Progresii aritmetice și geometrice — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 9-a)

Într-o progresie aritmetică fiecare termen se obține din cel anterior adunând aceeași rație $r$, deci $a_n=a_1+(n-1)r$; într-o progresie geometrică se înmulțește cu aceeași rație $q$, deci $b_n=b_1{q}^{n-1}$. Mai jos ai formulele de bază și 10 exerciții rezolvate pas cu pas, de la calcule simple la probleme tip Bacalaureat.

Ce trebuie să știi

	Progresie aritmetică	Progresie geometrică
Definiție	$a_{n+1}=a_n+r$	$b_{n+1}=b_n\cdot q$
Termen general	$a_n=a_1+(n-1)r$	$b_n=b_1{q}^{n-1}$
Suma primilor $n$ termeni	$S_n={\displaystyle \frac{(a_1+a_n)n}{2}}$	$S_n$ $=b_1{\displaystyle \frac{q^n-1}{q-1}}$, $q\ne 1$
Trei termeni consecutivi $x,y,z$	$2y=x+z$	$y^2=xz$

• Rația se află din doi termeni: $a_k-a_p=(k-p)r$, respectiv $\frac{b_k}{b_p}=q^{k-p}$.
• Numărul de termeni ai sumei $a_1+\cdots +a_n$ se află din $a_n=a_1+(n-1)r$, nu „din ochi”.
• Formula utilă: $S_n$ $={\displaystyle \frac{(2a_1+(n-1)r)n}{2}}$, când nu știi ultimul termen.
• Dacă $q=1$, progresia geometrică este constantă și $S_n=n{b}_1$.

Teoria completă: progresia aritmetică și progresia geometrică.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Într-o progresie aritmetică $a_1=3$ și $r=4$. Calculați $a_{10}$ și suma primilor 10 termeni.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $a_{10}$ $=a_1+9r$ $=3+36$ $=39$.
2. $S_{10}$ $={\displaystyle \frac{(a_1+a_{10})\cdot 10}{2}}$ $={\displaystyle \frac{42\cdot 10}{2}}$ $=210$.

Răspuns: $a_{10}=39$, $S_{10}=210$.

Exercițiul 2. Într-o progresie geometrică $b_1=2$ și $q=3$. Calculați $b_5$ și suma primilor 5 termeni.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $b_5$ $=b_1{q}^4$ $=2\cdot 81$ $=162$.
2. $S_5$ $=b_1{\displaystyle \frac{q^5-1}{q-1}}$ $=2\cdot {\displaystyle \frac{243-1}{2}}$ $=242$.
3. Verificare directă: $2+6+18+54+162=242$.

Răspuns: $b_5=162$, $S_5=242$.

Exercițiul 3. Determinați numărul real $x$ pentru care numerele $x-1$, $2x+1$ și $4x-3$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor: $2(2x+1)=(x-1)+(4x-3)$.
2. $4x+2$ $=5x-4$ $\Rightarrow x$ $=6$.
3. Verificare: numerele sunt $5,13,21$, cu rația $8$.

Răspuns: $x=6$.

Nivel mediu

Exercițiul 4. Într-o progresie aritmetică $a_3=7$ și $a_8=22$. Determinați $a_1$, rația și suma primilor 20 de termeni.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $a_8-a_3$ $=5r$ $\Rightarrow 5r$ $=15$ $\Rightarrow r$ $=3$.
2. $a_3$ $=a_1+2r$ $\Rightarrow a_1$ $=7-6$ $=1$.
3. $S_{20}$ $={\displaystyle \frac{(2a_1+19r)\cdot 20}{2}}$ $=(2+57)\cdot 10$ $=590$.

Răspuns: $a_1=1$, $r=3$, $S_{20}=590$.

Exercițiul 5. O progresie geometrică cu termeni pozitivi are $b_2=6$ și $b_5=48$. Determinați rația și $b_7$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. ${\displaystyle \frac{b_5}{b_2}}$ $=q^3$ $\Rightarrow q^3$ $=8$ $\Rightarrow q$ $=2$.
2. $b_1={\displaystyle \frac{b_2}{q}}=3$.
3. $b_7$ $=b_1{q}^6$ $=3\cdot 64$ $=192$.

Răspuns: $q=2$, $b_7=192$.

Exercițiul 6. Calculați suma $2+5+8+\cdots +62$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Termenii formează o progresie aritmetică cu $a_1=2$, $r=3$.
2. Numărul de termeni: $62$ $=2+(n-1)\cdot 3$ $\Rightarrow n-1$ $=20$ $\Rightarrow n$ $=21$.
3. $S_{21}$ $={\displaystyle \frac{(2+62)\cdot 21}{2}}$ $=32\cdot 21$ $=672$.

Răspuns: $672$.

Exercițiul 7. Determinați numerele reale $x$ pentru care numerele $x$, $x+6$ și $4x$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Condiția: $(x+6{)}^2=x\cdot 4x$.
2. $x^2+12x+36$ $=4x^2$ $\Rightarrow 3x^2-12x-36$ $=0$ $\Rightarrow x^2-4x-12$ $=0$.
3. $\mathrm{\Delta }=16+48=64$, $x={\displaystyle \frac{4\pm 8}{2}}$, deci $x=6$ sau $x=-2$.
4. Verificare: pentru $x=6$ obținem $6,12,24$ ($q=2$); pentru $x=-2$ obținem $-2,4,-8$ ($q=-2$).

Răspuns: $x\in \{-2,6\}$.

Nivel greu (tip Bacalaureat)

Exercițiul 8. O progresie aritmetică crescătoare verifică $a_1+a_5=14$ și $a_2\cdot a_4=45$. Determinați $a_{10}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $a_1+a_5=2a_3$ (termeni egal depărtați de $a_3$), deci $a_3=7$.
2. $a_2=7-r$, $a_4=7+r$, deci $(7-r)(7+r)$ $=45$ $\Rightarrow 49-r^2$ $=45$ $\Rightarrow r^2$ $=4$.
3. Progresia este crescătoare, deci $r=2$ și $a_1=a_3-2r=3$.
4. $a_{10}=3+9\cdot 2=21$.

Răspuns: $a_{10}=21$.

Exercițiul 9. Calculați suma $1+2+2^2+2^3+\cdots +2^{10}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Este suma unei progresii geometrice cu $b_1=1$, $q=2$.
2. Exponenții merg de la 0 la 10, deci sunt $n=11$ termeni.
3. $S_{11}$ $=1\cdot {\displaystyle \frac{2^{11}-1}{2-1}}$ $=2048-1$ $=2047$.

Răspuns: $2047$.

Exercițiul 10. Un sportiv aleargă în prima zi 3 km, iar în fiecare zi următoare cu 0,5 km mai mult decât în ziua precedentă. După câte zile a alergat în total 45 km?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Distanțele zilnice formează o progresie aritmetică: $a_1=3$, $r=0,5$.
2. $S_n$ $={\displaystyle \frac{(2\cdot 3+(n-1)\cdot 0,5)n}{2}}$ $={\displaystyle \frac{n(n+11)}{4}}$.
3. ${\displaystyle \frac{n(n+11)}{4}}$ $=45$ $\Rightarrow n^2+11n-180$ $=0$; $\mathrm{\Delta }$ $=121+720$ $=841$ $={29}^2$.
4. $n={\displaystyle \frac{-11+29}{2}}=9$ (soluția negativă $-20$ nu convine).
5. Verificare: în ziua a 9-a aleargă $3+8\cdot 0,5=7$ km, iar $\frac{(3+7)\cdot 9}{2}=45$ km.

Răspuns: după 9 zile.

Greșeli frecvente

• $a_n=a_1+nr$ în loc de $a_1+(n-1)r$. De la $a_1$ la $a_n$ sunt doar $n-1$ „pași”.
• Numărul de termeni greșit. În $2+5+\cdots +62$ sunt $\frac{62-2}{3}+1=21$ termeni, nu 20.
• $b_n=b_1{q}^n$ la progresia geometrică; corect este $b_1{q}^{n-1}$.
• Rația negativă uitată. Din $q^2=4$ rezultă $q=\pm 2$; alegi doar $q=2$ dacă enunțul cere termeni pozitivi.
• Suma de la exponentul 0. $1+2+\cdots +2^{10}$ are 11 termeni, deci $2^{11}-1$, nu $2^{10}-1$.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișă de lucru cu răspunsuri: progresii aritmetice și geometrice (clasa a 9-a).
• Toți itemii de Bac cu progresii, rezolvați: progresii la Bacalaureat — subiecte rezolvate.
• Exemple concrete: Bac 2025 M2, Subiectul I, ex. 1 (al treilea termen al unei progresii aritmetice) și Bac 2024 M2, Subiectul I, ex. 1 (primul termen, când știi $a_2$ și $a_3$).
• Teorie despre șiruri: șiruri și progresii.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama dacă un șir este progresie aritmetică? Calculezi diferența $a_{n+1}-a_n$. Dacă ea este aceeași pentru orice $n$ (nu depinde de $n$), șirul este progresie aritmetică, iar acea diferență este rația.

Care este formula sumei unei progresii aritmetice? $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$: media dintre primul și ultimul termen, înmulțită cu numărul de termeni. Dacă nu știi $a_n$, folosești $S_n$ $=\frac{(2a_1+(n-1)r)n}{2}$.

Cum se află rația unei progresii geometrice? Împarți un termen la cel dinaintea lui: $q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$. Dacă știi doi termeni oarecare, $\frac{b_k}{b_p}=q^{k-p}$, apoi extragi radicalul de ordinul $k-p$.

Care e diferența dintre progresia aritmetică și cea geometrică? La cea aritmetică se adună mereu același număr (rația $r$), la cea geometrică se înmulțește mereu cu același număr (rația $q$). De exemplu, $2,5,8,11$ este aritmetică, iar $2,6,18,54$ este geometrică.