Mulțimi exerciții rezolvate clasa a 6-a

Q: Ce este cardinalul unei mulțimi?

Cardinalul unei mulțimi finite este numărul elementelor ei, notat card A . De exemplu, pentru A = \0, 2, 4, 6, 8\ avem card A = 5 ; mulțimea vidă are cardinalul 0.

Q: Care este diferența dintre „aparține” și „este inclusă”?

„Aparține” ( ∈ ) se folosește între un element și o mulțime: 3 ∈ \1, 3\ . „Este inclusă” ( ) se folosește între două mulțimi: \3\ \1, 3\ , adică toate elementele primei mulțimi sunt și în a doua.

Q: Cum se calculează reuniunea și intersecția a două mulțimi?

La reuniune scrii toate elementele celor două mulțimi, fiecare o singură dată; la intersecție păstrezi doar elementele comune. Pentru \1, 2, 3\ și \2, 3, 4\ : reuniunea este \1, 2, 3, 4\ , intersecția \2, 3\ .

Q: Ce este diferența a două mulțimi?

A B conține elementele lui A care nu sunt în B . Ordinea contează: pentru A = \1, 2, 3\ și B = \2, 3, 4\ , A B = \1\ , dar B A = \4\ .

O mulțime este o colecție de obiecte distincte, numite elementele mulțimii; o scrii prin enumerarea elementelor între acolade, printr-o proprietate comună sau printr-o diagramă. Cu două mulțimi $A$ și $B$ faci trei operații: reuniunea $A \cup B$ (elementele care sunt în cel puțin una), intersecția $A \cap B$ (elementele comune) și diferența $A ∖ B$ (elementele lui $A$ care nu sunt în $B$ ).

Ce trebuie să știi

\begin{aligned} A \cup B & = {x ∣ x \in A sau x \in B} \\ A \cap B & = {x ∣ x \in A și x \in B} \\ A ∖ B & = {x ∣ x \in A și x \notin B} \end{aligned}

Apartenență: $3 \in {1, 3, 5}$ („3 aparține mulțimii”), $4 \notin {1, 3, 5}$ . Simbolul $\in$ leagă un element de o mulțime.
Incluziune: $A \subset B$ („ $A$ este inclusă în $B$ ”) dacă fiecare element al lui $A$ este și element al lui $B$ . Simbolul $\subset$ leagă două mulțimi. Două mulțimi sunt egale dacă au exact aceleași elemente.
Scriere: elementele unei mulțimi se scriu o singură dată, iar ordinea lor nu contează: ${1, 2, 3} = {3, 1, 2}$ . Mulțimea fără niciun element este mulțimea vidă, $\emptyset$ .
Cardinal: numărul de elemente al unei mulțimi finite, notat $card A$ . Mulțimea numerelor naturale $N = {0, 1, 2, 3, \dots}$ este infinită.
Mulțimi des folosite: $D_{12} = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$ (divizorii lui 12), $M_{5} = {0, 5, 10, 15, \dots}$ (multiplii lui 5, mulțime infinită).

Teoria pe scurt, cu exemple: formule mulțimi · formule matematică clasa a 6-a.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Fie $A$ mulțimea cifrelor pare. a) Scrie mulțimea $A$ prin enumerarea elementelor și află $card A$ . b) Completează cu $\in$ sau $\notin$ : $4 \dots A$ , $7 \dots A$ , $10 \dots A$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Cifrele sunt 0, 1, 2, …, 9; dintre ele, pare sunt 0, 2, 4, 6, 8 (nu uita de 0, care este cifră pară).
$A = {0, 2, 4, 6, 8}$ , deci $card A = 5$ .
$4 \in A$ ; $7 \notin A$ (7 este impar); $10 \notin A$ (10 este un număr par, dar nu este cifră).

Răspuns: a) $A = {0, 2, 4, 6, 8}$ , $card A = 5$ ; b) $4 \in A$ , $7 \notin A$ , $10 \notin A$

Exercițiul 2. Scrie mulțimea literelor cuvântului PARALELOGRAM și află câte elemente are.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Parcurgi cuvântul literă cu literă: P, A, R, A, L, E, L, O, G, R, A, M (12 litere).
Într-o mulțime fiecare element apare o singură dată, deci literele care se repetă (A de trei ori, R și L de câte două ori) se scriu o singură dată.
Mulțimea este ${P, A, R, L, E, O, G, M}$ .

Răspuns: ${P, A, R, L, E, O, G, M}$ , cu 8 elemente (nu 12)

Exercițiul 3. Scrie prin enumerarea elementelor mulțimile: a) $A = {x \in N ∣ 3 \leq x < 8}$ ; b) $D_{18}$ , mulțimea divizorilor lui 18; c) mulțimea multiplilor lui 4 mai mici decât 30.

Vezi rezolvarea pas cu pas

a) Numerele naturale mai mari sau egale cu 3 și strict mai mici decât 8: $A = {3, 4, 5, 6, 7}$ (3 se ia, 8 nu).
b) Cauți perechile de factori ai lui 18: $1 \cdot 18$ , $2 \cdot 9$ , $3 \cdot 6$ . Deci $D_{18} = {1, 2, 3, 6, 9, 18}$ .
c) Multiplii lui 4 sunt $4 \cdot 0, 4 \cdot 1, 4 \cdot 2, \dots$ . Cei mai mici decât 30: ${0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}$ (0 este multiplu al oricărui număr natural; $4 \cdot 8 = 32$ depășește 30).

Răspuns: a) ${3, 4, 5, 6, 7}$ ; b) ${1, 2, 3, 6, 9, 18}$ ; c) ${0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}$

Nivel mediu

Exercițiul 4. Fie $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ și $B = {2, 4, 6, 8, 10}$ . Determină $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A ∖ B$ și $B ∖ A$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Reuniunea: scrii toate elementele lui $A$ , apoi adaugi elementele lui $B$ care lipsesc (8 și 10): $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}$ .
Intersecția: elementele comune: $A \cap B = {2, 4, 6}$ .
$A ∖ B$ : din $A$ tai elementele care sunt și în $B$ : $A ∖ B = {1, 3, 5}$ .
$B ∖ A$ : din $B$ tai elementele care sunt și în $A$ : $B ∖ A = {8, 10}$ . Observi că $A ∖ B \neq B ∖ A$ .

Răspuns: $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}$ , $A \cap B = {2, 4, 6}$ , $A ∖ B = {1, 3, 5}$ , $B ∖ A = {8, 10}$

Exercițiul 5. Fie $A = {2, 4}$ , $B = D_{8}$ (divizorii lui 8) și $C$ mulțimea numerelor naturale pare mai mici decât 9. Stabilește care dintre afirmațiile următoare sunt adevărate: $A \subset B$ , $A \subset C$ , $B \subset C$ , $C \subset B$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Scrii mulțimile prin enumerare: $B = {1, 2, 4, 8}$ , $C = {0, 2, 4, 6, 8}$ .
$A \subset B$ : 2 și 4 sunt divizori ai lui 8, deci adevărat. $A \subset C$ : 2 și 4 sunt pare și mai mici decât 9, deci adevărat.
$B \subset C$ este falsă: $1 \in B$ , dar $1 \notin C$ (este impar). Un singur element „în plus” e suficient ca incluziunea să nu aibă loc.
$C \subset B$ este falsă: $0 \in C$ , dar $0 \notin B$ (la fel și 6).

Răspuns: adevărate: $A \subset B$ și $A \subset C$ ; false: $B \subset C$ și $C \subset B$

Exercițiul 6. Determină numerele naturale $a$ și $b$ pentru care mulțimile $A = {3, a + 1, 8}$ și $B = {3, 5, b}$ sunt egale.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Mulțimile egale au aceleași elemente. Cum $5 \in B$ , trebuie ca $5 \in A$ . Singurul element al lui $A$ care poate fi 5 este $a + 1$ , deci $a + 1 = 5$ , adică $a = 4$ .
Acum $A = {3, 5, 8}$ . Cum $8 \in A$ , trebuie ca $8 \in B$ ; singura posibilitate este $b = 8$ .
Verificare: $A = {3, 5, 8} = B$ .

Răspuns: $a = 4$ , $b = 8$

Exercițiul 7. Fie $A = D_{24}$ și $B = D_{18}$ . Determină $A \cap B$ și $card (A \cup B)$ . Care este cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 18?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Scrii divizorii: $D_{24} = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$ , $D_{18} = {1, 2, 3, 6, 9, 18}$ .
$A \cap B = {1, 2, 3, 6}$ — sunt exact divizorii comuni ai lui 24 și 18; cel mai mare dintre ei este 6.
$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24}$ , deci $card (A \cup B) = 10$ .
Verificare: $8 + 6 = 14$ , dar cele 4 elemente comune au fost numărate de două ori: $14 - 4 = 10$ .

Răspuns: $A \cap B = {1, 2, 3, 6}$ , $card (A \cup B) = 10$ , cel mai mare divizor comun este 6

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

Exercițiul 8. Într-o clasă sunt 30 de elevi. 18 elevi merg la cercul de matematică, 14 la cercul de informatică, iar 5 elevi nu merg la niciunul. Câți elevi merg la ambele cercuri? Câți merg doar la matematică?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Elevii care merg la cel puțin un cerc: $30 - 5 = 25$ .
Dacă aduni $18 + 14 = 32$ , elevii care merg la ambele cercuri sunt numărați de două ori. Diferența $32 - 25 = 7$ reprezintă exact acești elevi.
Doar matematică: $18 - 7 = 11$ ; doar informatică: $14 - 7 = 7$ .
Verificare pe diagramă: $11 + 7 + 7 + 5 = 30$ .

Răspuns: 7 elevi merg la ambele cercuri; 11 merg doar la matematică

Exercițiul 9. Determină mulțimile $A$ și $B$ știind că $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ , $A \cap B = {3, 5}$ și $A ∖ B = {1, 2, 6}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Elementele lui $A$ sunt fie comune cu $B$ , fie doar în $A$ : $A = (A \cap B) \cup (A ∖ B) = {1, 2, 3, 5, 6}$ .
Elementele reuniunii care nu sunt în $A$ sunt doar în $B$ : 4 și 7.
Deci $B$ conține elementele comune (3, 5) și pe cele doar din $B$ (4, 7): $B = {3, 4, 5, 7}$ .
Verificare: $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ , $A \cap B = {3, 5}$ , $A ∖ B = {1, 2, 6}$ .

Răspuns: $A = {1, 2, 3, 5, 6}$ , $B = {3, 4, 5, 7}$

Exercițiul 10. Fie $A$ mulțimea numerelor naturale nenule, mai mici sau egale cu 40, care se divid cu 4, și $B$ mulțimea numerelor naturale nenule, mai mici sau egale cu 40, care se divid cu 6. Calculează $card A$ , $card B$ , determină $A \cap B$ și află $card (A \cup B)$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

$A = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40}$ , deci $card A = 10$ .
$B = {6, 12, 18, 24, 30, 36}$ , deci $card B = 6$ ( $6 \cdot 7 = 42$ depășește 40).
Elementele comune sunt multiplii comuni ai lui 4 și 6 din listă: $A \cap B = {12, 24, 36}$ .
$card (A \cup B) = 10 + 6 - 3 = 13$ (scazi elementele comune, care altfel ar fi numărate de două ori).

Răspuns: $card A = 10$ , $card B = 6$ , $A \cap B = {12, 24, 36}$ , $card (A \cup B) = 13$

Greșeli frecvente

Scrii același element de mai multe ori: mulțimea literelor cuvântului PARALELOGRAM are 8 elemente, nu 12 (exercițiul 2).
Confunzi $\in$ cu $\subset$ : corect este $2 \in {1, 2}$ și ${2} \subset {1, 2}$ ; scrierile $2 \subset {1, 2}$ sau ${2} \in {1, 2}$ sunt greșite.
Uiți de 0: 0 este număr natural, cifră pară și multiplu al oricărui număr natural, deci intră în ${x \in N ∣ x < 5} = {0, 1, 2, 3, 4}$ (5 elemente, nu 4).
Crezi că $A ∖ B = B ∖ A$ : diferența depinde de ordine (exercițiul 4: ${1, 3, 5}$ față de ${8, 10}$ ).
Aduni cardinalele la reuniune: $card (A \cup B)$ este egal cu $card A + card B$ doar dacă mulțimile nu au elemente comune; altfel scazi elementele comune (exercițiile 7, 8, 10).

Verifică-te

Verifică-te: 5 întrebări

Câte elemente are mulțimea ${x \in N ∣ x < 5}$ ?

Dacă $A = {1, 3, 5}$ și $B = {3, 5, 7}$ , atunci $A \cap B$ este:

${1, 3, 5, 7}$
${3, 5}$
${1}$

Dacă $A = {2, 4, 6, 8}$ și $B = {4, 8}$ , atunci $A ∖ B$ este:

${2, 6}$
${4, 8}$
$\emptyset$

Care dintre mulțimi este infinită?

mulțimea cifrelor
mulțimea divizorilor lui 100
mulțimea numerelor naturale pare

Care scriere este corectă?

${1, 2} \subset {1, 2, 3}$
$2 \subset {1, 2}$
${3} \in {1, 2, 3}$

Exersează mai departe

Fișă de lucru: mulțimi, clasa a 6-a (printabilă, cu răspunsuri).
Test: divizibilitatea în mulțimea numerelor naturale, clasa a 6-a, cu barem — aceeași unitate cu mulțimile în programa de clasa a 6-a.
Mulțimile apar și la Evaluarea Națională de clasa a 8-a, de obicei în Subiectul I: EN 2019, Subiectul I, itemul 3 (cel mai mic număr impar dintr-o mulțime) și EN 2022, testul de antrenament 5, itemul 3 (probabilitatea ca un element ales dintr-o mulțime să fie număr par).
Divizori și multipli: divizibilitate, numere prime și compuse.
Următorul capitol din clasa a 6-a: numere întregi — exerciții rezolvate.

Întrebări frecvente

Ce este cardinalul unei mulțimi? Cardinalul unei mulțimi finite este numărul elementelor ei, notat $card A$ . De exemplu, pentru $A = {0, 2, 4, 6, 8}$ avem $card A = 5$ ; mulțimea vidă are cardinalul 0.

Care este diferența dintre „aparține” și „este inclusă”? „Aparține” ( $\in$ ) se folosește între un element și o mulțime: $3 \in {1, 3}$ . „Este inclusă” ( $\subset$ ) se folosește între două mulțimi: ${3} \subset {1, 3}$ , adică toate elementele primei mulțimi sunt și în a doua.

Cum se calculează reuniunea și intersecția a două mulțimi? La reuniune scrii toate elementele celor două mulțimi, fiecare o singură dată; la intersecție păstrezi doar elementele comune. Pentru ${1, 2, 3}$ și ${2, 3, 4}$ : reuniunea este ${1, 2, 3, 4}$ , intersecția ${2, 3}$ .

Ce este diferența a două mulțimi? $A ∖ B$ conține elementele lui $A$ care nu sunt în $B$ . Ordinea contează: pentru $A = {1, 2, 3}$ și $B = {2, 3, 4}$ , $A ∖ B = {1}$ , dar $B ∖ A = {4}$ .

Mulțimi — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 6-a)

Ce trebuie să știi

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Nivel mediu

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

Greșeli frecvente

Verifică-te

Exersează mai departe

Întrebări frecvente

Formule conexe