Funcția liniară — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 8-a)

Funcția liniară are forma $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$, iar graficul ei este o dreaptă. În clasa a 8-a se cer valori ale funcției, intersecțiile graficului cu axele, verificarea unui punct pe grafic și aflarea funcției din două condiții; un punct $M(m,n)$ este pe grafic exact când $f(m)=n$.

Ce trebuie să știi

$$f(x)=ax+b,G_f\cap Oy=\{(0,b)\},G_f\cap Ox=\left\{(-\frac{b}{a},0)\right\}(a\ne 0)$$

• Punct pe grafic: $M(m,n)\in G_f$ $⟺f(m)$ $=n$ (prima coordonată intră în funcție, a doua este rezultatul).
• Intersecția cu Ox: rezolvi $f(x)=0$; intersecția cu Oy: calculezi $f(0)$.
• Reprezentarea grafică: ajung două puncte (de obicei cele de pe axe), prin care trasezi dreapta.
• Funcția din două condiții: din $f(x_1)=y_1$ și $f(x_2)=y_2$ obții un sistem în $a$ și $b$.
• Intersecția a două grafice: rezolvi $f(x)=g(x)$.
• Aria triunghiului format de grafic cu axele: $\frac{|x_A|\cdot |y_B|}{2}$ (lungimile sunt pozitive).

Teoria pe larg: funcția de gradul I — formule și funcții: noțiuni introductive.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$. Calculează $f(0)+f(2)$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $f(0)$ $=3\cdot 0-2$ $=-2$.
2. $f(2)=3\cdot 2-2=4$.
3. $f(0)+f(2)=-2+4=2$.

Răspuns: $2$.

Exercițiul 2. Determină punctele de intersecție ale graficului funcției $f(x)=2x+6$ cu axele de coordonate.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Cu Ox ($y=0$): $2x+6$ $=0$ $\Rightarrow x$ $=-3$, deci $A(-3,0)$.
2. Cu Oy ($x=0$): $f(0)=6$, deci $B(0,6)$.

Răspuns: $A(-3,0)$ și $B(0,6)$.

Exercițiul 3. Verifică dacă punctele $M(2,5)$ și $N(-1,-3)$ aparțin graficului funcției $f(x)=3x-1$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $f(2)=6-1=5$, egal cu ordonata lui $M$, deci $M\in G_f$.
2. $f(-1)$ $=-3-1$ $=-4\ne -3$, deci $N\notin G_f$.

Răspuns: $M$ aparține graficului, $N$ nu.

Nivel mediu

Exercițiul 4. Determină numărul real $a$ pentru care punctul $A(1,4)$ aparține graficului funcției $f(x)=ax+2$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $A(1,4)\in G_f$ $⟺f(1)$ $=4$.
2. $a\cdot 1+2$ $=4$ $\Rightarrow a$ $=2$.

Răspuns: $a=2$, deci $f(x)=2x+2$.

Exercițiul 5. Determină funcția $f(x)=ax+b$ știind că $f(1)=5$ și $f(-1)=1$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Condițiile dau sistemul $a+b=5$, $-a+b=1$.
2. Adunăm: $2b=6\Rightarrow b=3$; apoi $a=2$.
3. Verificare: $f(1)=5$, $f(-1)=-2+3=1$.

Răspuns: $f(x)=2x+3$.

Exercițiul 6. Graficul funcției $f(x)=-2x+8$ intersectează axele Ox și Oy în punctele $A$, respectiv $B$. Calculează aria triunghiului $AOB$ și lungimea segmentului $AB$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $f(x)$ $=0$ $\Rightarrow -2x+8$ $=0$ $\Rightarrow x$ $=4$: $A(4,0)$. $f(0)=8$: $B(0,8)$.
2. Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu catetele $OA=4$ și $OB=8$: $\mathcal{A}$ $=\frac{4\cdot 8}{2}$ $=16$.
3. Pitagora: $AB$ $=\sqrt{4^2+8^2}$ $=\sqrt{80}$ $=4\sqrt{5}$.

Răspuns: aria $=16$ (unități de arie), $AB=4\sqrt{5}$.

Exercițiul 7. Determină coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f(x)=x+1$ și $g(x)=-2x+7$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Punctul comun are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe ambele grafice: $f(x)=g(x)$.
2. $x+1$ $=-2x+7$ $\Rightarrow 3x$ $=6$ $\Rightarrow x$ $=2$.
3. $f(2)=3$ (și $g(2)=-4+7=3$).

Răspuns: $P(2,3)$.

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

Exercițiul 8. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+4$.
a) Calculează $f(1)\cdot f(5)$.
b) Graficul funcției intersectează axele Ox și Oy în $A$, respectiv $B$. Calculează distanța de la originea $O$ la dreapta $AB$.
c) Determină punctul de pe graficul funcției care are abscisa egală cu ordonata.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) $f(1)=3$, $f(5)=-1$, deci $f(1)\cdot f(5)=-3$.
2. b) $A(4,0)$, $B(0,4)$, $OA=OB=4$, $AB$ $=\sqrt{16+16}$ $=4\sqrt{2}$.
3. Distanța de la $O$ la $AB$ este înălțimea din $O$ a triunghiului dreptunghic $AOB$: $d$ $=\frac{OA\cdot OB}{AB}$ $=\frac{16}{4\sqrt{2}}$ $=\frac{4}{\sqrt{2}}$ $=2\sqrt{2}$.
4. c) Căutăm $M(m,m)$ cu $f(m)=m$: $-m+4$ $=m$ $\Rightarrow m$ $=2$.

Răspuns: a) $-3$; b) $2\sqrt{2}$; c) $M(2,2)$.

Exercițiul 9. Se consideră funcția $f(x)=(m-1)x+m+2$, unde $m$ este număr real.
a) Determină $m$ pentru care graficul trece prin originea axelor.
b) Determină $m$ pentru care punctul $P(1,7)$ aparține graficului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) $O(0,0)\in G_f$ $⟺f(0)$ $=0$ $⟺m+2$ $=0$ $\Rightarrow m$ $=-2$ (atunci $f(x)=-3x$).
2. b) $f(1)$ $=7$ $⟺(m-1)+m+2$ $=7$ $⟺2m+1$ $=7$ $\Rightarrow m$ $=3$ (atunci $f(x)=2x+5$, iar $f(1)=7$).

Răspuns: a) $m=-2$; b) $m=3$.

Exercițiul 10. Arată că punctele $A(1,1)$, $B(3,5)$ și $C(-1,-3)$ sunt coliniare.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Căutăm funcția liniară $f(x)=ax+b$ al cărei grafic trece prin $A$ și $B$: $a+b=1$, $3a+b=5$.
2. Scădem: $2a=4\Rightarrow a=2$, $b=-1$, deci $f(x)=2x-1$.
3. Verificăm $C$: $f(-1)=-2-1=-3$, deci $C$ se află pe aceeași dreaptă.

Răspuns: $A,B,C$ aparțin graficului funcției $f(x)=2x-1$, deci sunt coliniare.

Greșeli frecvente

• Axele inversate. Pentru intersecția cu Ox se pune $y=0$ (rezolvi $f(x)=0$), iar pentru Oy se pune $x=0$. Graficul lui $2x+6$ taie Ox în $(-3,0)$, nu în $(0,6)$.
• Coordonatele punctului inversate. $M(2,5)\in G_f$ înseamnă $f(2)=5$, nu $f(5)=2$.
• Semn greșit la $-\frac{b}{a}$. Din $-2x+8=0$ rezultă $x=4$, nu $x=-4$: mută termenul și împarte atent.
• Lungimi negative. Pentru $A(-3,0)$ lungimea $OA$ este $3$, nu $-3$; aria nu poate ieși negativă.
• Un singur punct pentru grafic. O dreaptă e determinată de două puncte; calculează două (de preferat pe axe) și verifică cu un al treilea.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișă de lucru: funcția liniară, clasa a 8-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Funcții la Evaluarea Națională — probleme rezolvate; de exemplu EN 2026, Subiectul al III-lea, problema 3 și EN 2025, Subiectul al III-lea, problema 3 (valori ale funcției și intersecția graficului cu axele).
• Calculator ecuația dreptei prin două puncte, pentru verificare.

Întrebări frecvente

Cum se reprezintă grafic o funcție liniară? Calculezi două puncte ale graficului, de obicei intersecțiile cu axele $(0,b)$ și $(-\frac{b}{a},0)$, le marchezi în sistemul de axe și trasezi dreapta care trece prin ele.

Cum aflu intersecția graficului cu axele? Pentru Oy calculezi $f(0)$; pentru Ox rezolvi ecuația $f(x)=0$. De exemplu, la $f(x)=2x+6$: $(0,6)$ și $(-3,0)$.

Cum verific dacă un punct aparține graficului unei funcții? Înlocuiești abscisa punctului în funcție; dacă rezultatul este egal cu ordonata, punctul aparține graficului.

Cum determin funcția liniară dacă știu două puncte ale graficului? Scrii $f(x_1)=y_1$ și $f(x_2)=y_2$, adică un sistem în $a$ și $b$, pe care îl rezolvi prin reducere sau substituție.