Sisteme de ecuații exerciții rezolvate clasa a 7-a

Q: Cum se rezolvă un sistem prin metoda substituției?

Scoți o necunoscută dintr-o ecuație (de exemplu y = 7 - 3x ), o înlocuiești în cealaltă ecuație, rezolvi ecuația cu o singură necunoscută, apoi afli și cealaltă necunoscută.

Un sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute cere perechea $(x, y)$ care verifică ambele ecuații. În clasa a 7-a se rezolvă prin metoda substituției (scoți o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă) sau prin metoda reducerii (aduni sau scazi ecuațiile ca să dispară o necunoscută).

Ce trebuie să știi

{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

Substituția: exprimi o necunoscută (de preferat una cu coeficientul 1), de exemplu $y = c_{1} - a_{1} x$ , și o înlocuiești în cealaltă ecuație.
Reducerea: înmulțești ecuațiile cu numere alese astfel încât coeficienții unei necunoscute să devină opuși, apoi aduni ecuațiile.
Înmulțește fiecare termen al ecuației, inclusiv membrul drept.
Dacă ecuațiile au fracții sau paranteze, adu-le întâi la forma $a x + b y = c$ .
Soluția se scrie ca pereche: $S = {(x, y)}$ . Verifică întotdeauna în ambele ecuații.

Teoria pe larg: sisteme de ecuații — formule și metode și ecuația de gradul I.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Rezolvă în $R \times R$ sistemul ${\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Coeficienții lui $y$ sunt deja opuși ( $+ 1$ și $- 1$ ): adunăm ecuațiile: $2 x$ $= 14$ $\Rightarrow x$ $= 7$ .
Înlocuim în prima ecuație: $7 + y$ $= 10$ $\Rightarrow y$ $= 3$ .
Verificare: $7 + 3 = 10$ , $7 - 3 = 4$ .

Răspuns: $S = {(7, 3)}$ .

Exercițiul 2. Rezolvă prin metoda substituției: ${\begin{cases} y = 2 x - 1 \\ 3 x + y = 9 \end{cases}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Înlocuim $y = 2 x - 1$ în a doua ecuație: $3 x + 2 x - 1 = 9$ .
$5 x$ $= 10$ $\Rightarrow x$ $= 2$ .
$y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$ . Verificare: $3 \cdot 2 + 3 = 9$ .

Răspuns: $S = {(2, 3)}$ .

Exercițiul 3. Rezolvă sistemul ${\begin{cases} 2 x + 3 y = 12 \\ 2 x - y = 4 \end{cases}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Coeficienții lui $x$ sunt egali, deci scădem a doua ecuație din prima: $(2 x + 3 y) - (2 x - y)$ $= 12 - 4$ .
$3 y + y$ $= 8$ $\Rightarrow 4 y$ $= 8$ $\Rightarrow y$ $= 2$ .
$2 x - 2$ $= 4$ $\Rightarrow x$ $= 3$ . Verificare: $6 + 6 = 12$ .

Răspuns: $S = {(3, 2)}$ .

Nivel mediu

Exercițiul 4. Rezolvă prin metoda reducerii: ${\begin{cases} 3 x - 2 y = 4 \\ 5 x + 3 y = 13 \end{cases}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Eliminăm $y$ : înmulțim prima ecuație cu $3$ și a doua cu $2$ : $9 x - 6 y = 12$ și $10 x + 6 y = 26$ .
Adunăm: $19 x$ $= 38$ $\Rightarrow x$ $= 2$ .
Din prima ecuație: $6 - 2 y$ $= 4$ $\Rightarrow y$ $= 1$ . Verificare: $10 + 3 = 13$ .

Răspuns: $S = {(2, 1)}$ .

Exercițiul 5. Rezolvă sistemul ${\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4 \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{6} = 0 \end{cases}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Eliminăm numitorii: prima ecuație înmulțită cu $6$ : $3 x + 2 y = 24$ ; a doua înmulțită cu $12$ : $3 x - 2 y = 0$ .
Adunăm: $6 x$ $= 24$ $\Rightarrow x$ $= 4$ .
$3 \cdot 4 - 2 y$ $= 0$ $\Rightarrow y$ $= 6$ . Verificare: $2 + 2 = 4$ și $1 - 1 = 0$ .

Răspuns: $S = {(4, 6)}$ .

Exercițiul 6. Rezolvă sistemul ${\begin{cases} 2 (x + 1) - 3 (y - 2) = 9 \\ 3 (x - 1) + (y + 4) = 8 \end{cases}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Desfacem parantezele: $2 x + 2 - 3 y + 6$ $= 9$ $\Rightarrow 2 x - 3 y$ $= 1$ ; $3 x - 3 + y + 4$ $= 8$ $\Rightarrow 3 x + y$ $= 7$ .
Din a doua: $y = 7 - 3 x$ . Înlocuim: $2 x - 3 (7 - 3 x)$ $= 1$ $\Rightarrow 2 x - 21 + 9 x$ $= 1$ $\Rightarrow 11 x$ $= 22$ $\Rightarrow x$ $= 2$ .
$y = 7 - 6 = 1$ . Verificare în forma inițială: $2 \cdot 3 - 3 \cdot (- 1)$ $= 9$ și $3 \cdot 1 + 5 = 8$ .

Răspuns: $S = {(2, 1)}$ .

Exercițiul 7. Trei caiete și două pixuri costă 23 de lei, iar două caiete și trei pixuri, de același tip, costă 22 de lei. Cât costă un caiet și cât costă un pix?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Notăm cu $c$ prețul unui caiet și cu $p$ prețul unui pix: $3 c + 2 p = 23$ , $2 c + 3 p = 22$ .
Adunăm ecuațiile: $5 c + 5 p$ $= 45$ $\Rightarrow c + p$ $= 9$ .
Scădem a doua din prima: $c - p = 1$ .
Din $c + p = 9$ și $c - p = 1$ : $2 c$ $= 10$ $\Rightarrow c$ $= 5$ , $p = 4$ . Verificare: $15 + 8 = 23$ , $10 + 12 = 22$ .

Răspuns: un caiet costă 5 lei, un pix costă 4 lei.

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

Exercițiul 8. În prezent, vârsta tatălui este de 4 ori mai mare decât vârsta fiului. Peste 6 ani, vârsta tatălui va fi de 3 ori mai mare decât vârsta fiului.
a) Este posibil ca acum fiul să aibă 10 ani? Justifică răspunsul.
b) Determină vârstele actuale ale tatălui și fiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

a) Dacă fiul are 10 ani, tatăl are 40. Peste 6 ani: tatăl 46, fiul 16, iar $3 \cdot 16 = 48 \neq 46$ . Deci nu este posibil.
b) Notăm vârstele cu $t$ și $f$ : $t = 4 f$ și $t + 6 = 3 (f + 6)$ .
Substituție: $4 f + 6$ $= 3 f + 18$ $\Rightarrow f$ $= 12$ , deci $t = 48$ .
Verificare: peste 6 ani, $54 = 3 \cdot 18$ .

Răspuns: a) nu; b) tatăl are 48 de ani, fiul are 12 ani.

Exercițiul 9. Suma cifrelor unui număr de două cifre este 11. Dacă inversăm ordinea cifrelor, obținem un număr cu 27 mai mare. Află numărul.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Numărul este $\overset{―}{a b} = 10 a + b$ , cu $a \neq 0$ . Condițiile: $a + b = 11$ și $(10 b + a) - (10 a + b)$ $= 27$ .
A doua ecuație: $9 b - 9 a$ $= 27$ $\Rightarrow b - a$ $= 3$ .
Adunăm cu $a + b = 11$ : $2 b$ $= 14$ $\Rightarrow b$ $= 7$ , $a = 4$ .
Verificare: $74 - 47 = 27$ .

Răspuns: numărul este 47.

Exercițiul 10. Determină numerele reale $a$ și $b$ știind că perechea $(2, - 1)$ este soluție a sistemului ${\begin{cases} a x + b y = 7 \\ b x - a y = 1 \end{cases}$

Vezi rezolvarea pas cu pas

Înlocuim $x = 2$ , $y = - 1$ : $2 a - b = 7$ și $2 b + a = 1$ . Acum necunoscutele sunt $a$ și $b$ .
Din prima: $b = 2 a - 7$ . Înlocuim: $2 (2 a - 7) + a$ $= 1$ $\Rightarrow 5 a$ $= 15$ $\Rightarrow a$ $= 3$ .
$b = 6 - 7 = - 1$ . Verificare: $3 \cdot 2 + (- 1) (- 1) = 7$ și $(- 1) \cdot 2 - 3 \cdot (- 1)$ $= 1$ .

Răspuns: $a = 3$ , $b = - 1$ .

Greșeli frecvente

Semnul la scăderea ecuațiilor. $(2 x + 3 y) - (2 x - y)$ $= 3 y + y$ $= 4 y$ , nu $2 y$ : minusul din fața parantezei schimbă semnul fiecărui termen.
Înmulțirea doar a membrului stâng. Când înmulțești $3 x - 2 y = 4$ cu 3, obții $9 x - 6 y = 12$ , nu $9 x - 6 y = 4$ .
Oprirea după prima necunoscută. Soluția unui sistem este o pereche: după ce afli $x$ , calculează și $y$ .
Lipsa verificării. Verifică în ambele ecuații: o pereche care verifică doar una dintre ele nu este soluție.
Ordinea în pereche. Scrie $(x, y)$ în ordinea din enunț: $(7, 3)$ și $(3, 7)$ sunt perechi diferite.

Verifică-te

Verifică-te: 5 întrebări

Care este soluția sistemului $x + y = 5$ , $x - y = 1$ ?

$(3, 2)$
$(2, 3)$
$(4, 1)$

Care pereche este soluție a sistemului $2 x + y = 7$ , $x - y = 2$ ?

$(2, 3)$
$(1, 5)$
$(3, 1)$

Din $y = x + 1$ și $2 x + y = 10$ , cât este $y$ ?

Sistemul $3 x + 2 y = 8$ , $5 x - 4 y = 6$ . Ce faci ca $y$ să dispară prin adunarea ecuațiilor?

Înmulțești prima ecuație cu 2
Înmulțești a doua ecuație cu 2
Înmulțești prima ecuație cu 4

Suma a două numere este 20, iar diferența lor este 6. Care sunt numerele?

$14$ și $6$
$13$ și $7$
$12$ și $8$

Exersează mai departe

Fișă de lucru: sisteme de ecuații, clasa a 7-a (printabilă, cu răspunsuri).
Sisteme de ecuații la Evaluarea Națională — probleme rezolvate; de exemplu EN 2024, Subiectul al III-lea, problema 1 (elevi așezați în bănci) și Simulare EN 2023, Subiectul al III-lea, problema 1 (apartamente cu două și patru camere).
Calculator sisteme de ecuații, cu pașii rezolvării, pentru verificare.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă un sistem prin metoda substituției? Scoți o necunoscută dintr-o ecuație (de exemplu $y = 7 - 3 x$ ), o înlocuiești în cealaltă ecuație, rezolvi ecuația cu o singură necunoscută, apoi afli și cealaltă necunoscută.

Cum se rezolvă un sistem prin metoda reducerii? Înmulțești ecuațiile cu numere potrivite, astfel încât coeficienții unei necunoscute să devină opuși, apoi aduni ecuațiile; necunoscuta respectivă dispare.

Ce metodă este mai bună, substituția sau reducerea? Ambele dau același rezultat. Substituția e comodă când o necunoscută are coeficientul 1 sau -1; reducerea e mai rapidă când coeficienții sunt numere mai mari.

Cum verific soluția unui sistem? Înlocuiești perechea găsită în ambele ecuații din enunț (nu în cele transformate); dacă ambele egalități sunt adevărate, soluția este corectă.

Sisteme de ecuații — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 7-a)

Ce trebuie să știi

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Nivel mediu

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

Greșeli frecvente

Verifică-te

Exersează mai departe

Întrebări frecvente

Formule conexe