacă un număr este soluția unei ecuații? Îl înlocuiești pe $x$ cu acel număr în ambii membri ai ecuației inițiale. Dacă obții aceeași valoare, numărul este soluție; altfel, nu.