Limite de funcții — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 11-a)

Calculul unei limite de funcție începe mereu prin înlocuirea directă; dacă obții un caz exceptat ($\frac{0}{0}$, $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, $1^{\mathrm{\infty }}$ etc.), transformi expresia: descompui și simplifici, dai factor forțat puterea cea mai mare, amplifici cu conjugatul sau folosești limitele remarcabile. Tot cu limite se găsesc asimptotele graficului.

Ce trebuie să știi

$$\begin{array}{rlrlrl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}& =1,& \underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tg}x}{x}& =1,& \underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}& =1,\\ \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}& =1,& \underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}& =e,& \underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x-1}{x}& =\ln a\end{array}$$

• Cazul $\frac{0}{0}$ la funcții raționale: descompui numărătorul și numitorul în factori și simplifici factorul $(x-a)$.
• Cazul $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ la $\pm \mathrm{\infty }$: dai factor forțat puterea cea mai mare a lui $x$. La grade egale, limita este raportul coeficienților dominanți.
• Cazul $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ cu radicali: amplifici cu conjugatul; atenție, $\sqrt{x^2}=|x|$, deci la $-\mathrm{\infty }$ devine $-x$.
• Limitele remarcabile se folosesc „compus”: $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 5x}{5x}=1$, pentru că $5x\to 0$.
• Asimptote: verticală $x=a$ dacă o limită laterală în $a$ este $\pm \mathrm{\infty }$; orizontală $y=\ell$ dacă $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\ell$ finit; oblică $y=mx+n$ cu $m=lim\frac{f(x)}{x}\ne 0$ finit și $n=lim(f(x)-mx)$ finit.

Toate formulele, cu exemple: limite de funcții și limite remarcabile · asimptote · formule matematică clasa a 11-a.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Calculează $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-4}{x-2}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Înlocuind $x=2$ obții $\frac{0}{0}$, caz exceptat.
2. Descompui: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Pentru $x\ne 2$, $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$.
3. $\underset{x\to 2}{lim}(x+2)=4$.

Răspuns: 4

Exercițiul 2. Calculează $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Caz $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. Dai factor forțat $x^2$ sus și jos:
2. $\frac{x^2(3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})}{x^2(2+\frac{5}{x^2})}=\frac{3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x^2}}$.
3. Fracțiile cu $x$ la numitor tind la 0, deci limita este $\frac{3}{2}$ (raportul coeficienților dominanți, gradele fiind egale).

Răspuns: $\frac{3}{2}$

Exercițiul 3. Calculează $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 5x}{x}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Caz $\frac{0}{0}$. Ca să folosești limita remarcabilă, la numitor trebuie să apară $5x$.
2. $\frac{\sin 5x}{x}=\frac{\sin 5x}{5x}\cdot 5$.
3. Când $x\to 0$, $5x\to 0$, deci $\frac{\sin 5x}{5x}\to 1$, iar limita este $1\cdot 5=5$.

Răspuns: 5

Nivel mediu

Exercițiul 4. Calculează $\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Pentru $x=1$: numărătorul $1-3+2=0$, numitorul $0$, deci caz $\frac{0}{0}$: ambele se divid cu $x-1$.
2. $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ și $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
3. Simplifici: $\underset{x\to 1}{lim}\frac{x-2}{x+1}=\frac{-1}{2}$.

Răspuns: $-\frac{1}{2}$

Exercițiul 5. Calculează $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x^2+4x}-x)$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Caz $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$. Amplifici cu conjugatul $\sqrt{x^2+4x}+x$:
2. $$\sqrt{x^2+4x}-x=\frac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}$$
3. Pentru $x>0$, $\sqrt{x^2+4x}=x\sqrt{1+\frac{4}{x}}$, deci expresia este $$\frac{4x}{x(\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1)}=\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}$$
4. Limita este $\frac{4}{1+1}=2$.

Răspuns: 2

Exercițiul 6. Calculează $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{3x}-1}{\ln (1+2x)}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Caz $\frac{0}{0}$. Pregătești cele două limite remarcabile, cu $3x\to 0$ și $2x\to 0$:
2. $\frac{e^{3x}-1}{\ln (1+2x)}=\frac{e^{3x}-1}{3x}\cdot \frac{2x}{\ln (1+2x)}\cdot \frac{3x}{2x}$.
3. Primele două fracții tind la 1, iar $\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$.

Răspuns: $\frac{3}{2}$

Exercițiul 7. Calculează $\underset{x\to 4}{lim}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Caz $\frac{0}{0}$. Scrii $x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$ (sau amplifici cu conjugatul $\sqrt{x}+2$).
2. Pentru $x\ne 4$: $\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}$.
3. $\underset{x\to 4}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$.

Răspuns: $\frac{1}{4}$

Nivel greu (tip Bacalaureat)

Exercițiul 8. Calculează $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^x$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Baza tinde la 1, exponentul la $+\mathrm{\infty }$: caz $1^{\mathrm{\infty }}$. Scrii baza ca „1 + ceva care tinde la 0”: $\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$.
2. Notezi $t=\frac{2}{x-1}\to 0$ și formezi limita remarcabilă $(1+t{)}^{\frac{1}{t}}\to e$:
3. $${(1+\frac{2}{x-1})}^x={\left[{(1+\frac{2}{x-1})}^{\frac{x-1}{2}}\right]}^{\frac{2x}{x-1}}$$
4. Paranteza dreaptă tinde la $e$, iar exponentul $\frac{2x}{x-1}\to 2$.

Răspuns: $e^2$

Exercițiul 9. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$. Determină asimptotele graficului funcției $f$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Verticală: în $x=1$ numărătorul este 2, iar numitorul tinde la 0. $\underset{x\nearrow 1}{lim}f(x)=\frac{2}{0^{-}}=-\mathrm{\infty }$, $\underset{x\searrow 1}{lim}f(x)=\frac{2}{0^{+}}=+\mathrm{\infty }$, deci dreapta $x=1$ este asimptotă verticală.
2. Orizontală: $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ (gradul numărătorului e mai mare), deci nu există asimptotă orizontală.
3. Oblică: calculezi panta $$m=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+1}{x^2-x}=1$$
4. și ordonata la origine $$\begin{array}{rl}n& =\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-x)\\ & =\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+1-x^2+x}{x-1}\\ & =\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+1}{x-1}=1\end{array}$$
5. Dreapta $y=x+1$ este asimptotă oblică spre $+\mathrm{\infty }$ și spre $-\mathrm{\infty }$.

Răspuns: asimptotă verticală $x=1$; asimptotă oblică $y=x+1$ (la $\pm \mathrm{\infty }$); nu are asimptotă orizontală

Exercițiul 10. Determină numărul real $a$ pentru care $\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2+ax-3}{x-1}$ există și este finită, apoi calculează limita.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Numitorul tinde la 0. Dacă numărătorul ar tinde la un număr nenul, limitele laterale ar fi infinite, deci limita nu ar fi finită. Deci numărătorul trebuie să se anuleze în 1: $1+a-3=0$, adică $a=2$.
2. Pentru $a=2$: $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$.
3. $$\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x-1)(x+3)}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}(x+3)=4$$

Răspuns: $a=2$, iar limita este 4

Greșeli frecvente

• Scrii $\frac{0}{0}=0$, $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }=0$ sau $1^{\mathrm{\infty }}=1$: acestea sunt cazuri exceptate, rezultatul depinde de funcție (în exercițiul 8, cazul $1^{\mathrm{\infty }}$ dă $e^2$).
• Uiți semnul la $-\mathrm{\infty }$ când scoți $x$ de sub radical: $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ pentru $x<0$. De exemplu, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{x^2+4x}+x)=-2$, nu 2.
• Aplici limita remarcabilă fără să „potrivești” argumentul: $\frac{\sin 5x}{x}$ nu tinde la 1; trebuie scris $\frac{\sin 5x}{5x}\cdot 5$ (exercițiul 3).
• Declari asimptotă verticală fără limitele laterale: $x=a$ este asimptotă verticală doar dacă cel puțin o limită laterală în $a$ este $\pm \mathrm{\infty }$; un numitor nul nu e suficient (în exercițiul 1, $x=2$ nu e asimptotă).
• Cauți asimptota oblică acolo unde există orizontală: dacă $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ este finită, spre $+\mathrm{\infty }$ graficul are asimptotă orizontală și nu poate avea și oblică.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișă de lucru: limite de funcții, clasa a 11-a și fișa cu continuitate și asimptote (printabile, cu răspunsuri).
• Calculator de limite și calculator de asimptote, ca să-ți verifici rezultatele.
• La Bacalaureat, limitele apar la Subiectul al III-lea, problema 1: de exemplu Bac 2024 M1, Subiectul III, ex. 1 b), o limită $\frac{0}{0}$ în 0 care se poate rezolva și fără derivate, scriind numărătorul ca $(e^x-1)(2x-4)+x^2$ și folosind $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$. Toate cerințele, pe ani: limite la Bac, subiecte rezolvate.
• După capitolul de derivate vei putea rezolva multe cazuri $\frac{0}{0}$ și $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ și cu regula lui l’Hôpital: fișa Fermat, Rolle, Lagrange, l’Hôpital.

Întrebări frecvente

Ce sunt limitele remarcabile? Sunt limite de bază, într-un caz exceptat, pe care le folosești ca reguli: $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$, $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$, $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$, $\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$. Rămân valabile dacă în locul lui $x$ pui o expresie care tinde la 0.

Cum se rezolvă nedeterminarea 0/0? La funcții raționale descompui în factori și simplifici factorul care se anulează; la radicali amplifici cu conjugatul; la funcții trigonometrice, exponențiale sau logaritmice aduci expresia la o limită remarcabilă.

Cum se calculează limita la infinit a unei funcții raționale? Dai factor forțat puterea cea mai mare a lui $x$: dacă gradul numărătorului e mai mic, limita e 0; la grade egale, e raportul coeficienților dominanți; dacă e mai mare, limita e $\pm \mathrm{\infty }$.

Cum afli asimptotele unei funcții? Verticale: în punctele unde funcția nu e definită (capetele domeniului) calculezi limitele laterale și cauți $\pm \mathrm{\infty }$. Orizontale: $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ finită. Oblice: $m=lim\frac{f(x)}{x}$ și $n=lim(f(x)-mx)$, ambele finite, cu $m\ne 0$.