Funcția de gradul 2 exerciții rezolvate clasa a 9-a

Q: Cum se află vârful parabolei?

Pentru f(x) = ax² + bx + c , vârful are coordonatele x_V = -(b)/(2a) și y_V = -(Δ)/(4a) . Practic, calculezi x_V și apoi y_V = f(x_V) , ceea ce te ferește de greșeli de semn.

Q: Când are funcția de gradul 2 minim și când are maxim?

Dacă a 0 , parabola are ramurile în sus și funcția are un minim, egal cu y_V ; dacă a 0 , ramurile sunt în jos și funcția are un maxim, tot y_V .

Q: Cum stabilesc semnul funcției de gradul al doilea?

Afli rădăcinile (dacă există). Între rădăcini funcția are semn contrar lui a , în afara lor are semnul lui a . Dacă Δ 0 , funcția are peste tot semnul lui a .

Q: Care este axa de simetrie a parabolei?

Este dreapta verticală care trece prin vârf, x = -(b)/(2a) . Punctele graficului situate la aceeași distanță de ea au aceeași ordonată, de exemplu rădăcinile x_1 și x_2 , al căror mijloc este chiar x_V .

Funcția de gradul al doilea are forma $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , cu $a \neq 0$ , iar graficul ei este o parabolă. Totul pornește de la vârful parabolei $V (- \frac{b}{2 a}, - \frac{Δ}{4 a})$ : dreapta $x = - \frac{b}{2 a}$ este axa de simetrie, iar $- \frac{Δ}{4 a}$ este valoarea minimă (dacă $a > 0$ ) sau maximă (dacă $a < 0$ ) a funcției. Mai jos ai 10 exerciții rezolvate pas cu pas, de la vârf și intersecții cu axele până la probleme tip Bacalaureat.

Ce trebuie să știi

f (x) = a x^{2} + b x + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a}, Δ = b^{2} - 4 a c

Vârful: $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ , $y_{V}$ $= - \frac{Δ}{4 a}$ $= f (x_{V})$ . Axa de simetrie este dreapta $x = - \frac{b}{2 a}$ .
Intersecția cu $O y$ : punctul $(0, c)$ . Intersecția cu $O x$ : soluțiile ecuației $f (x) = 0$ — două puncte dacă $Δ > 0$ , un punct (vârful) dacă $Δ = 0$ , niciunul dacă $Δ < 0$ .
Monotonie și extrem: dacă $a > 0$ , $f$ este descrescătoare pe $(- \infty, - \frac{b}{2 a}]$ , crescătoare pe $[- \frac{b}{2 a}, + \infty)$ și are minimul $- \frac{Δ}{4 a}$ ; dacă $a < 0$ , invers, cu maximul $- \frac{Δ}{4 a}$ .
Mulțimea valorilor: $[- \frac{Δ}{4 a}, + \infty)$ pentru $a > 0$ , respectiv $(- \infty, - \frac{Δ}{4 a}]$ pentru $a < 0$ .
Semnul: între rădăcini $f$ are semn contrar lui $a$ , în afara rădăcinilor are semnul lui $a$ ; dacă $Δ < 0$ , $f (x)$ are semnul lui $a$ pentru orice $x$ .
Intersecția cu o dreaptă $y = m x + n$ : rezolvi ecuația $a x^{2} + b x + c = m x + n$ ; numărul de soluții reale este numărul de puncte comune.

Teoria completă, cu grafice: funcția de gradul al II-lea — formule · ecuația de gradul 2 · formule matematică clasa a 9-a.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ . Determinați coordonatele vârfului parabolei, axa de simetrie și punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Coeficienții: $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 3$ ; $Δ = 16 - 12 = 4$ .
Vârful: $x_{V} = - \frac{- 4}{2} = 2$ , $y_{V} = - \frac{4}{4} = - 1$ (sau direct $f (2) = 4 - 8 + 3 = - 1$ ), deci $V (2, - 1)$ .
Axa de simetrie este dreapta $x = 2$ .
Cu $O y$ : $f (0) = 3$ , punctul $(0, 3)$ .
Cu $O x$ : $x^{2} - 4 x + 3$ $= 0$ $\Rightarrow x_{1, 2}$ $= \frac{4 \pm 2}{2}$ , adică $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 3$ ; punctele $(1, 0)$ și $(3, 0)$ . Observă că sunt simetrice față de axa $x = 2$ .

Răspuns: $V (2, - 1)$ ; axa $x = 2$ ; $O x$ : $(1, 0)$ , $(3, 0)$ ; $O y$ : $(0, 3)$ .

Exercițiul 2. Determinați valoarea maximă a funcției $f : R \to R$ , $f (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ , punctul în care este atinsă și mulțimea valorilor funcției.

Vezi rezolvarea pas cu pas

$a = - 1 < 0$ , deci parabola are „ramurile în jos” și funcția are un maxim, atins în vârf.
$x_{V}$ $= - \frac{b}{2 a}$ $= - \frac{6}{- 2}$ $= 3$ .
$f (3) = - 9 + 18 - 5 = 4$ . Verificare cu formula: $Δ = 36 - 20 = 16$ , $- \frac{Δ}{4 a}$ $= - \frac{16}{- 4}$ $= 4$ .
Funcția ia toate valorile mai mici sau egale cu maximul.

Răspuns: maximul este $4$ , atins pentru $x = 3$ ; $Im f$ $= (- \infty, 4]$ .

Exercițiul 3. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 1$ . a) Studiați monotonia funcției și determinați minimul ei. b) Determinați mulțimea valorilor lui $f$ pe intervalul $[- 2, 1]$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

a) $a = 2 > 0$ , $x_{V} = - \frac{4}{4} = - 1$ , $f (- 1) = 2 - 4 - 1 = - 3$ .
Deci $f$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, - 1]$ , strict crescătoare pe $[- 1, + \infty)$ , iar minimul este $- 3$ , atins în $x = - 1$ .
b) Vârful $x_{V} = - 1$ se află în intervalul $[- 2, 1]$ , deci cea mai mică valoare pe interval este $f (- 1) = - 3$ .
Cea mai mare valoare se atinge la un capăt: $f (- 2) = 8 - 8 - 1 = - 1$ , $f (1) = 2 + 4 - 1 = 5$ ; maximul pe interval este $5$ .
Funcția este continuă pe interval (graficul nu are „rupturi”), deci ia toate valorile dintre $- 3$ și $5$ .

Răspuns: a) descrescătoare pe $(- \infty, - 1]$ , crescătoare pe $[- 1, + \infty)$ , minim $- 3$ ; b) $f ([- 2, 1]) = [- 3, 5]$ .

Nivel mediu

Exercițiul 4. Studiați semnul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - x - 6$ și rezolvați inecuația $x^{2} - x - 6 \leq 0$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Rădăcinile: $Δ = 1 + 24 = 25$ , $x_{1, 2} = \frac{1 \pm 5}{2}$ , deci $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 3$ .
$a = 1 > 0$ : $f (x) > 0$ pentru $x \in (- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$ (semnul lui $a$ în afara rădăcinilor) și $f (x) < 0$ pentru $x \in (- 2, 3)$ (semn contrar între rădăcini).
Tabelul de semn:

$x$	$- \infty$ … $- 2$	$- 2$ … $3$	$3$ … $+ \infty$
$f (x)$	+ + + 0	− − −	0 + + +

Inecuația cere $f (x) \leq 0$ : intervalul dintre rădăcini, cu tot cu rădăcinile.

Răspuns: $x \in [- 2, 3]$ .

Exercițiul 5. Determinați numerele reale $m$ pentru care vârful parabolei $y = x^{2} + m x + 9$ se află pe axa $O x$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Vârful este pe $O x$ exact când $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a} = 0$ , adică $Δ = 0$ (parabola este tangentă la $O x$ ).
$Δ$ $= m^{2} - 36$ $= 0$ $\Rightarrow m^{2}$ $= 36$ $\Rightarrow m$ $= \pm 6$ .
Verificare: $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ are vârful $(- 3, 0)$ ; $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ are vârful $(3, 0)$ .

Răspuns: $m \in {- 6, 6}$ .

Exercițiul 6. Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care parabola asociată funcției $f (x) = x^{2} + a x + b$ are vârful $V (1, - 4)$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Abscisa vârfului: $- \frac{a}{2}$ $= 1$ $\Rightarrow a$ $= - 2$ .
Ordonata vârfului este $f (1) = - 4$ : $1 + a + b$ $= - 4$ $\Rightarrow 1 - 2 + b$ $= - 4$ $\Rightarrow b$ $= - 3$ .
Verificare: $f (x)$ $= x^{2} - 2 x - 3$ $= (x - 1)^{2} - 4$ , deci vârful este $(1, - 4)$ .

Răspuns: $a = - 2$ , $b = - 3$ .

Exercițiul 7. Determinați numerele reale $m$ pentru care $x^{2} + (m - 1) x + 1 > 0$ , pentru orice număr real $x$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Coeficientul lui $x^{2}$ este $1 > 0$ . Funcția este pozitivă pentru orice $x$ exact când nu are rădăcini reale, adică $Δ < 0$ (parabola este în întregime deasupra axei $O x$ ).
$Δ$ $= (m - 1)^{2} - 4$ $< 0$ $\Rightarrow (m - 1)^{2}$ $< 4$ $\Rightarrow - 2$ $< m - 1$ $< 2$ .
Adunăm 1: $- 1 < m < 3$ .
Atenție: pentru $m = 3$ avem $(x + 1)^{2}$ , care se anulează în $x = - 1$ , deci capetele nu convin.

Răspuns: $m \in (- 1, 3)$ .

Nivel greu (tip Bacalaureat)

Exercițiul 8. Determinați coordonatele punctelor de intersecție ale graficelor funcțiilor $f, g : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ și $g (x) = x - 1$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Un punct comun are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe ambele grafice, deci rezolvăm $f (x) = g (x)$ .
$x^{2} - 3 x + 2$ $= x - 1$ $\Rightarrow x^{2} - 4 x + 3$ $= 0$ $\Rightarrow x_{1}$ $= 1$ , $x_{2} = 3$ .
Ordonatele: $g (1) = 0$ , $g (3) = 2$ (verificare: $f (1) = 0$ , $f (3) = 9 - 9 + 2 = 2$ ).

Răspuns: $(1, 0)$ și $(3, 2)$ .

Exercițiul 9. Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - x + m$ și $g (x) = x + 2$ , unde $m$ este număr real. Determinați $m$ pentru care graficele funcțiilor $f$ și $g$ au exact un punct comun.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Punctele comune corespund soluțiilor ecuației $f (x) = g (x)$ : $x^{2} - x + m$ $= x + 2$ $\Rightarrow x^{2} - 2 x + m - 2$ $= 0$ .
Exact un punct comun înseamnă exact o soluție reală, adică $Δ = 0$ .
$Δ$ $= 4 - 4 (m - 2)$ $= 12 - 4 m$ $= 0$ $\Rightarrow m$ $= 3$ .
Pentru $m = 3$ : $x^{2} - 2 x + 1$ $= (x - 1)^{2}$ $= 0$ $\Rightarrow x$ $= 1$ , iar punctul comun este $(1, 3)$ — dreapta este tangentă la parabolă.

Răspuns: $m = 3$ .

Exercițiul 10. Cu un gard de 60 m se împrejmuiește un teren dreptunghiular lipit de zidul unei case (pe latura de lângă zid nu se pune gard). Ce dimensiuni trebuie să aibă terenul pentru ca aria lui să fie maximă?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Notăm cu $x$ lungimea (în metri) fiecărei laturi perpendiculare pe zid. Latura paralelă cu zidul are $60 - 2 x$ , cu $0 < x < 30$ .
Aria: $A (x)$ $= x (60 - 2 x)$ $= - 2 x^{2} + 60 x$ , o funcție de gradul al doilea cu $a = - 2 < 0$ , deci are maxim în vârf.
$x_{V}$ $= - \frac{60}{2 \cdot (- 2)}$ $= 15$ , care este în intervalul $(0, 30)$ .
$A (15) = 15 \cdot 30 = 450$ .

Răspuns: laturile de 15 m (perpendiculare pe zid) și 30 m (paralelă cu zidul); aria maximă este $450$ m².

Greșeli frecvente

Semnul din formula vârfului: $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ . La $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ , $x_{V} = 2$ , nu $- 2$ . Verifică mereu calculând $f (x_{V})$ .
Confuzia minim/maxim: pentru $a > 0$ vârful dă minimul, pentru $a < 0$ dă maximul. Valoarea extremă este $y_{V}$ , iar $x_{V}$ este doar punctul în care e atinsă.
Semnul între rădăcini: nu „ghici” semnul; regula este: semnul lui $a$ în afara rădăcinilor, semn contrar între ele (exercițiul 4).
Valorile pe un interval: nu calcula doar $f$ la capete. Dacă vârful e în interval, extremul se atinge în vârf (exercițiul 3 b: minimul e $- 3$ , nu $- 1$ ).
Condiția „pentru orice $x$ ”: $f (x) > 0$ pentru orice $x$ cere $a > 0$ și $Δ < 0$ ; cu $Δ \leq 0$ ai accepta și cazul în care $f$ se anulează.

Verifică-te

Verifică-te: 5 întrebări

Care este vârful parabolei $y = x^{2} - 6 x + 5$ ?

$V (- 3, 32)$
$V (3, - 4)$
$V (6, 5)$

Care este valoarea maximă a funcției $f (x) = - 2 x^{2} + 8 x + 1$ ?

Mulțimea soluțiilor inecuației $x^{2} - 5 x + 4 < 0$ este:

$(1, 4)$
$(- \infty, 1) \cup (4, + \infty)$
$[1, 4]$

Pentru ce valoare a lui $m$ graficul funcției $f (x) = x^{2} + 4 x + m$ este tangent la axa $O x$ ?

$m = - 4$
$m = 4$
$m = 16$

Funcția $f (x) = 3 x^{2} - 6 x + 2$ este strict crescătoare pe intervalul:

$(- \infty, 1]$
$[- 1, + \infty)$
$[1, + \infty)$

Exersează mai departe

Fișe de lucru cu răspunsuri: funcția de gradul I și II, clasa a 9-a și ecuația de gradul 2, relațiile lui Viète și inecuații.
Ecuația asociată, cu $Δ$ și Viète: ecuația de gradul 2 — exerciții rezolvate și calculatorul pentru ecuația de gradul 2.
La Bacalaureat (M1), funcția de gradul al doilea apare la Subiectul I, ex. 2: Simulare Bac 2025 M1, Subiectul I.2 (graficul intersectează axa $O x$ în două puncte distincte) și Simulare Bac 2026 M1, Subiectul I.2 (o parabolă și o dreaptă cu exact un punct comun, ca în exercițiul 9).

Întrebări frecvente

Cum se află vârful parabolei? Pentru $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , vârful are coordonatele $x_{V} = - \frac{b}{2 a}$ și $y_{V} = - \frac{Δ}{4 a}$ . Practic, calculezi $x_{V}$ și apoi $y_{V} = f (x_{V})$ , ceea ce te ferește de greșeli de semn.

Când are funcția de gradul 2 minim și când are maxim? Dacă $a > 0$ , parabola are ramurile în sus și funcția are un minim, egal cu $y_{V}$ ; dacă $a < 0$ , ramurile sunt în jos și funcția are un maxim, tot $y_{V}$ .

Cum stabilesc semnul funcției de gradul al doilea? Afli rădăcinile (dacă există). Între rădăcini funcția are semn contrar lui $a$ , în afara lor are semnul lui $a$ . Dacă $Δ < 0$ , funcția are peste tot semnul lui $a$ .

Care este axa de simetrie a parabolei? Este dreapta verticală care trece prin vârf, $x = - \frac{b}{2 a}$ . Punctele graficului situate la aceeași distanță de ea au aceeași ordonată, de exemplu rădăcinile $x_{1}$ și $x_{2}$ , al căror mijloc este chiar $x_{V}$ .

Funcția de gradul 2 — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 9-a)

Ce trebuie să știi

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Nivel mediu

Nivel greu (tip Bacalaureat)

Greșeli frecvente

Verifică-te

Exersează mai departe

Întrebări frecvente

Formule conexe