Probabilități exerciții rezolvate clasa a 10-a

Q: Cât este probabilitatea evenimentului contrar?

P(A) = 1 - P(A) . E utilă la cerințe de tipul „cel puțin unul”: la două zaruri, probabilitatea de a obține cel puțin un 6 este 1 - (25)/(36) = (11)/(36) .

Q: Cum calculezi probabilitatea reuniunii a două evenimente?

Cu formula P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). Scazi intersecția ca să nu numeri de două ori cazurile comune; dacă evenimentele nu au cazuri comune, doar aduni probabilitățile.

Probabilitatea unui eveniment, când toate rezultatele posibile sunt egal probabile, este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: $P (A) = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile}$ . Cazurile se numără direct sau cu permutări, aranjamente și combinări; rezultatul este mereu un număr între 0 și 1.

Ce trebuie să știi

\begin{aligned} P (A) & = \frac{nr. cazuri favorabile}{nr. cazuri posibile}, & P (\bar{A}) & = 1 - P (A), \\ P_{n} & = n!, & A_{n}^{k} & = \frac{n!}{(n - k)!}, \\ C_{n}^{k} & = \frac{n!}{k! (n - k)!}, & P (A \cup B) & = P (A) + P (B) - P (A \cap B) \end{aligned}

Evenimente egal probabile: formula clasică se aplică doar dacă fiecare rezultat posibil are aceeași șansă (o față a zarului, un număr ales la întâmplare dintr-o mulțime).
Permutări $P_{n}$ : numărul de moduri de a ordona $n$ obiecte distincte.
Aranjamente $A_{n}^{k}$ : alegi $k$ obiecte din $n$ și contează ordinea (numere formate din cifre, podium, funcții injective).
Combinări $C_{n}^{k}$ : alegi $k$ obiecte din $n$ și nu contează ordinea (submulțimi, echipe, comisii).
Evenimentul contrar: când „cel puțin unul” e greu de numărat, calculezi $1 - P (niciunul)$ .
Repere: numere de două cifre sunt 90 (de la 10 la 99), de trei cifre 900; numărul funcțiilor $f : A \to B$ cu $| A | = m$ , $| B | = n$ este $n^{m}$ .

Toate formulele, cu exemple: formule pentru probabilități · combinatorică: permutări, aranjamente, combinări · formule matematică clasa a 10-a.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Se aruncă un zar. Determină probabilitatea ca numărul apărut să fie prim.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Cazuri posibile: fețele 1, 2, 3, 4, 5, 6, deci 6 cazuri egal probabile.
Cazuri favorabile: numerele prime 2, 3 și 5, deci 3 cazuri (1 nu este număr prim).
$P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Răspuns: $\frac{1}{2}$

Exercițiul 2. Determină probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea ${1, 2, 3, \dots, 30}$ , acesta să fie multiplu de 4.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Mulțimea are 30 de elemente, deci 30 de cazuri posibile.
Multiplii lui 4 până la 30: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, adică 7 cazuri favorabile ( $30 : 4 = 7$ rest 2).
$P = \frac{7}{30}$ .

Răspuns: $\frac{7}{30}$

Exercițiul 3. Determină probabilitatea ca, alegând un număr natural de două cifre, acesta să fie pătrat perfect.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Numerele de două cifre sunt 10, 11, …, 99, adică $99 - 10 + 1 = 90$ de cazuri posibile.
Pătratele perfecte de două cifre: $16, 25, 36, 49, 64, 81$ ( $4^{2}$ până la $9^{2}$ ), deci 6 cazuri favorabile.
$P = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$ .

Răspuns: $\frac{1}{15}$

Nivel mediu

Exercițiul 4. Determină probabilitatea ca, alegând o submulțime cu două elemente a mulțimii ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , suma elementelor ei să fie pară.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Submulțimile cu două elemente nu țin cont de ordine, deci sunt $C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$ cazuri posibile.
Suma a două numere este pară dacă sunt ambele pare sau ambele impare.
Ambele pare (din 2, 4, 6): $C_{3}^{2} = 3$ ; ambele impare (din 1, 3, 5): $C_{3}^{2} = 3$ . Total: 6 cazuri favorabile.
$P = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ .

Răspuns: $\frac{2}{5}$

Exercițiul 5. Se aruncă două zaruri. Determină probabilitatea ca cel puțin unul dintre ele să arate fața 6.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Rezultatele sunt perechi ordonate $(a, b)$ , $a, b \in {1, \dots, 6}$ : $6 \cdot 6 = 36$ de cazuri egal probabile.
Evenimentul contrar, „niciun 6”: fiecare zar are 5 variante, deci $5 \cdot 5 = 25$ de cazuri, cu $P (\bar{A}) = \frac{25}{36}$ .
$P (A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ .
Verificare prin numărare directă: 6 perechi cu 6 pe primul zar, 6 cu 6 pe al doilea, minus perechea $(6, 6)$ numărată de două ori: $6 + 6 - 1 = 11$ .

Răspuns: $\frac{11}{36}$

Exercițiul 6. Determină probabilitatea ca, alegând un număr natural de trei cifre, acesta să aibă cifrele distincte.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Numerele de trei cifre sunt 100, …, 999: 900 de cazuri posibile.
Cifra sutelor: 9 variante (orice cifră în afară de 0).
Cifrele zecilor și unităților: alegi ordonat 2 cifre din cele 9 rămase (inclusiv 0), adică $A_{9}^{2} = 9 \cdot 8 = 72$ de variante.
Cazuri favorabile: $9 \cdot 72 = 648$ , deci $P = \frac{648}{900} = \frac{18}{25}$ .

Răspuns: $\frac{18}{25}$

Exercițiul 7. Într-o clasă sunt 12 fete și 8 băieți. Se aleg la întâmplare 3 elevi pentru un concurs. Determină probabilitatea ca printre ei să fie exact 2 fete.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Echipa nu are ordine, deci cazuri posibile: $C_{20}^{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = 1140$ .
Alegi 2 fete din 12: $C_{12}^{2} = 66$ de moduri, și 1 băiat din 8: $C_{8}^{1} = 8$ moduri.
Cazuri favorabile: $66 \cdot 8 = 528$ (regula produsului).
$P = \frac{528}{1140} = \frac{44}{95}$ .

Răspuns: $\frac{44}{95}$

Nivel greu (tip Bacalaureat)

Exercițiul 8. Determină probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $M = {2, 3, 4, \dots, 9}$ , acesta să verifice inegalitatea $A_{n}^{2} > 3 n$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Mulțimea $M$ are 8 elemente; pentru fiecare $n \geq 2$ , $A_{n}^{2}$ este definit.
$A_{n}^{2} = \frac{n!}{(n - 2)!} = n (n - 1)$ , deci inegalitatea devine $n (n - 1) > 3 n$ .
Împarți la $n > 0$ : $n - 1 > 3$ , adică $n > 4$ .
Cazuri favorabile: $n \in {5, 6, 7, 8, 9}$ , adică 5, deci $P = \frac{5}{8}$ .

Răspuns: $\frac{5}{8}$

Exercițiul 9. Determină probabilitatea ca, alegând o funcție $f : {1, 2, 3} \to {1, 2, 3, 4}$ , aceasta să fie injectivă.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Fiecare dintre cele 3 elemente ale domeniului are 4 valori posibile: $4^{3} = 64$ de funcții (cazuri posibile).
O funcție injectivă ia valori distincte în 1, 2, 3: alegi ordonat 3 valori din 4, deci $A_{4}^{3} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ de funcții injective.
$P = \frac{24}{64} = \frac{3}{8}$ .

Răspuns: $\frac{3}{8}$

Exercițiul 10. Determină probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea ${1, 2, 3, \dots, 50}$ , acesta să fie divizibil cu 2 sau cu 3.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Fie $A$ = „numărul se divide cu 2” și $B$ = „numărul se divide cu 3”. Cazuri posibile: 50.
Multipli de 2: 25; multipli de 3: 16 ( $3, 6, \dots, 48$ ); multipli comuni, adică de 6: 8 ( $6, 12, \dots, 48$ ).
$\begin{aligned} P (A \cup B) & = P (A) + P (B) - P (A \cap B) \\ = \frac{25}{50} + \frac{16}{50} - \frac{8}{50} = \frac{33}{50} \end{aligned}$
Multiplii lui 6 se scad o dată, pentru că au fost numărați și la 2, și la 3.

Răspuns: $\frac{33}{50}$

Greșeli frecvente

Numeri greșit numerele de două cifre: sunt 90 (de la 10 la 99), nu 99 sau 100. La fel, numere de trei cifre sunt 900, iar prima cifră nu poate fi 0 (exercițiul 6).
Confunzi aranjamentele cu combinările: la submulțimi, echipe și comisii ordinea nu contează ( $C_{n}^{k}$ ); la numere, clasamente și funcții injective ordinea contează ( $A_{n}^{k}$ ).
Consideri egal probabile rezultate care nu sunt: la două zaruri, suma 7 are probabilitatea $\frac{6}{36}$ , iar suma 2 doar $\frac{1}{36}$ . Lucrezi cu perechile $(a, b)$ , nu cu sumele.
Aduni probabilitățile fără să scazi intersecția: corect este $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ $- P (A \cap B)$ ; altfel cazurile comune sunt numărate de două ori (exercițiul 10).
Obții o probabilitate mai mare decât 1 sau uiți să simplifici fracția: orice rezultat trebuie să fie între 0 și 1; dacă nu e, ai numărat greșit cazurile posibile.

Verifică-te

Verifică-te: 5 întrebări

Se aruncă un zar. Probabilitatea să apară un număr par este:

$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}$

Câte numere naturale de două cifre există?

Valoarea lui $C_{5}^{2}$ este:

Se aruncă două monede. Probabilitatea să apară cel puțin o dată „banul” este:

$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{3}{4}$

În câte moduri se pot ocupa locurile I și II într-un concurs cu 6 participanți?

Exersează mai departe

Fișă de lucru: combinatorică, clasa a 10-a și fișa de matematici financiare, statistică și probabilități (printabile, cu răspunsuri).
Test tip Bac, Subiectul I, clasa a 10-a.
Calculator de combinări, aranjamente și permutări: verifici rapid $C_{n}^{k}$ , $A_{n}^{k}$ , $n!$ .
La Bacalaureat, probabilitatea apare aproape în fiecare variantă la Subiectul I, ex. 4: Simulare Bac 2026 M1, Subiectul I, ex. 4 (numere de două cifre cu cifre nenule și produsul cifrelor divizibil cu 5) și Bac 2026 M1, Subiectul I, ex. 4 (submulțimi cu trei elemente care conțin un element dat). Toți itemii, pe ani: probabilități și combinatorică la Bac.

Întrebări frecvente

Cum se calculează probabilitatea unui eveniment? Dacă toate rezultatele sunt egal probabile, împarți numărul cazurilor favorabile la numărul cazurilor posibile: $P (A) = \frac{favorabile}{posibile}$ . De exemplu, la un zar, probabilitatea unui număr prim este $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Când folosesc combinări și când aranjamente? Dacă ordinea elementelor alese contează (numere, clasamente, funcții injective) folosești aranjamente $A_{n}^{k}$ ; dacă nu contează (submulțimi, echipe, comisii) folosești combinări $C_{n}^{k}$ .

Cât este probabilitatea evenimentului contrar? $P (\bar{A}) = 1 - P (A)$ . E utilă la cerințe de tipul „cel puțin unul”: la două zaruri, probabilitatea de a obține cel puțin un 6 este $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ .

Cum calculezi probabilitatea reuniunii a două evenimente? Cu formula $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .$ Scazi intersecția ca să nu numeri de două ori cazurile comune; dacă evenimentele nu au cazuri comune, doar aduni probabilitățile.

Probabilități — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 10-a)

Ce trebuie să știi

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Nivel mediu

Nivel greu (tip Bacalaureat)

Greșeli frecvente

Verifică-te

Exersează mai departe

Întrebări frecvente

Formule conexe