Ecuația de gradul 2 — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 9-a)

Ecuația de gradul al doilea are forma $a{x}^2+bx+c=0$, cu $a\ne 0$. Se rezolvă calculând discriminantul $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$: dacă $\mathrm{\Delta }\ge 0$, rădăcinile sunt $x_{1,2}$ $={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$, iar dacă $\mathrm{\Delta }<0$, ecuația nu are rădăcini reale. Mai jos ai 10 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la nivel de Bacalaureat.

Ce trebuie să știi

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac,x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$$ $$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a},P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}$$

• $\mathrm{\Delta }>0$: două rădăcini reale diferite; $\mathrm{\Delta }=0$: o rădăcină dublă $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$; $\mathrm{\Delta }<0$: nicio rădăcină reală.
• Ecuațiile incomplete se rezolvă mai repede fără $\mathrm{\Delta }$: $a{x}^2+bx=0$ prin scoaterea lui $x$ factor comun, $a{x}^2+c=0$ prin izolarea lui $x^2$.
• Relațiile lui Viète permit calcule cu rădăcinile fără a le afla: $x_1^2+x_2^2=S^2-2P$, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ $=\frac{S}{P}$.
• Ecuația cu rădăcinile $x_1,x_2$ este $x^2-Sx+P=0$; descompunerea: $a{x}^2+bx+c$ $=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Semnele rădăcinilor (când $\mathrm{\Delta }\ge 0$): $P<0$ înseamnă semne opuse; $P>0$ și $S>0$ înseamnă ambele pozitive.

Toată teoria, cu exemple: ecuația de gradul 2 — formule și funcția de gradul al II-lea.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $x^2-5x+6=0$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Identificăm coeficienții: $a=1$, $b=-5$, $c=6$.
2. $\mathrm{\Delta }$ $=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 6$ $=25-24$ $=1$ $>0$, deci avem două rădăcini reale diferite.
3. $x_{1,2}={\displaystyle \frac{5\pm 1}{2}}$, adică $x_1=2$ și $x_2=3$.
4. Verificare cu Viète: $2+3=5=-\frac{b}{a}$, $2\cdot 3=6=\frac{c}{a}$.

Răspuns: $S=\{2,3\}$.

Exercițiul 2. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuațiile: a) $2x^2-8=0$; b) $3x^2+6x=0$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) Lipsește termenul în $x$, deci izolăm $x^2$: $2x^2$ $=8$ $\Rightarrow x^2$ $=4$ $\Rightarrow x$ $=\pm 2$.
2. b) Lipsește termenul liber, deci scoatem factor comun: $3x(x+2)=0$.
3. Un produs este 0 dacă unul dintre factori este 0: $x=0$ sau $x+2=0\Rightarrow x=-2$.

Răspuns: a) $\{-2,2\}$; b) $\{-2,0\}$.

Exercițiul 3. Fără a rezolva ecuațiile, stabiliți câte rădăcini reale are fiecare: a) $x^2-6x+9=0$; b) $x^2+x+1=0$; c) $2x^2-3x-5=0$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) $\mathrm{\Delta }=36-36=0$: o rădăcină dublă ($x_1=x_2=3$, pentru că $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$).
2. b) $\mathrm{\Delta }=1-4=-3<0$: nicio rădăcină reală.
3. c) $\mathrm{\Delta }=9+40=49>0$: două rădăcini reale diferite (ele sunt $-1$ și $\frac{5}{2}$).

Răspuns: a) o rădăcină dublă; b) niciuna; c) două rădăcini distincte.

Nivel mediu

Exercițiul 4. Fie $x_1,x_2$ rădăcinile ecuației $x^2-7x+3=0$. Calculați, fără a afla rădăcinile, $x_1^2+x_2^2$ și ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Din relațiile lui Viète: $S=x_1+x_2=7$, $P=x_1{x}_2=3$.
2. $x_1^2+x_2^2$ $=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$ $=49-6$ $=43$.
3. ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}$ $={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}}$ $={\displaystyle \frac{7}{3}}$.

Răspuns: $x_1^2+x_2^2=43$, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ $=\frac{7}{3}$.

Exercițiul 5. Scrieți o ecuație de gradul al doilea care are rădăcinile $2$ și $-5$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $S=2+(-5)=-3$, $P=2\cdot (-5)=-10$.
2. Ecuația este $x^2-Sx+P=0$, adică $x^2+3x-10=0$.
3. Verificare: $(x-2)(x+5)=x^2+3x-10$.

Răspuns: $x^2+3x-10=0$ (orice multiplu nenul al ei este de asemenea corect).

Exercițiul 6. Determinați numerele reale $m$ pentru care ecuația $x^2-4x+m=0$ are două rădăcini reale distincte.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Condiția este $\mathrm{\Delta }>0$.
2. $\mathrm{\Delta }$ $=16-4m$ $>0$ $\Rightarrow 4m$ $<16$ $\Rightarrow m$ $<4$.
3. Observație: pentru $m=4$ ecuația are rădăcina dublă $x=2$, iar pentru $m>4$ nu are rădăcini reale.

Răspuns: $m\in (-\mathrm{\infty },4)$.

Exercițiul 7. Determinați numerele reale $m$ pentru care rădăcinile ecuației $x^2-(m+2)x+2m=0$ verifică relația $x_1^2+x_2^2=13$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $\mathrm{\Delta }$ $=(m+2{)}^2-8m$ $=m^2-4m+4$ $=(m-2{)}^2$ $\ge 0$, deci rădăcinile sunt reale pentru orice $m$.
2. Viète: $S=m+2$, $P=2m$.
3. $x_1^2+x_2^2$ $=S^2-2P$ $=m^2+4m+4-4m$ $=m^2+4$.
4. $m^2+4$ $=13$ $\Rightarrow m^2$ $=9$ $\Rightarrow m$ $=\pm 3$.
5. Verificare: rădăcinile sunt $2$ și $m$; pentru $m=3$: $4+9=13$; pentru $m=-3$: $4+9=13$.

Răspuns: $m\in \{-3,3\}$.

Nivel greu (tip Bacalaureat)

Exercițiul 8. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+m$. Determinați numerele reale $m$ pentru care graficul funcției $f$ nu intersectează axa $Ox$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Graficul intersectează axa $Ox$ în punctele în care $f(x)=0$.
2. Graficul nu intersectează $Ox$ dacă ecuația $x^2-6x+m=0$ nu are rădăcini reale, adică $\mathrm{\Delta }<0$.
3. $\mathrm{\Delta }$ $=36-4m$ $<0$ $\Rightarrow m$ $>9$.

Răspuns: $m\in (9,+\mathrm{\infty })$.

Exercițiul 9. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $x^4-5x^2+4=0$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Este o ecuație bipătrată. Notăm $x^2=t$, cu $t\ge 0$: $t^2-5t+4=0$.
2. $\mathrm{\Delta }=25-16=9$, $t_{1,2}={\displaystyle \frac{5\pm 3}{2}}$, deci $t_1=1$, $t_2=4$ (ambele nenegative, deci acceptate).
3. $x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$; $x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$.

Răspuns: $S=\{-2,-1,1,2\}$.

Exercițiul 10. Fie $x_1,x_2$ rădăcinile ecuației $x^2-(m+1)x+m-2=0$, $m\in \mathbb{R}$. Arătați că rădăcinile sunt reale pentru orice $m$ și găsiți o relație între $x_1$ și $x_2$ care nu depinde de $m$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $\mathrm{\Delta }$ $=(m+1{)}^2-4(m-2)$ $=m^2-2m+9$ $=(m-1{)}^2+8$ $>0$, deci rădăcinile sunt reale și distincte pentru orice $m$.
2. Viète: $x_1+x_2=m+1$ și $x_1{x}_2=m-2$.
3. Eliminăm $m$ scăzând relațiile: $(x_1+x_2)-x_1{x}_2$ $=(m+1)-(m-2)$ $=3$.

Răspuns: $x_1+x_2-x_1{x}_2=3$, pentru orice $m\in \mathbb{R}$.

Greșeli frecvente

• Semnul lui $b$. La $x^2-5x+6=0$, $b=-5$, deci $-b=5$ și $b^2=25$. Scrie coeficienții cu semn înainte de a calcula.
• Împărțirea la $x$. Din $3x^2+6x=0$ nu împărți la $x$ (pierzi soluția $x=0$); scoate $x$ factor comun.
• Suma rădăcinilor. $S=-\frac{b}{a}$, nu $\frac{b}{a}$: la $x^2-7x+3=0$, $S=7$.
• Suma pătratelor. $x_1^2+x_2^2\ne (x_1+x_2{)}^2$; corect este $S^2-2P$.
• „Nu are soluții” fără precizare. Când $\mathrm{\Delta }<0$, scrie „nu are rădăcini reale” (în clasa a 10-a vei vedea că are rădăcini complexe).

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișă de lucru cu răspunsuri: ecuația de gradul 2, relațiile lui Viète și inecuații (clasa a 9-a).
• Verifică-ți rezultatele cu calculatorul pentru ecuația de gradul 2 (afișează $\mathrm{\Delta }$ și pașii).
• La Bac: Simulare Bac 2025 M1, Subiectul I, ex. 2 (graficul unei funcții de gradul al II-lea intersectează axa $Ox$ în două puncte, adică $\mathrm{\Delta }>0$) și Bac 2025 M2, Subiectul I, ex. 3 (o ecuație logaritmică ce se reduce la o ecuație de gradul 2).
• Toate temele de clasa a 9-a: formule matematică clasa a 9-a.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă ecuația de gradul 2? Aduci ecuația la forma $a{x}^2+bx+c=0$, calculezi $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ și, dacă $\mathrm{\Delta }\ge 0$, aplici formula $x_{1,2}$ $=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$. Dacă lipsește $b$ sau $c$, e mai rapid să izolezi $x^2$ sau să dai factor comun.

Ce înseamnă când delta este negativ? Ecuația nu are rădăcini reale, iar graficul funcției $f(x)=a{x}^2+bx+c$ nu intersectează axa $Ox$. În mulțimea numerelor complexe (clasa a 10-a) ecuația are două rădăcini complexe conjugate.

La ce folosesc relațiile lui Viète? Ele leagă suma și produsul rădăcinilor de coeficienți: $S=-\frac{b}{a}$, $P=\frac{c}{a}$. Le folosești pentru a calcula expresii cu rădăcinile fără a le afla, pentru a scrie ecuația când știi rădăcinile și pentru a stabili semnele rădăcinilor.

Se poate rezolva ecuația de gradul 2 fără delta? Da, în unele cazuri: ecuațiile incomplete, ecuațiile în care recunoști un pătrat perfect ($x^2-6x+9=(x-3{)}^2$) sau când descompui în factori ghicind rădăcinile cu ajutorul lui $S$ și $P$.