Puteri exerciții rezolvate clasa a 5-a

Q: Cât este un număr la puterea 0?

Orice număr diferit de 0 ridicat la puterea 0 este egal cu 1: 5^0 = 1 , 2026^0 = 1 . Expresia 0^0 nu are sens.

Q: Cum se înmulțesc puterile cu aceeași bază?

Păstrezi baza și aduni exponenții: a^m · a^n = a^m + n . De exemplu, 2³ · 2^5 = 2^8 .

Q: Cum compari două puteri cu baze și exponenți diferiți?

Le scrii fie cu aceeași bază, fie cu același exponent. De exemplu, 2^30 = 8^10 și 3^20 = 9^10 , deci 2^30 3^20 .

Q: Cum afli ultima cifră a unei puteri?

Scrii ultimele cifre ale primelor puteri și observi ciclul (pentru 7: 7, 9, 3, 1). Împarți exponentul la lungimea ciclului; restul îți spune poziția în ciclu (restul 0 înseamnă ultima poziție).

Puterea $a^{n}$ înseamnă produsul a $n$ factori egali cu $a$ : $a^{n} = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ . Regulile de bază: la înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună, la împărțire se scad, iar la puterea unei puteri se înmulțesc.

Ce trebuie să știi

\begin{aligned} a^{m} \cdot a^{n} & = a^{m + n}, & a^{m} : a^{n} & = a^{m - n} (a \neq 0, m \geq n), \\ {(a^{m})}^{n} & = a^{m \cdot n}, & (a \cdot b)^{n} & = a^{n} \cdot b^{n} \end{aligned}

$a^{1} = a$ , $a^{0} = 1$ pentru $a \neq 0$ ( $0^{0}$ nu are sens), $1^{n} = 1$ , $0^{n} = 0$ pentru $n \neq 0$ .
Ordinea operațiilor: întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, la final adunările și scăderile.
Comparare: la aceeași bază (mai mare decât 1) e mai mare puterea cu exponentul mai mare; la același exponent e mai mare puterea cu baza mai mare. Altfel aduci la aceeași bază sau la același exponent.
Pătrat perfect: un număr natural de forma $n = k^{2}$ , cu $k$ număr natural (de exemplu $49 = 7^{2}$ ).
Ultima cifră a puterilor se repetă periodic (de exemplu, pentru baza 2: 2, 4, 8, 6, 2, …).

Toate regulile, cu exemple: formule cu puteri · formule matematică clasa a 5-a.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Calculează: $2^{5}$ , $3^{4}$ , $10^{3}$ , $1^{2026}$ , $2026^{0}$ , $0^{7}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

$2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ ; $3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$ .
$10^{3} = 1000$ (1 urmat de 3 zerouri).
$1^{2026} = 1$ (oricâte înmulțiri cu 1 dau 1); $2026^{0} = 1$ (baza e nenulă); $0^{7} = 0$ .

Răspuns: 32; 81; 1000; 1; 1; 0

Exercițiul 2. Scrie ca o singură putere: a) $3^{4} \cdot 3^{7} : 3^{5}$ ; b) ${(5^{3})}^{4} \cdot 5^{2}$ ; c) $2^{3} \cdot 5^{3}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

a) $3^{4 + 7} : 3^{5} = 3^{11} : 3^{5} = 3^{11 - 5} = 3^{6}$ .
b) ${(5^{3})}^{4} = 5^{12}$ , apoi $5^{12} \cdot 5^{2} = 5^{14}$ .
c) Același exponent: $2^{3} \cdot 5^{3} = (2 \cdot 5)^{3} = 10^{3}$ .

Răspuns: a) $3^{6}$ ; b) $5^{14}$ ; c) $10^{3}$

Exercițiul 3. Calculează $2^{3} + 3^{2} \cdot 2 - 4^{2} : 2^{3}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Întâi puterile: $2^{3} = 8$ , $3^{2} = 9$ , $4^{2} = 16$ .
Apoi înmulțirea și împărțirea: $9 \cdot 2 = 18$ , $16 : 8 = 2$ .
La final: $8 + 18 - 2 = 24$ .

Răspuns: 24

Nivel mediu

Exercițiul 4. Compară numerele $2^{30}$ și $3^{20}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Bazele și exponenții sunt diferiți, dar exponenții au divizorul comun 10.
$2^{30} = {(2^{3})}^{10} = 8^{10}$ și $3^{20} = {(3^{2})}^{10} = 9^{10}$ .
Același exponent, deci compari bazele: $8 < 9$ .

Răspuns: $2^{30} < 3^{20}$

Exercițiul 5. Arată că numărul $4^{15}$ este pătrat perfect și scrie-l ca putere a lui 8.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Scrii în baza 2: $4^{15} = {(2^{2})}^{15} = 2^{30}$ .
Pătrat perfect: $2^{30} = {(2^{15})}^{2}$ .
Puterea lui 8: $8 = 2^{3}$ și $30 = 3 \cdot 10$ , deci $2^{30} = {(2^{3})}^{10} = 8^{10}$ .

Răspuns: $4^{15} = {(2^{15})}^{2} = 8^{10}$

Exercițiul 6. Calculează $(2^{15} \cdot 4^{3}) : 8^{6}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Aduci totul la baza 2: $4^{3} = 2^{6}$ , $8^{6} = {(2^{3})}^{6} = 2^{18}$ .
$2^{15} \cdot 2^{6} = 2^{21}$ .
$2^{21} : 2^{18} = 2^{3} = 8$ .

Răspuns: 8

Exercițiul 7. Arată că numărul $3^{n + 2} + 3^{n + 1} + 3^{n}$ se divide cu 13, pentru orice număr natural $n$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Scrii fiecare termen cu factorul $3^{n}$ : $3^{n + 2} = 3^{n} \cdot 9$ , $3^{n + 1} = 3^{n} \cdot 3$ .
Dai factor comun: $3^{n} (9 + 3 + 1) = 3^{n} \cdot 13$ .
Un produs care are factorul 13 se divide cu 13.

Răspuns: numărul este $13 \cdot 3^{n}$ , deci se divide cu 13

Nivel greu (tip olimpiadă / Evaluare Națională)

Exercițiul 8. Află numărul natural $x$ pentru care $2^{x + 1} + 2^{x} = 96$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

$2^{x + 1} = 2^{x} \cdot 2$ , deci $2^{x} \cdot 2 + 2^{x} = 2^{x} (2 + 1) = 3 \cdot 2^{x}$ .
$3 \cdot 2^{x} = 96 \Rightarrow 2^{x} = 32 = 2^{5}$ .
Puteri egale cu aceeași bază au exponenți egali: $x = 5$ . Verificare: $64 + 32 = 96$ .

Răspuns: $x = 5$

Exercițiul 9. Arată că numărul $A = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{2025}$ se divide cu 4.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Suma are 2026 de termeni (exponenții de la 0 la 2025), un număr par, deci îi poți grupa câte doi.
$A = (1 + 3) + 3^{2} (1 + 3)$ $+ 3^{4} (1 + 3) + \dots$ $+ 3^{2024} (1 + 3)$ .
Factor comun: $A = 4 (1 + 3^{2} + 3^{4} + \dots + 3^{2024})$ , deci $A$ se divide cu 4.

Răspuns: $A = 4 \cdot (1 + 3^{2} + \dots + 3^{2024})$ , multiplu de 4

Exercițiul 10. Arată că numărul $N = 2^{2026} + 3^{2026}$ nu este pătrat perfect.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Ultima cifră a puterilor lui 2 se repetă din 4 în 4: 2, 4, 8, 6. Cum $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , $2^{2026}$ are ultima cifră 4.
Pentru baza 3 ciclul este 3, 9, 7, 1, deci $3^{2026}$ are ultima cifră 9.
Ultima cifră a lui $N$ este ultima cifră a lui $4 + 9 = 13$ , adică 3.
Pătratele perfecte se termină doar în 0, 1, 4, 5, 6 sau 9, niciodată în 3.

Răspuns: $N$ se termină în 3, deci nu este pătrat perfect

Greșeli frecvente

Înmulțești baza cu exponentul: $2^{3} \neq 6$ . Corect: $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .
Înmulțești exponenții la produs: $a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}$ , nu $a^{12}$ . Exponenții se înmulțesc doar la puterea unei puteri: ${(a^{3})}^{4} = a^{12}$ .
Aduni puterile ca pe produse: $2^{3} + 2^{4} \neq 2^{7}$ . Corect: $8 + 16 = 24$ sau $2^{3} (1 + 2) = 24$ .
Ordinea operațiilor: $3 \cdot 2^{2} = 3 \cdot 4 = 12$ , nu $6^{2} = 36$ .
Puterea zero: $7^{0} = 1$ , nu 0.

Verifică-te

Verifică-te: 5 întrebări

Cât este $2^{4}$ ?

$5^{3} \cdot 5^{4}$ este egal cu:

$5^{7}$
$5^{12}$
$25^{7}$

${(3^{2})}^{3}$ este egal cu:

$3^{5}$
$9^{5}$
$3^{6}$

Cât este $2026^{0} + 0^{2026}$ ?

Care este ultima cifră a numărului $3^{10}$ ?

Exersează mai departe

Fișă de lucru: puteri, clasa a 5-a (printabilă, cu răspunsuri).
Fișă de lucru: operații cu numere naturale, clasa a 5-a (ordinea operațiilor).
Ordinea efectuării operațiilor deschide de obicei subiectul de Evaluare Națională: EN 2026, Subiectul I, ex. 1 (rezolvat aici) și Model EN 2027, Subiectul I, ex. 1 (rezolvat aici).
Înapoi la: fracții ordinare, exerciții rezolvate (clasa a 5-a).

Întrebări frecvente

Cât este un număr la puterea 0? Orice număr diferit de 0 ridicat la puterea 0 este egal cu 1: $5^{0} = 1$ , $2026^{0} = 1$ . Expresia $0^{0}$ nu are sens.

Cum se înmulțesc puterile cu aceeași bază? Păstrezi baza și aduni exponenții: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ . De exemplu, $2^{3} \cdot 2^{5} = 2^{8}$ .

Cum compari două puteri cu baze și exponenți diferiți? Le scrii fie cu aceeași bază, fie cu același exponent. De exemplu, $2^{30} = 8^{10}$ și $3^{20} = 9^{10}$ , deci $2^{30} < 3^{20}$ .

Cum afli ultima cifră a unei puteri? Scrii ultimele cifre ale primelor puteri și observi ciclul (pentru 7: 7, 9, 3, 1). Împarți exponentul la lungimea ciclului; restul îți spune poziția în ciclu (restul 0 înseamnă ultima poziție).

Puteri — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 5-a)

Ce trebuie să știi

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Nivel mediu

Nivel greu (tip olimpiadă / Evaluare Națională)

Greșeli frecvente

Verifică-te

Exersează mai departe

Întrebări frecvente

Formule conexe