Numere complexe — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 10-a)

Un număr complex se scrie în forma algebrică $z=a+bi$, unde $a,b\in \mathbb{R}$ și $i^2=-1$; $a$ este partea reală, $b$ partea imaginară. Calculele se fac ca la expresiile cu litere, înlocuind $i^2$ cu $-1$, iar pentru împărțire se amplifică cu conjugatul numitorului. Mai jos ai 10 exerciții rezolvate pas cu pas, inclusiv itemi tip Bacalaureat.

Ce trebuie să știi

$$z=a+bi,\bar{z}=a-bi,|z|=\sqrt{a^2+b^2},z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$$

• $a+bi=c+di⟺a=c$ și $b=d$; $z$ este real dacă $b=0$.
• Puterile lui $i$ se repetă din 4 în 4: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$; $i^n=i^r$, unde $r$ este restul împărțirii lui $n$ la 4.
• Împărțirea: ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$ $={\displaystyle \frac{z_1\cdot \overline{z_2}}{|z_2{|}^2}}$ (amplifici cu conjugatul numitorului).
• Ecuația $a{x}^2+bx+c=0$ cu coeficienți reali și $\mathrm{\Delta }<0$ are rădăcinile $x_{1,2}$ $={\displaystyle \frac{-b\pm i\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{2a}}$.
• Util: $(1+i{)}^2=2i$, $(1-i{)}^2=-2i$, $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$.

Toate formulele, inclusiv forma trigonometrică: numere complexe — formule.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Fie $z_1=3+2i$ și $z_2=1-5i$. Calculați $z_1+z_2$ și $z_1\cdot z_2$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Adunăm separat părțile reale și imaginare: $z_1+z_2$ $=(3+1)+(2-5)i$ $=4-3i$.
2. Înmulțim termen cu termen: $(3+2i)(1-5i)$ $=3-15i+2i-10i^2$.
3. Cum $i^2=-1$: $3-13i+10=13-13i$.

Răspuns: $z_1+z_2=4-3i$, $z_1{z}_2=13-13i$.

Exercițiul 2. Calculați $i^{15}$ și $i^{2026}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $15=4\cdot 3+3$, deci $i^{15}$ $=(i^4{)}^3\cdot i^3$ $=-i$.
2. $2026=4\cdot 506+2$, deci $i^{2026}=i^2=-1$.

Răspuns: $i^{15}=-i$, $i^{2026}=-1$.

Exercițiul 3. Pentru $z=6-8i$, scrieți $\mathrm{Re}z$, $\mathrm{Im}z$, $\bar{z}$ și calculați $|z|$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $\mathrm{Re}z=6$, $\mathrm{Im}z=-8$ (partea imaginară este numărul real $-8$, fără $i$).
2. Conjugatul schimbă doar semnul părții imaginare: $\bar{z}=6+8i$.
3. $|z|$ $=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}$ $=\sqrt{100}$ $=10$.

Răspuns: $\mathrm{Re}z=6$, $\mathrm{Im}z=-8$, $\bar{z}=6+8i$, $|z|=10$.

Nivel mediu

Exercițiul 4. Scrieți în forma algebrică numărul $z={\displaystyle \frac{5+i}{1-i}}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Amplificăm cu conjugatul numitorului, $1+i$: $z$ $={\displaystyle \frac{(5+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}}$.
2. Numitorul: $1^2+1^2=2$. Numărătorul: $5+5i+i+i^2=4+6i$.
3. $z={\displaystyle \frac{4+6i}{2}}=2+3i$.

Răspuns: $z=2+3i$.

Exercițiul 5. Calculați $(1+i{)}^{10}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$.
2. $(1+i{)}^{10}$ $={[(1+i{)}^2]}^5$ $=(2i{)}^5$ $=32i^5$.
3. $i^5=i^4\cdot i=i$, deci rezultatul este $32i$.

Răspuns: $(1+i{)}^{10}=32i$.

Exercițiul 6. Determinați numărul complex $z$ pentru care $(2+i)z=5+5i$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $z$ $={\displaystyle \frac{5+5i}{2+i}}$ $={\displaystyle \frac{(5+5i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}}$.
2. Numitorul: $4+1=5$. Numărătorul: $10-5i+10i-5i^2=15+5i$.
3. $z={\displaystyle \frac{15+5i}{5}}=3+i$. Verificare: $(2+i)(3+i)$ $=6+2i+3i-1$ $=5+5i$.

Răspuns: $z=3+i$.

Exercițiul 7. Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2+4z+13=0$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $\mathrm{\Delta }=16-52=-36<0$, iar $\sqrt{-\mathrm{\Delta }}=6$.
2. $z_{1,2}$ $={\displaystyle \frac{-4\pm 6i}{2}}$ $=-2\pm 3i$.
3. Verificare cu Viète: suma $-4$, produsul $(-2{)}^2+3^2=13$.

Răspuns: $z_1=-2+3i$, $z_2=-2-3i$.

Nivel greu (tip Bacalaureat)

Exercițiul 8. Determinați numărul complex $z$ pentru care $z+2\bar{z}=6-i$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Scriem $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$; atunci $\bar{z}=a-bi$.
2. $a+bi+2a-2bi=3a-bi$.
3. Egalăm cu $6-i$: $3a=6\Rightarrow a=2$ și $-b=-1\Rightarrow b=1$.

Răspuns: $z=2+i$.

Exercițiul 9. Determinați numărul complex $z$ pentru care $|z|+z=2+i$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Fie $z=a+bi$. Atunci $\sqrt{a^2+b^2}+a+bi$ $=2+i$.
2. Părțile imaginare: $b=1$. Părțile reale: $\sqrt{a^2+1}=2-a$, cu condiția $2-a\ge 0$.
3. Ridicăm la pătrat: $a^2+1$ $=4-4a+a^2$ $\Rightarrow 4a$ $=3$ $\Rightarrow a$ $=\frac{3}{4}$ (și $2-\frac{3}{4}>0$).
4. Verificare: $|z|$ $=\sqrt{\frac{9}{16}+1}$ $=\frac{5}{4}$, iar $\frac{5}{4}+\frac{3}{4}+i$ $=2+i$.

Răspuns: $z=\frac{3}{4}+i$.

Exercițiul 10. Fie $z$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$. Arătați că $z^2-z+1=0$ și deduceți că $z^3=-1$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $z^2$ $={\displaystyle \frac{1}{4}}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i+{\displaystyle \frac{3}{4}}{i}^2$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$.
2. $z^2-z+1$ $=(-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1)+({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})i$ $=0$.
3. Folosim $z^3+1=(z+1)(z^2-z+1)$: al doilea factor este 0, deci $z^3+1=0$.

Răspuns: $z^3=-1$.

Greșeli frecvente

• $i^2=1$ sau $i^2$ uitat în produs. La $(3+2i)(1-5i)$, termenul $-10i^2$ devine $+10$, nu $-10$.
• Modulul cu $i$ înăuntru. $|3+4i|$ $=\sqrt{3^2+4^2}$ $=5$, nu $\sqrt{9+16i^2}$ și nici $\sqrt{3^2-4^2}$.
• Împărțire „termen cu termen”. $\frac{5+i}{1-i}\ne 5-i$; amplifici fracția cu conjugatul numitorului.
• Conjugatul schimbă și partea reală. $\overline{2-5i}=2+5i$, nu $-2+5i$ (acela este $-\bar{z}$).
• Partea imaginară scrisă cu $i$. Pentru $z=6-8i$, $\mathrm{Im}z=-8$, nu $-8i$.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișă de lucru cu răspunsuri: numere complexe (clasa a 10-a).
• Toți itemii de Bac cu numere complexe, rezolvați: numere complexe la Bacalaureat — subiecte rezolvate.
• Exemple concrete: Bac 2025 M1, Subiectul I, ex. 1 (calcul cu $z_1=1-i$, $z_2=2+i$), Bac 2026 M1, Subiectul I, ex. 1 și modelul Bac 2027 M1, Subiectul I, ex. 1 (un număr complex care trebuie să fie real).
• Toate temele de clasa a 10-a: formule matematică clasa a 10-a.

Întrebări frecvente

Ce este numărul i? $i$ este unitatea imaginară, numărul cu proprietatea $i^2=-1$. Cu ajutorul lui, și numerele negative au rădăcini pătrate (de exemplu, rădăcinile pătrate ale lui $-9$ sunt $3i$ și $-3i$, pentru că $(\pm 3i{)}^2=-9$), iar orice ecuație de gradul 2 cu coeficienți reali are rădăcini în $\mathbb{C}$.

Cum se împart două numere complexe? Amplifici fracția cu conjugatul numitorului. Numitorul devine real ($(c+di)(c-di)=c^2+d^2$), apoi împarți separat partea reală și partea imaginară a numărătorului.

Cum se calculează modulul unui număr complex? Pentru $z=a+bi$, $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$: este distanța de la origine la punctul $(a,b)$ din plan. De exemplu, $|6-8i|=10$.

Cum se calculează puterile lui i? Împarți exponentul la 4 și păstrezi restul: $i^n=i^r$. Resturile 0, 1, 2, 3 dau, în ordine, $1,i,-1,-i$. De exemplu, $i^{2026}=i^2=-1$.