Logaritmi — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 10-a)

Logaritmul lui $b$ în baza $a$ este exponentul la care trebuie ridicat $a$ ca să obții $b$: ${\log }_{a}b$ $=c\iff a^c$ $=b$, cu $a>0$, $a\ne 1$ și $b>0$. Cu proprietățile logaritmilor (produs, cât, putere, schimbarea bazei) rezolvi atât calculele, cât și ecuațiile logaritmice de la Bac — mai jos ai 10 exerciții rezolvate pas cu pas.

Ce trebuie să știi

$${\log }_{a}b=c⟺a^c=b,a>0,a\ne 1,b>0$$

• ${\log }_{a}1=0$, ${\log }_{a}a=1$, $a^{{\log }_{a}b}=b$, ${\log }_a{a}^n=n$.
• ${\log }_a(xy)$ $={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ și ${\log }_a\frac{x}{y}$ $={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ (pentru $x,y>0$).
• ${\log }_a{x}^n=n{\log }_{a}x$; în particular ${\log }_a\sqrt{x}$ $=\frac{1}{2}{\log }_{a}x$.
• Schimbarea bazei: ${\log }_{a}b$ $={\displaystyle \frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$; $\lg ={\log }_{10}$, $\ln ={\log }_e$.
• La ecuații: scrii întâi condițiile de existență (argumente pozitive, baza pozitivă și diferită de 1) și verifici soluțiile la final.

Toate formulele, cu exemple: logaritmi — formule și proprietăți.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Calculați: a) ${\log }_{2}32$; b) ${\log }_3\frac{1}{9}$; c) $\lg \mathrm{0,001}$; d) ${\log }_5\sqrt{5}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) $32=2^5$, deci ${\log }_{2}32=5$.
2. b) $\frac{1}{9}=3^{-2}$, deci ${\log }_3\frac{1}{9}=-2$.
3. c) $\mathrm{0,001}={10}^{-3}$, deci $\lg \mathrm{0,001}=-3$.
4. d) $\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}$, deci ${\log }_5\sqrt{5}=\frac{1}{2}$.

Răspuns: a) 5; b) −2; c) −3; d) $\frac{1}{2}$.

Exercițiul 2. Calculați ${\log }_{6}4+{\log }_{6}9$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Suma logaritmilor în aceeași bază este logaritmul produsului: ${\log }_{6}4+{\log }_{6}9$ $={\log }_6(4\cdot 9)$.
2. ${\log }_{6}36=2$, pentru că $6^2=36$.

Răspuns: 2.

Exercițiul 3. Calculați ${\log }_{2}80-{\log }_{2}5$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Diferența logaritmilor este logaritmul câtului: ${\log }_2{\displaystyle \frac{80}{5}}$ $={\log }_{2}16$.
2. $16=2^4$, deci rezultatul este 4.

Răspuns: 4.

Nivel mediu

Exercițiul 4. Arătați că $3{\log }_{2}6-{\log }_{2}27=3$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Coeficientul trece la exponent: $3{\log }_{2}6$ $={\log }_2{6}^3$ $={\log }_{2}216$.
2. ${\log }_{2}216-{\log }_{2}27$ $={\log }_2{\displaystyle \frac{216}{27}}$ $={\log }_{2}8$.
3. ${\log }_{2}8=3$.

Răspuns: expresia este egală cu 3.

Exercițiul 5. Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care există ${\log }_{x-1}(5-x)$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Baza: $x-1>0$ și $x-1\ne 1$, adică $x>1$ și $x\ne 2$.
2. Argumentul: $5-x>0$, adică $x<5$.
3. Intersectăm condițiile: $x\in (1,5)$, fără $x=2$.

Răspuns: $x\in (1,2)\cup (2,5)$.

Exercițiul 6. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația ${\log }_3(2x+1)=2$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Condiția de existență: $2x+1$ $>0$ $\Rightarrow x$ $>-\frac{1}{2}$.
2. Din definiție: $2x+1$ $=3^2$ $=9$ $\Rightarrow x$ $=4$.
3. $4>-\frac{1}{2}$, deci soluția convine.

Răspuns: $x=4$.

Exercițiul 7. Calculați $5^{{\log }_{5}7}+{\log }_{4}8$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Din definiție, $a^{{\log }_{a}b}=b$, deci $5^{{\log }_{5}7}=7$.
2. Schimbăm baza în 2: ${\log }_{4}8$ $={\displaystyle \frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}4}}$ $={\displaystyle \frac{3}{2}}$.
3. Suma: $7+\frac{3}{2}=\frac{17}{2}$.

Răspuns: $\frac{17}{2}=8,5$.

Nivel greu (tip Bacalaureat)

Exercițiul 8. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația ${\log }_2(x+1)+{\log }_2(x-1)$ $=3$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Condiții: $x+1>0$ și $x-1>0$, deci $x>1$.
2. ${\log }_2[(x+1)(x-1)]$ $=3$ $\Rightarrow x^2-1$ $=2^3$ $=8$ $\Rightarrow x^2$ $=9$.
3. $x=3$ sau $x=-3$; doar $x=3$ verifică $x>1$.

Răspuns: $x=3$.

Exercițiul 9. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația ${\lg }^{2}x-3\lg x+2=0$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Condiție: $x>0$. Notăm $\lg x=t$: $t^2-3t+2=0$.
2. $\mathrm{\Delta }=9-8=1$, $t_1=1$, $t_2=2$.
3. $\lg x=1\Rightarrow x=10$; $\lg x=2\Rightarrow x=100$. Ambele sunt pozitive.

Răspuns: $S=\{10,100\}$.

Exercițiul 10. Știind că ${\log }_{2}3=a$, exprimați ${\log }_{12}18$ în funcție de $a$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Trecem în baza 2: ${\log }_{12}18$ $={\displaystyle \frac{{\log }_{2}18}{{\log }_{2}12}}$.
2. ${\log }_{2}18$ $={\log }_2(2\cdot 3^2)$ $=1+2a$.
3. ${\log }_{2}12$ $={\log }_2(2^2\cdot 3)$ $=2+a$.

Răspuns: ${\log }_{12}18$ $={\displaystyle \frac{1+2a}{2+a}}$.

Greșeli frecvente

• ${\log }_a(x+y)$ $={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ — fals. Proprietatea este pentru produs: ${\log }_a(xy)$ $={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$. Logaritmul unei sume nu se „desface”.
• ${\displaystyle \frac{{\log }_{a}x}{{\log }_{a}y}}$ $={\log }_a{\displaystyle \frac{x}{y}}$ — fals. Câtul a doi logaritmi este ${\log }_{y}x$ (schimbarea bazei), nu logaritmul câtului.
• Condițiile de existență uitate. La ${\log }_5(x^2-4)={\log }_5(3x)$ obții $x^2-3x-4=0$, cu $x=4$ sau $x=-1$; pentru $x=-1$, $3x<0$, deci singura soluție este $x=4$.
• ${\lg }^{2}x$ confundat cu $\lg x^2$. ${\lg }^{2}x=(\lg x{)}^2$, pe când $\lg x^2=2\lg x$ (pentru $x>0$).
• Baza 1 sau negativă. ${\log }_{1}5$ și ${\log }_{-2}4$ nu există: baza trebuie să fie pozitivă și diferită de 1.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișe de lucru cu răspunsuri: logaritmi și funcția exponențială (clasa a 10-a) și ecuații logaritmice (clasa a 10-a).
• Verifică rezultatele cu calculatorul de logaritmi (orice bază, cu pașii schimbării bazei).
• La Bac: Bac 2025 M2, Subiectul I, ex. 3 și Bac 2024 M2, Subiectul I, ex. 3 (ecuații logaritmice cu aceeași bază), Bac 2024 M1, Subiectul I, ex. 1 (calcul cu logaritmi zecimali).
• Toate temele de clasa a 10-a: formule matematică clasa a 10-a.

Întrebări frecvente

Ce este logaritmul? Logaritmul lui $b$ în baza $a$ este exponentul la care trebuie ridicat $a$ pentru a obține $b$. De exemplu, ${\log }_{2}8=3$, pentru că $2^3=8$.

Cum se calculează un logaritm fără calculator? Scrii argumentul ca putere a bazei: ${\log }_3\frac{1}{27}$ $={\log }_3{3}^{-3}$ $=-3$. Dacă nu se poate direct, folosești proprietățile (produs, cât, putere) sau schimbi baza.

Care sunt condițiile de existență ale logaritmului? Pentru ${\log }_{a}b$: baza $a>0$, $a\ne 1$ și argumentul $b>0$. La ecuații, aceste condiții se scriu la început, iar soluțiile găsite se verifică la final.

Ce înseamnă lg și ln? $\lg x$ este logaritmul zecimal (în baza 10), iar $\ln x$ este logaritmul natural (în baza $e\approx \mathrm{2,718}$). Toate proprietățile logaritmilor sunt valabile și pentru ele.