Teorema lui Pitagora — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 7-a)

Teorema lui Pitagora spune că, într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: dacă unghiul drept este în $A$, atunci $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$. Mai jos ai 10 exerciții rezolvate pas cu pas, de la aflarea unei laturi până la probleme de tip Evaluare Națională, plus greșelile frecvente și un test scurt de verificare.

Ce trebuie să știi

• Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și este cea mai lungă latură a triunghiului.
• Când cauți ipotenuza, aduni pătratele catetelor; când cauți o catetă, scazi din pătratul ipotenuzei pătratul celeilalte catete.
• Reciproca: dacă pătratul celei mai lungi laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus celei mai lungi laturi.
• Numere pitagorice utile: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25 și multiplii lor (6, 8, 10; 9, 12, 15).
• Rezultate folosite des: diagonala pătratului $d=\ell \sqrt{2}$, diagonala dreptunghiului $d=\sqrt{L^2+{\ell }^2}$, înălțimea triunghiului echilateral $h={\displaystyle \frac{\ell \sqrt{3}}{2}}$.

Teoria completă, cu demonstrație și exemple: teorema lui Pitagora — formule.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

1. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Calculează lungimea ipotenuzei $BC$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Unghiul drept este în $A$, deci ipotenuza este $BC$, latura opusă lui.
2. Aplici teorema lui Pitagora: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=6^2+8^2=36+64=100$.
3. Extragi radicalul: $BC=\sqrt{100}=10$ cm.

Răspuns: $BC=10$ cm.

2. Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are 13 cm, iar o catetă are 5 cm. Află cealaltă catetă și aria triunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Notezi cateta necunoscută cu $c$. Pentru o catetă scazi: $c^2={13}^2-5^2=169-25=144$.
2. $c=\sqrt{144}=12$ cm.
3. Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor: $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{5\cdot 12}{2}}=30$ cm².

Răspuns: cateta are 12 cm, aria este 30 cm².

3. Stabilește dacă triunghiul cu laturile date este dreptunghic: a) 7 cm, 24 cm, 25 cm; b) 5 cm, 6 cm, 8 cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) Cea mai lungă latură este 25 cm: ${25}^2=625$, iar $7^2+{24}^2=49+576=625$.
2. Pătratele sunt egale, deci, din reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii de 25 cm.
3. b) Cea mai lungă latură este 8 cm: $8^2=64$, iar $5^2+6^2=25+36=61\ne 64$, deci triunghiul nu este dreptunghic.

Răspuns: a) da; b) nu.

Nivel mediu

4. O scară lungă de 5 m este sprijinită de un perete vertical. Piciorul scării se află pe sol, la 1,4 m de perete. La ce înălțime atinge scara peretele?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Peretele este perpendicular pe sol, deci peretele, solul și scara formează un triunghi dreptunghic; scara este ipotenuza.
2. Înălțimea $h$ este o catetă: $h^2=5^2-1,4^2=25-1,96=23,04$.
3. $h=\sqrt{23,04}=4,8$ m (verificare: $4,8^2=23,04$).

Răspuns: scara atinge peretele la 4,8 m înălțime.

5. Diagonala unui dreptunghi are 20 cm, iar o latură are 12 cm. Calculează perimetrul și aria dreptunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Diagonala împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice, în care diagonala este ipotenuza.
2. Cealaltă latură: ${\ell }^2={20}^2-{12}^2=400-144=256$, deci $\ell =16$ cm.
3. $P=2(12+16)=56$ cm și $\mathcal{A}=12\cdot 16=192$ cm².

Răspuns: $P=56$ cm, $\mathcal{A}=192$ cm².

6. Calculează înălțimea și aria unui triunghi echilateral cu latura de 8 cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. În triunghiul echilateral $ABC$, înălțimea $AD$ este și mediană, deci $BD=8:2=4$ cm.
2. În triunghiul $ABD$, dreptunghic în $D$: $A{D}^2=A{B}^2-B{D}^2=64-16=48$, deci $AD=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ cm.
3. $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{BC\cdot AD}{2}}={\displaystyle \frac{8\cdot 4\sqrt{3}}{2}}=16\sqrt{3}$ cm². Verificare cu formula: $h={\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$.

Răspuns: $h=4\sqrt{3}$ cm, $\mathcal{A}=16\sqrt{3}$ cm².

7. Un romb are diagonalele de 10 cm și 24 cm. Calculează latura și perimetrul rombului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc: se formează patru triunghiuri dreptunghice cu catetele 5 cm și 12 cm.
2. Latura rombului este ipotenuza: ${\ell }^2=5^2+{12}^2=25+144=169$, deci $\ell =13$ cm.
3. $P=4\cdot 13=52$ cm.

Răspuns: latura are 13 cm, perimetrul este 52 cm.

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

8. Trapezul isoscel $ABCD$ are $AB\parallel CD$, $AB=20$ cm, $CD=8$ cm și $AD=BC=10$ cm. Calculează înălțimea trapezului, aria lui și lungimea diagonalei $AC$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Duci înălțimile $DF$ și $CE$ ($F,E\in AB$). $DCEF$ este dreptunghi, deci $FE=CD=8$ cm.
2. Trapezul fiind isoscel, $AF=EB={\displaystyle \frac{20-8}{2}}=6$ cm.
3. În triunghiul $BEC$, dreptunghic în $E$: $C{E}^2={10}^2-6^2=64$, deci $h=CE=8$ cm.
4. $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{(AB+CD)\cdot h}{2}}={\displaystyle \frac{28\cdot 8}{2}}=112$ cm².
5. $AE=AB-EB=14$ cm. În triunghiul $AEC$, dreptunghic în $E$: $A{C}^2={14}^2+8^2=196+64=260$, deci $AC=\sqrt{260}=2\sqrt{65}$ cm.

Răspuns: $h=8$ cm, $\mathcal{A}=112$ cm², $AC=2\sqrt{65}$ cm.

9. În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A(-1,2)$ și $B(5,10)$. Calculează distanța $AB$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Construiești triunghiul dreptunghic cu ipotenuza $AB$ și catetele paralele cu axele.
2. Cateta orizontală: $|5-(-1)|=6$; cateta verticală: $|10-2|=8$.
3. $A{B}^2=6^2+8^2=100$, deci $AB=10$. Este exact formula $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$.

Răspuns: $AB=10$ (unități).

10. Un triunghi dreptunghic are perimetrul de 60 cm, iar catetele sunt direct proporționale cu numerele 3 și 4. Calculează laturile, aria și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Catetele sunt $3k$ și $4k$ ($k>0$); ipotenuza: $\sqrt{9k^2+16k^2}=\sqrt{25k^2}=5k$.
2. Perimetrul: $3k+4k+5k=12k=60$, deci $k=5$; laturile sunt 15 cm, 20 cm, 25 cm.
3. $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{15\cdot 20}{2}}=150$ cm².
4. Scrii aria și cu ipotenuza ca bază: ${\displaystyle \frac{25\cdot h}{2}}=150$, deci $h=12$ cm.

Răspuns: 15 cm, 20 cm, 25 cm; $\mathcal{A}=150$ cm²; $h=12$ cm.

Greșeli frecvente

• Aduni laturile în loc de pătrate. Greșit: $BC=6+8=14$. Corect: $BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$. În general, $\sqrt{a^2+b^2}\ne a+b$.
• Aduni pătratele când cauți o catetă. Pentru catetă se scade: $A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2$. Dacă îți iese o catetă mai lungă decât ipotenuza, ai adunat în loc să scazi.
• Alegi greșit ipotenuza. Ipotenuza este latura opusă unghiului drept: în triunghiul dreptunghic în $B$, ipotenuza este $AC$, nu $BC$.
• Uiți radicalul la final. Din $B{C}^2=100$ rezultă $BC=10$, nu $BC=100$.
• Aplici reciproca pe laturi luate la întâmplare. Compară mereu pătratul celei mai lungi laturi cu suma pătratelor celorlalte două.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișă de lucru printabilă, cu răspunsuri: teorema lui Pitagora — clasa a 7-a; apoi relații metrice și trigonometrie.
• Itemi din subiectele oficiale: Pitagora și relații metrice la Evaluarea Națională. De exemplu, EN 2025 (subiect de rezervă), Subiectul al II-lea, itemul 10 — latura unui paralelogram dintr-un triunghi dreptunghic isoscel — și Simulare EN 2025, Subiectul al III-lea, problema 5 — ipotenuza din catetele de 9 cm și 12 cm.
• Verifică-ți rezultatele cu calculatorul pentru teorema lui Pitagora.
• Tot pentru clasa a 7-a: radicali și raționalizare, teorema înălțimii și a catetei, teorema lui Thales, ecuații de gradul 1.

Întrebări frecvente

Cum se aplică teorema lui Pitagora? Verifici că triunghiul este dreptunghic, identifici ipotenuza (latura opusă unghiului drept), scrii relația „ipotenuza la pătrat = suma pătratelor catetelor”, înlocuiești lungimile cunoscute și, la final, extragi radicalul.

Când se folosește reciproca teoremei lui Pitagora? Când cunoști toate cele trei laturi și trebuie să arăți că triunghiul este dreptunghic: dacă pătratul laturii celei mai lungi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic.

Ce sunt numerele pitagorice? Sunt triplete de numere naturale care verifică $a^2+b^2=c^2$, de exemplu 3, 4, 5 sau 5, 12, 13. Dacă le recunoști, eviți calcule lungi.

Se poate aplica teorema lui Pitagora într-un triunghi oarecare? Nu direct. Duci o înălțime și obții două triunghiuri dreptunghice, în care aplici teorema separat, ca la triunghiul echilateral sau la trapezul isoscel de mai sus.