Arii patrulatere — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 7-a)

Aria unui patrulater se calculează din laturi și înălțimi: la dreptunghi $L\cdot l$, la pătrat $l^2$, la paralelogram baza ori înălțimea, la romb semiprodusul diagonalelor, iar la trapez semisuma bazelor ori înălțimea. Toate se sprijină pe aria triunghiului, $\frac{b\cdot h}{2}$: orice patrulater se poate împărți printr-o diagonală în două triunghiuri.

Ce trebuie să știi

$$\begin{array}{rlrlrl}& {\mathcal{A}}_{\text{dreptunghi}}=L\cdot l,& & {\mathcal{A}}_{\text{pătrat}}=l^2,& & {\mathcal{A}}_{\text{paralelogram}}=b\cdot h,\\ & {\mathcal{A}}_{\text{triunghi}}=\frac{b\cdot h}{2},& & {\mathcal{A}}_{\text{romb}}=\frac{d_1\cdot d_2}{2},& & {\mathcal{A}}_{\text{trapez}}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}\end{array}$$

• Înălțimea este distanța dintre latura considerată bază și latura opusă (paralelogram, trapez) sau vârful opus (triunghi). Latura oblică nu este înălțime.
• Paralelogramul are două înălțimi: $\mathcal{A}=AB\cdot h_{AB}=BC\cdot h_{BC}$. Diagonala îl împarte în două triunghiuri cu arii egale.
• Rombul este paralelogram, deci și $\mathcal{A}=l\cdot h$; diagonalele lui sunt perpendiculare și se înjumătățesc, așa că $\frac{d_1}{2}$, $\frac{d_2}{2}$ și latura formează un triunghi dreptunghic.
• Trapezul: linia mijlocie este $m=\frac{B+b}{2}$, deci $\mathcal{A}=m\cdot h$. La trapezul isoscel, proiecția unei laturi neparalele pe baza mare este $\frac{B-b}{2}$.
• Triunghiul dreptunghic: $\mathcal{A}=\frac{c_1\cdot c_2}{2}$; înălțimea pe ipotenuză este $h=\frac{c_1\cdot c_2}{ip}$.
• Unități: aria se măsoară în unități pătrate: $1{\text{ m}}^2=10000{\text{ cm}}^2$, $1{\text{ dm}}^2=100{\text{ cm}}^2$.

Toate formulele, cu figuri: arii figuri plane, înălțimi și apotemă · patrulatere: proprietăți · aria triunghiului · formule matematică clasa a 7-a.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. a) Un dreptunghi are lungimea de 12 cm și lățimea de 7 cm. Calculează perimetrul și aria lui. b) Un pătrat are perimetrul de 36 cm. Calculează aria pătratului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) $P=2\cdot (L+l)=2\cdot (12+7)=38$ cm.
2. $\mathcal{A}=L\cdot l=12\cdot 7=84{\text{ cm}}^2$.
3. b) Pătratul are 4 laturi egale: $l=36:4=9$ cm, deci $\mathcal{A}=9^2=81{\text{ cm}}^2$.

Răspuns: a) $P=38$ cm, $\mathcal{A}=84{\text{ cm}}^2$; b) $81{\text{ cm}}^2$

Exercițiul 2. Paralelogramul $ABCD$ are $AB=10$ cm, $BC=8$ cm, iar distanța de la $D$ la dreapta $AB$ este de 6 cm. Calculează aria paralelogramului și distanța de la $A$ la dreapta $BC$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Înălțimea corespunzătoare bazei $AB$ este 6 cm: $\mathcal{A}=AB\cdot h_{AB}=10\cdot 6=60{\text{ cm}}^2$.
2. Aceeași arie se poate scrie cu baza $BC$: $\mathcal{A}=BC\cdot h_{BC}$, unde $h_{BC}$ este distanța de la $A$ la dreapta $BC$.
3. $8\cdot h_{BC}=60\Rightarrow h_{BC}=7,5$ cm.

Răspuns: $\mathcal{A}=60{\text{ cm}}^2$; distanța este 7,5 cm

Exercițiul 3. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Calculează aria triunghiului și lungimea înălțimii $AD$, $D\in BC$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Catetele sunt perpendiculare, deci una este înălțimea corespunzătoare celeilalte: $\mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24{\text{ cm}}^2$.
2. Teorema lui Pitagora: $B{C}^2=6^2+8^2=36+64=100$, deci $BC=10$ cm.
3. Scrii aria cu baza $BC$: $\frac{BC\cdot AD}{2}=24\Rightarrow 10\cdot AD=48\Rightarrow AD=4,8$ cm.

Răspuns: $\mathcal{A}=24{\text{ cm}}^2$, $AD=4,8$ cm

Nivel mediu

Exercițiul 4. Rombul $ABCD$ are diagonalele $AC=16$ cm și $BD=12$ cm. Calculează aria, latura și înălțimea rombului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Aria: $\mathcal{A}=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{16\cdot 12}{2}=96{\text{ cm}}^2$.
2. Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc în $O$: $AO=8$ cm, $BO=6$ cm, iar triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$.
3. Teorema lui Pitagora: $A{B}^2=8^2+6^2=100$, deci $AB=10$ cm.
4. Rombul este paralelogram: $\mathcal{A}=AB\cdot h\Rightarrow 10\cdot h=96\Rightarrow h=9,6$ cm.

Răspuns: $\mathcal{A}=96{\text{ cm}}^2$, latura 10 cm, înălțimea 9,6 cm

Exercițiul 5. Un trapez are bazele de 18 cm și 10 cm, iar înălțimea de 7 cm. Calculează linia mijlocie și aria trapezului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Linia mijlocie: $m=\frac{B+b}{2}=\frac{18+10}{2}=14$ cm.
2. Aria: $\mathcal{A}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}=\frac{28\cdot 7}{2}=98{\text{ cm}}^2$.
3. Verificare cu linia mijlocie: $\mathcal{A}=m\cdot h=14\cdot 7=98{\text{ cm}}^2$.

Răspuns: $m=14$ cm, $\mathcal{A}=98{\text{ cm}}^2$

Exercițiul 6. Trapezul isoscel $ABCD$ are bazele $AB=20$ cm și $CD=8$ cm și laturile neparalele $AD=BC=10$ cm. Calculează înălțimea, perimetrul și aria trapezului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Duci înălțimea $DE\perp AB$, $E\in AB$. În trapezul isoscel, $AE=\frac{AB-CD}{2}=\frac{20-8}{2}=6$ cm.
2. Triunghiul $AED$ este dreptunghic în $E$: $D{E}^2=A{D}^2-A{E}^2=100-36=64$, deci $DE=8$ cm.
3. Perimetrul: $P=20+8+10+10=48$ cm.
4. Aria: $\mathcal{A}=\frac{(AB+CD)\cdot DE}{2}=\frac{28\cdot 8}{2}=112{\text{ cm}}^2$.

Răspuns: $h=8$ cm, $P=48$ cm, $\mathcal{A}=112{\text{ cm}}^2$

Exercițiul 7. Dreptunghiul $ABCD$ are $AB=3\cdot BC$ și perimetrul de 48 cm. Calculează aria dreptunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Notezi $BC=x$; atunci $AB=3x$.
2. $P=2\cdot (3x+x)=8x=48\Rightarrow x=6$: $BC=6$ cm, $AB=18$ cm.
3. $\mathcal{A}=AB\cdot BC=18\cdot 6=108{\text{ cm}}^2$.

Răspuns: $108{\text{ cm}}^2$

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

Exercițiul 8. Paralelogramul $ABCD$ are $AB=12$ cm, iar distanța dintre dreptele $AB$ și $CD$ este de 5 cm. Punctul $M$ se află pe latura $CD$. Calculează aria triunghiului $ABM$ și arată că ea nu depinde de poziția punctului $M$ pe latura $CD$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Aria paralelogramului: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot h=12\cdot 5=60{\text{ cm}}^2$.
2. În triunghiul $ABM$, înălțimea din $M$ pe $AB$ este distanța de la $M$ la dreapta $AB$. Cum $M\in CD$ și $CD\parallel AB$, această distanță este tot 5 cm, oriunde ar fi $M$ pe $CD$.
3. ${\mathcal{A}}_{ABM}=\frac{AB\cdot 5}{2}=\frac{12\cdot 5}{2}=30{\text{ cm}}^2$, adică jumătate din aria paralelogramului, pentru orice poziție a lui $M$.

Răspuns: ${\mathcal{A}}_{ABM}=30{\text{ cm}}^2=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABCD}$

Exercițiul 9. Trapezul dreptunghic $ABCD$ are $AB\parallel CD$, $m(\mathrm{\angle }A)={90}^{\circ }$, $AB=15$ cm, $CD=9$ cm și $AD=8$ cm. a) Calculează aria și perimetrul trapezului. b) Calculează distanța de la punctul $D$ la dreapta $BC$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) $AD\perp AB$, deci $AD$ este înălțimea: $\mathcal{A}=\frac{(15+9)\cdot 8}{2}=96{\text{ cm}}^2$.
2. Duci $CF\perp AB$, $F\in AB$. $AFCD$ este dreptunghi, deci $CF=8$ cm și $AF=9$ cm, de unde $FB=15-9=6$ cm.
3. În triunghiul dreptunghic $CFB$: $B{C}^2=8^2+6^2=100$, deci $BC=10$ cm, iar $P=15+10+9+8=42$ cm.
4. b) Triunghiul $BCD$ are baza $CD=9$ cm și înălțimea din $B$ egală cu distanța dintre paralelele $AB$ și $CD$, adică 8 cm: ${\mathcal{A}}_{BCD}=\frac{9\cdot 8}{2}=36{\text{ cm}}^2$.
5. Scrii aceeași arie cu baza $BC$: $\frac{BC\cdot d(D,BC)}{2}=36\Rightarrow 10\cdot d=72\Rightarrow d=7,2$ cm.

Răspuns: a) $\mathcal{A}=96{\text{ cm}}^2$, $P=42$ cm; b) 7,2 cm

Exercițiul 10. Pătratul $ABCD$ are latura de 12 cm. Punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$, iar $N$ este mijlocul laturii $CD$. Calculează aria triunghiului $AMN$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Aria pătratului: ${12}^2=144{\text{ cm}}^2$. Triunghiul $AMN$ se obține scoțind din pătrat trei triunghiuri dreptunghice: $ABM$, $MCN$ și $NDA$.
2. $BM=MC=CN=ND=6$ cm. ${\mathcal{A}}_{ABM}=\frac{12\cdot 6}{2}=36{\text{ cm}}^2$, ${\mathcal{A}}_{NDA}=\frac{6\cdot 12}{2}=36{\text{ cm}}^2$, ${\mathcal{A}}_{MCN}=\frac{6\cdot 6}{2}=18{\text{ cm}}^2$.
3. ${\mathcal{A}}_{AMN}=144-36-36-18=54{\text{ cm}}^2$.
4. Observație: $54=\frac{3}{8}\cdot 144$, adică triunghiul ocupă $\frac{3}{8}$ din pătrat, oricare ar fi latura.

Răspuns: $54{\text{ cm}}^2$

Greșeli frecvente

• Uiți împărțirea la 2 la triunghi, romb și trapez: aria rombului cu diagonalele 16 și 12 este $96{\text{ cm}}^2$, nu $192{\text{ cm}}^2$.
• Iei latura oblică drept înălțime: la paralelogramul cu laturile 10 și 8 aria nu este $10\cdot 8$; ai nevoie de înălțime (exercițiul 2). La fel, la trapezul isoscel latura neparalelă de 10 cm nu este înălțimea (exercițiul 6).
• Folosești diagonalele întregi în teorema lui Pitagora la romb: triunghiul dreptunghic are catetele $\frac{d_1}{2}$ și $\frac{d_2}{2}$ (8 și 6), nu 16 și 12.
• Încurci perimetrul cu aria și unitățile: perimetrul este în cm, aria în ${\text{cm}}^2$; la transformări, $1{\text{ m}}^2=10000{\text{ cm}}^2$, nu 100.
• La trapezul isoscel scazi greșit proiecția: $AE=\frac{B-b}{2}$, nu $B-b$; diferența bazelor se împarte în mod egal la cele două capete.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișă de lucru: patrulatere, clasa a 7-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Calculator aria triunghiului: verifică rapid ariile triunghiurilor în care împarți un patrulater.
• Ariile patrulaterelor apar la Evaluarea Națională, Subiectul al II-lea: EN 2025, itemul 10 (dreptunghi cu $AB=3\cdot BC$ și perimetrul dat, ca la exercițiul 7, rezolvat aici) și EN 2026, itemul 10 (aria unui paralelogram cu diagonala perpendiculară pe o latură, rezolvat aici).
• Toți itemii de arii din subiectele oficiale, grupați pe figuri: arii și perimetre la Evaluarea Națională.
• Exerciții înrudite: teorema lui Pitagora, exerciții rezolvate clasa a 7-a.

Întrebări frecvente

Cum se calculează aria unui trapez? Aduni cele două baze, înmulțești cu înălțimea și împarți la 2: $\mathcal{A}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$. De exemplu, un trapez cu bazele de 18 cm și 10 cm și înălțimea de 7 cm are aria $\frac{28\cdot 7}{2}=98{\text{ cm}}^2$.

Cum se calculează aria rombului? Înmulțești diagonalele și împarți la 2, $\mathcal{A}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$, sau, ca la orice paralelogram, înmulțești latura cu înălțimea. Un romb cu diagonalele de 16 cm și 12 cm are aria $96{\text{ cm}}^2$.

Care este diferența dintre aria paralelogramului și aria dreptunghiului? La dreptunghi una dintre laturi este chiar înălțimea, deci $\mathcal{A}=L\cdot l$. La paralelogramul oarecare înmulțești baza cu înălțimea, nu cu latura alăturată, care este oblică și mai lungă decât înălțimea.

Cum afli înălțimea unui paralelogram dacă știi aria? Împarți aria la baza corespunzătoare: $h=\mathcal{A}:b$. Un paralelogram cu aria de $60{\text{ cm}}^2$ și latura de 8 cm are înălțimea pe acea latură de $60:8=7,5$ cm.