Formule de calcul prescurtat exerciții rezolvate clasa a 8-a

Q: Care sunt formulele de calcul prescurtat din clasa a 8-a?

Pătratul sumei (a + b)² = a² + 2ab + b² , pătratul diferenței (a - b)² = a² - 2ab + b² și produsul sumei cu diferența (a - b)(a + b) = a² - b² .

Q: Cum se descompune o diferență de pătrate?

Scrii fiecare termen ca pătrat și aplici a² - b² = (a - b)(a + b) ; de exemplu 9x² - 16 = (3x - 4)(3x + 4) .

Q: Cum recunosc pătratul unui binom?

Expresia are trei termeni: doi sunt pătrate ( a² și b² ), iar al treilea este ± 2ab . Exemplu: x² - 6x + 9 = (x - 3)² , pentru că 6x = 2 · x · 3 .

Q: Cum calculez rapid 99 la pătrat?

Scrii 99 = 100 - 1 : 99² = 100² - 2 · 100 + 1 = 9801 .

Formulele de calcul prescurtat permit ridicarea la pătrat a unui binom și înmulțirea unei sume cu o diferență fără a desface fiecare paranteză. Cele mai folosite sunt $(a \pm b)^{2}$ $= a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ și $(a - b) (a + b)$ $= a^{2} - b^{2}$ ; citite invers, ele servesc la descompunerea în factori.

Ce trebuie să știi

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Pătratul unui binom are trei termeni: nu uita termenul din mijloc $2 a b$ .
Când $a$ este un produs, ridică la pătrat tot produsul: $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ .
Citite de la dreapta la stânga, formulele descompun în factori: $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ , $4 x^{2} - 25$ $= (2 x - 5) (2 x + 5)$ .
Înainte de formule, scoate factorul comun: $x^{3} - 4 x$ $= x (x^{2} - 4)$ $= x (x - 2) (x + 2)$ .
Un minus în fața unui produs se aplică după ce calculezi produsul: $- (x - 1) (x + 1)$ $= - (x^{2} - 1)$ $= - x^{2} + 1$ .

Lista completă, cu cub și trinom: formule de calcul prescurtat; pentru expresii cu radicali vezi și radicali.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Calculează $(x + 5)^{2}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Aplicăm $(a + b)^{2}$ $= a^{2} + 2 a b + b^{2}$ cu $a = x$ , $b = 5$ .
$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}$ $= x^{2} + 10 x + 25$ .

Răspuns: $x^{2} + 10 x + 25$ .

Exercițiul 2. Calculează $(2 a - 3)^{2}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Formula $(u - v)^{2}$ $= u^{2} - 2 u v + v^{2}$ , cu $u = 2 a$ , $v = 3$ .
$(2 a)^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot 3 + 3^{2}$ $= 4 a^{2} - 12 a + 9$ .

Răspuns: $4 a^{2} - 12 a + 9$ .

Exercițiul 3. Calculează $(3 x - 4) (3 x + 4)$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Este produsul dintre diferența și suma acelorași termeni: $(a - b) (a + b)$ $= a^{2} - b^{2}$ , cu $a = 3 x$ , $b = 4$ .
$(3 x)^{2} - 4^{2} = 9 x^{2} - 16$ .

Răspuns: $9 x^{2} - 16$ .

Nivel mediu

Exercițiul 4. Arată că numărul $n$ $= (\sqrt{3} + 1)^{2} + (\sqrt{3} - 1)^{2}$ este natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas

$(\sqrt{3} + 1)^{2}$ $= 3 + 2 \sqrt{3} + 1$ $= 4 + 2 \sqrt{3}$ .
$(\sqrt{3} - 1)^{2}$ $= 3 - 2 \sqrt{3} + 1$ $= 4 - 2 \sqrt{3}$ .
$n$ $= 4 + 2 \sqrt{3} + 4 - 2 \sqrt{3}$ $= 8 \in N$ .

Răspuns: $n = 8$ .

Exercițiul 5. Calculează rapid, fără calculator: a) $101^{2} - 99^{2}$ ; b) $49 \cdot 51$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

a) Diferență de pătrate: $101^{2} - 99^{2}$ $= (101 - 99) (101 + 99)$ $= 2 \cdot 200$ $= 400$ .
b) $49 \cdot 51$ $= (50 - 1) (50 + 1)$ $= 50^{2} - 1^{2}$ $= 2500 - 1$ $= 2499$ .

Răspuns: a) 400; b) 2499.

Exercițiul 6. Descompune în factori: a) $x^{2} - 6 x + 9$ ; b) $4 x^{2} - 25$ ; c) $x^{3} - 4 x$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

a) $x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}$ $= (x - 3)^{2}$ (pătratul unei diferențe).
b) $(2 x)^{2} - 5^{2}$ $= (2 x - 5) (2 x + 5)$ (diferență de pătrate).
c) Factor comun $x$ : $x (x^{2} - 4)$ $= x (x - 2) (x + 2)$ .

Răspuns: a) $(x - 3)^{2}$ ; b) $(2 x - 5) (2 x + 5)$ ; c) $x (x - 2) (x + 2)$ .

Exercițiul 7. Arată că expresia $E (x)$ $= (x + 2)^{2} - (x - 1) (x + 1) - 4 x$ nu depinde de $x$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

$(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ și $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ .
$E (x)$ $= x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} - 1) - 4 x$ $= x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} + 1 - 4 x$ .
Termenii cu $x$ se reduc: $E (x) = 5$ , pentru orice $x \in R$ .

Răspuns: $E (x) = 5$ , constant.

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

Exercițiul 8. Se consideră expresia $E (x)$ $= (x + 1)^{2} + (x - 2)^{2}$ $- 2 (x + 1) (x - 2)$ , unde $x$ este număr real.
a) Arată că $E (x) = 9$ , pentru orice număr real $x$ .
b) Calculează $E (2027) - E (- 2027)$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

a) Observăm forma $a^{2} + b^{2} - 2 a b$ $= (a - b)^{2}$ , cu $a = x + 1$ , $b = x - 2$ .
$E (x)$ $= ((x + 1) - (x - 2))^{2}$ $= 3^{2}$ $= 9$ .
Verificare prin desfacere: $x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 4 x$ $+ 4 - 2 (x^{2} - x - 2)$ $= 9$ .
b) Expresia este constantă, deci $E (2027) - E (- 2027)$ $= 9 - 9$ $= 0$ .

Răspuns: a) $E (x) = 9$ ; b) $0$ .

Exercițiul 9. Arată că numărul $N$ $= (2 \sqrt{3} - 1)^{2} + 4 \sqrt{3}$ $+ 3 (\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2)$ este pătratul unui număr natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas

$(2 \sqrt{3} - 1)^{2}$ $= (2 \sqrt{3})^{2}$ $- 2 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 1 + 1$ $= 12 - 4 \sqrt{3} + 1$ $= 13 - 4 \sqrt{3}$ .
$(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2)$ $= 5 - 4$ $= 1$ .
$N$ $= 13 - 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} + 3 \cdot 1$ $= 16$ $= 4^{2}$ .

Răspuns: $N = 16 = 4^{2}$ .

Exercițiul 10. Numărul real nenul $x$ verifică $x + \frac{1}{x} = 4$ . Calculează $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ și ${(x - \frac{1}{x})}^{2}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Ridicăm la pătrat: ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ $= x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$ $+ \frac{1}{x^{2}}$ $= x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}$ .
$16$ $= x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$ $\Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ $= 14$ .
${(x - \frac{1}{x})}^{2}$ $= x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}}$ $= 14 - 2$ $= 12$ .

Răspuns: $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 14$ și ${(x - \frac{1}{x})}^{2}$ $= 12$ .

Greșeli frecvente

Lipsa termenului din mijloc. $(a + b)^{2} \neq a^{2} + b^{2}$ . Corect: $(x + 5)^{2}$ $= x^{2} + 10 x + 25$ .
Coeficientul neridicat la pătrat. $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ , nu $2 x^{2}$ ; la fel $(2 \sqrt{3})^{2} = 12$ .
Semnul termenului din mijloc. La $(a - b)^{2}$ termenul din mijloc este $- 2 a b$ , iar ultimul termen este mereu $+ b^{2}$ .
Minusul din fața produsului. $- (x - 1) (x + 1)$ $= - x^{2} + 1$ , nu $- x^{2} - 1$ : calculează produsul în paranteză, apoi schimbă semnele.
Diferența de pătrate cu plus. $(a - b) (a + b)$ $= a^{2} - b^{2}$ , nu $a^{2} + b^{2}$ ; iar $a^{2} + b^{2}$ nu se descompune în $R$ .

Verifică-te

Verifică-te: 5 întrebări

Cât este $(x + 4)^{2}$ ?

$x^{2} + 16$
$x^{2} + 8 x + 16$
$x^{2} + 4 x + 16$

Cât este $(3 - y) (3 + y)$ ?

$9 - y^{2}$
$9 + y^{2}$
$9 - 6 y + y^{2}$

Descompune $4 x^{2} - 12 x + 9$ .

$(4 x - 3)^{2}$
$(2 x - 3) (2 x + 3)$
$(2 x - 3)^{2}$

Cât este $(\sqrt{5} - 1)^{2}$ ?

$4$
$6 - 2 \sqrt{5}$
$6 - \sqrt{5}$

Dacă $a + b = 5$ și $a b = 6$ , cât este $a^{2} + b^{2}$ ?

$13$
$25$
$19$

Exersează mai departe

Fișă de lucru: formule de calcul prescurtat, clasa a 8-a și fișa cu rapoarte algebrice (printabile, cu răspunsuri).
Calcul algebric și expresii E(x) la Evaluarea Națională — probleme rezolvate; de exemplu Simulare EN 2024, Subiectul al III-lea, problema 2 (expresie cu $(2 x + 3)^{2}$ și $(x - 2) (x + 2)$ ) și EN 2024, Subiectul al III-lea, problema 2 (descompunere și simplificare).
Calculator radicali, pentru verificarea calculelor cu $\sqrt{}$ .

Întrebări frecvente

Care sunt formulele de calcul prescurtat din clasa a 8-a? Pătratul sumei $(a + b)^{2}$ $= a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , pătratul diferenței $(a - b)^{2}$ $= a^{2} - 2 a b + b^{2}$ și produsul sumei cu diferența $(a - b) (a + b)$ $= a^{2} - b^{2}$ .

Cum se descompune o diferență de pătrate? Scrii fiecare termen ca pătrat și aplici $a^{2} - b^{2}$ $= (a - b) (a + b)$ ; de exemplu $9 x^{2} - 16$ $= (3 x - 4) (3 x + 4)$ .

Cum recunosc pătratul unui binom? Expresia are trei termeni: doi sunt pătrate ( $a^{2}$ și $b^{2}$ ), iar al treilea este $\pm 2 a b$ . Exemplu: $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ , pentru că $6 x = 2 \cdot x \cdot 3$ .

Cum calculez rapid 99 la pătrat? Scrii $99 = 100 - 1$ : $99^{2}$ $= 100^{2} - 2 \cdot 100 + 1$ $= 9801$ .

Formule de calcul prescurtat — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 8-a)

Ce trebuie să știi

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Nivel mediu

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

Greșeli frecvente

Verifică-te

Exersează mai departe

Întrebări frecvente

Formule conexe