Derivate — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 11-a)

Derivata unei funcții într-un punct măsoară cât de repede se schimbă funcția acolo și este panta tangentei la grafic: $f^{\prime }(x_0)$ $=\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$. În practică derivezi cu tabelul de derivate și cu regulile de calcul (sumă, produs, cât, funcție compusă). Mai jos ai 10 exerciții rezolvate, de la derivate simple la probleme de tip Bacalaureat.

Ce trebuie să știi

$$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime },(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime },{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$ $$(f\circ u{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$$

• Derivate de bază: $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, $(\sqrt{x}{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$, $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, $(\ln x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$, $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$.
• Ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.
• Dacă $f^{\prime }>0$ pe un interval, $f$ este strict crescătoare acolo; dacă $f^{\prime }<0$, este strict descrescătoare.
• Punctele de extrem se caută printre rădăcinile lui $f^{\prime }$ în care $f^{\prime }$ își schimbă semnul.
• Tabelul complet: formule și tabel de derivate; aplicații: studiul funcțiilor cu derivate, ecuația tangentei.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

1. Calculează derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+5x-2$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Derivăm termen cu termen: $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$, $(3x^2{)}^{\prime }=6x$, $(5x{)}^{\prime }=5$, $(2{)}^{\prime }=0$.
2. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+5$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+5$.

2. Calculează derivata funcției $f(x)=x{e}^x$, $x\in \mathbb{R}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Regula produsului cu $u=x$, $v=e^x$: $f^{\prime }(x)=(x{)}^{\prime }{e}^x+x(e^x{)}^{\prime }$.
2. $f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)=(x+1)e^x$.

3. Calculează derivata funcției $f:(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Regula câtului cu $u=\ln x$, $v=x$: $f^{\prime }(x)$ $={\displaystyle \frac{(\ln x{)}^{\prime }\cdot x-\ln x\cdot (x{)}^{\prime }}{x^2}}$.
2. $f^{\prime }(x)$ $={\displaystyle \frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}}$ $={\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$.

Nivel mediu

4. Calculează derivata funcției $f(x)=\sqrt{x^2+1}$, $x\in \mathbb{R}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Funcție compusă: $f=\sqrt{u}$ cu $u=x^2+1$, deci $f^{\prime }={\displaystyle \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}}$.
2. $u^{\prime }=2x$, deci $f^{\prime }(x)$ $={\displaystyle \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}$ $={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}$.

5. Calculează derivata funcției $f(x)=\sin 2x+{\cos }^{2}x$, $x\in \mathbb{R}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $(\sin 2x{)}^{\prime }$ $=\cos 2x\cdot (2x{)}^{\prime }$ $=2\cos 2x$.
2. $({\cos }^{2}x{)}^{\prime }$ $=2\cos x\cdot (\cos x{)}^{\prime }$ $=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$.
3. Adunăm: $f^{\prime }(x)=2\cos 2x-\sin 2x$.

Răspuns: $f^{\prime }(x)=2\cos 2x-\sin 2x$.

6. Folosind definiția, calculează $f^{\prime }(3)$ pentru $f(x)=x^2$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $f^{\prime }(3)$ $=\underset{x\to 3}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(3)}{x-3}}$ $=\underset{x\to 3}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-9}{x-3}}$.
2. Descompunem: ${\displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}}$ $=x+3$ pentru $x\ne 3$.
3. $\underset{x\to 3}{lim}(x+3)=6$. Rezultatul coincide cu $(x^2{)}^{\prime }=2x$ în $x=3$.

Răspuns: $f^{\prime }(3)=6$.

7. Scrie ecuația tangentei la graficul funcției $f(x)=x^2-4x+1$ în punctul de abscisă $x_0=3$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $f(3)=9-12+1=-2$.
2. $f^{\prime }(x)=2x-4$, deci panta tangentei este $f^{\prime }(3)=2$.
3. $y-f(3)=f^{\prime }(3)(x-3)$ $\Rightarrow y+2=2(x-3)$ $\Rightarrow y=2x-8$.

Răspuns: $y=2x-8$.

Nivel greu (tip Bacalaureat)

8. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+2$. Determină intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$; $f^{\prime }(x)=0$ $\iff x\in \{-1,1\}$.
2. Semnul lui $f^{\prime }$: pozitiv pe $(-\mathrm{\infty },-1)$, negativ pe $(-1,1)$, pozitiv pe $(1,\mathrm{\infty })$.
3. Deci $f$ este crescătoare pe $(-\mathrm{\infty },-1]$, descrescătoare pe $[-1,1]$ și crescătoare pe $[1,\mathrm{\infty })$.
4. $x=-1$ este punct de maxim local, $f(-1)=-1+3+2=4$; $x=1$ este punct de minim local, $f(1)=1-3+2=0$.

Răspuns: maxim local în $x=-1$ (valoarea 4), minim local în $x=1$ (valoarea 0).

9. Fie $f:(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln x$. Arată că $f(x)\ge 1$ pentru orice $x>0$ și deduce că $\ln x\le x-1$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $f^{\prime }(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ $={\displaystyle \frac{x-1}{x}}$. Pe $(0,\mathrm{\infty })$ numitorul e pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x-1$.
2. $f^{\prime }<0$ pe $(0,1)$ și $f^{\prime }>0$ pe $(1,\mathrm{\infty })$: $f$ descrește, apoi crește, deci are minim global în $x=1$.
3. $f(1)=1-\ln 1=1$, deci $f(x)\ge 1$, adică $x-\ln x\ge 1$ $\iff \ln x\le x-1$, cu egalitate doar pentru $x=1$.

Răspuns: minimul lui $f$ este $f(1)=1$, de unde $\ln x\le x-1$ pentru orice $x>0$.

10. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-x$. Determină punctul graficului în care tangenta este paralelă cu dreapta $y=x$ și scrie ecuația acestei tangente.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Drepte paralele au aceeași pantă, deci căutăm $x_0$ cu $f^{\prime }(x_0)=1$.
2. $f^{\prime }(x)=e^x-1=1$ $\Rightarrow e^x=2$ $\Rightarrow x_0=\ln 2$; $f(\ln 2)=2-\ln 2$.
3. $y-(2-\ln 2)$ $=1\cdot (x-\ln 2)$ $\Rightarrow y=x+2-2\ln 2$.

Răspuns: punctul $(\ln 2,2-\ln 2)$; tangenta $y=x+2-2\ln 2$.

Greșeli frecvente

• $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }{v}^{\prime }$ — greșit. Corect: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. De exemplu $(x{e}^x{)}^{\prime }=(x+1)e^x$, nu $e^x$.
• Ordinea la regula câtului. Numărătorul este $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$ (întâi derivata de sus); inversarea termenilor schimbă semnul rezultatului.
• Uiți derivata funcției din interior. $(\sin 2x{)}^{\prime }=2\cos 2x$, nu $\cos 2x$; $(e^{3x}{)}^{\prime }=3e^{3x}$.
• Orice rădăcină a lui $f^{\prime }$ e punct de extrem — greșit. Pentru $f(x)=x^3$, $f^{\prime }(0)=0$, dar $f^{\prime }$ nu își schimbă semnul, deci 0 nu este punct de extrem.
• În ecuația tangentei pui $f^{\prime }(x_0)$ în loc de $f(x_0)$. Punctul de tangență are ordonata $f(x_0)$, iar panta este $f^{\prime }(x_0)$.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișe de lucru printabile: derivate, ecuația tangentei, monotonie și puncte de extrem.
• Subiecte de Bac pe capitol: derivate la Bacalaureat, rezolvate. De exemplu, Bac 2025 M1, Subiectul al III-lea, ex. 1 (derivata, asimptota oblică și bijectivitatea) și Bac 2024 M1, Subiectul al III-lea, ex. 1 (derivata și numărul de soluții ale unei ecuații).
• Verifică derivatele cu calculatorul de derivate.

Întrebări frecvente

Ce este derivata unei funcții? Este limita raportului ${\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$ când $x\to x_0$. Geometric, $f^{\prime }(x_0)$ este panta tangentei la grafic în punctul de abscisă $x_0$.

Cum se scrie ecuația tangentei la grafic? Calculezi $f(x_0)$ și $f^{\prime }(x_0)$, apoi scrii $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.

Cum aflu punctele de extrem ale unei funcții? Rezolvi $f^{\prime }(x)=0$, faci tabelul de semn al lui $f^{\prime }$ și păstrezi doar punctele în care derivata își schimbă semnul: din + în − este maxim, din − în + este minim.

Cum se derivează o funcție compusă? Derivezi funcția „din exterior” păstrând interiorul, apoi înmulțești cu derivata interiorului: $(f(u){)}^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }$. De exemplu $(\ln (x^2+1){)}^{\prime }$ $={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$.