Matrice și determinanți — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 11-a)

O matrice este un tablou de numere cu linii și coloane, iar determinantul este un număr asociat unei matrice pătratice. Regula cheie: o matrice pătratică $A$ este inversabilă exact când $detA\ne 0$, iar atunci $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{detA}}{A}^{\ast }$. Mai jos ai 10 exerciții rezolvate, de la operații simple până la probleme de tip Bacalaureat.

Ce trebuie să știi

Determinantul de ordinul 2 și 3 (regula lui Sarrus):

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$ $$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& =a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}\\ & -a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}\end{array}$$

• Adunarea și înmulțirea cu un număr se fac element cu element.
• Produsul $AB$ există doar dacă numărul de coloane al lui $A$ este egal cu numărul de linii al lui $B$; elementul de pe linia $i$, coloana $j$ este „linia $i$ din $A$ înmulțită cu coloana $j$ din $B$”. În general $AB\ne BA$.
• Pentru matrice pătratice de ordin $n$: $det(AB)=detA\cdot detB$ și $det(kA)=k^{n}detA$.
• Pentru $A$ $=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ cu $detA\ne 0$: $A^{-1}$ $={\displaystyle \frac{1}{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.
• Ecuații matriceale: $AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B$; $XA=B\Rightarrow X=B{A}^{-1}$.
• Teorie completă: determinanți și matrice inversabilă.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

1. Fie $A$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B$ $=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$. Calculează $2A-B$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $2A$ $=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right)$ (fiecare element se înmulțește cu 2).
2. $2A-B$ $=\left(\begin{array}{cc}2-2& 4-0\\ 6-1& 8-(-1)\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 5& 9\end{array}\right)$.

Răspuns: $2A-B$ $=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 5& 9\end{array}\right)$.

2. Pentru matricele $A$ și $B$ de la exercițiul 1, calculează $AB$ și $BA$. Sunt egale?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $AB$ $=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+2\cdot 1& 1\cdot 0+2\cdot (-1)\\ 3\cdot 2+4\cdot 1& 3\cdot 0+4\cdot (-1)\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 10& -4\end{array}\right)$.
2. $BA$ $=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 1+0\cdot 3& 2\cdot 2+0\cdot 4\\ 1\cdot 1+(-1)\cdot 3& 1\cdot 2+(-1)\cdot 4\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -2& -2\end{array}\right)$.
3. Elementele diferă, deci $AB\ne BA$: înmulțirea matricelor nu este comutativă.

Răspuns: $AB$ $=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 10& -4\end{array}\right)$, $BA$ $=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -2& -2\end{array}\right)$, $AB\ne BA$.

3. Calculează determinantul $\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 5& 4\end{array}\right|$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare: $3\cdot 4-(-2)\cdot 5$.
2. $=12+10=22$.

Răspuns: 22.

Nivel mediu

4. Calculează determinantul $D$ $=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& -1& 2\\ 1& 0& 4\end{array}\right|$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Termenii cu plus (diagonala principală și „paralelele” ei): $1\cdot (-1)\cdot 4+2\cdot 2\cdot 1+0\cdot 3\cdot 0$ $=-4+4+0=0$.
2. Termenii cu minus (diagonala secundară și „paralelele” ei): $0\cdot (-1)\cdot 1+1\cdot 2\cdot 0+2\cdot 3\cdot 4$ $=0+0+24=24$.
3. $D=0-24=-24$.

Răspuns: $D=-24$.

5. Determină numerele reale $x$ pentru care $\left|\begin{array}{cc}x& 2\\ 3& x-1\end{array}\right|$ $=0$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $x(x-1)-2\cdot 3=0$ $\Rightarrow x^2-x-6=0$.
2. $\mathrm{\Delta }=1+24=25$, deci $x_{1,2}={\displaystyle \frac{1\pm 5}{2}}$.

Răspuns: $x\in \{-2,3\}$.

6. Arată că matricea $A$ $=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right)$ este inversabilă și calculează $A^{-1}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $detA=2\cdot 3-1\cdot 5$ $=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă.
2. Pentru ordin 2 schimbi elementele de pe diagonala principală și schimbi semnul celor de pe diagonala secundară: $A^{-1}$ $={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right)$.
3. Verificare: $A\cdot A^{-1}$ $=\left(\begin{array}{cc}6-5& -2+2\\ 15-15& -5+6\end{array}\right)$ $=I_2$.

Răspuns: $A^{-1}$ $=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right)$.

7. Fie $A$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Calculează $A^2$, $A^3$ și deduce $A^n$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $A^2$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A^3=A^2\cdot A$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$.
2. Presupunem $A^n$ $=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$. Atunci $A^{n+1}=A^n\cdot A$ $=\left(\begin{array}{cc}1& n+1\\ 0& 1\end{array}\right)$, deci formula se păstrează (inducție matematică).

Răspuns: $A^n$ $=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Nivel greu (tip Bacalaureat)

8. Rezolvă ecuația matriceală $A\cdot X=B$, unde $A$ $=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right)$ și $B$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $detA=1\ne 0$, deci $A$ e inversabilă și $A^{-1}$ $=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right)$ (exercițiul 6).
2. Înmulțim la stânga cu $A^{-1}$: $X=A^{-1}B$ (ordinea contează).
3. $X$ $=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}3-2& 0-1\\ -5+4& 0+2\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$.
4. Verificare: $AX$ $=\left(\begin{array}{cc}2-1& -2+2\\ 5-3& -5+6\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$ $=B$.

Răspuns: $X$ $=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$.

9. Pentru fiecare număr real $a$ se consideră $A(a)$ $=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& a\end{array}\right)$.
a) Determină valorile lui $a$ pentru care $A(a)$ este inversabilă.
b) Arată că $A(a{)}^2$ $=2a\cdot A(a)-(a^2-1)I_2$.
c) Determină $a$ pentru care $A(a{)}^2=2A(a)$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) $detA(a)=a^2-1$. Matricea e inversabilă pentru $a^2-1\ne 0$, adică $a\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$.
2. b) $A(a{)}^2$ $=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+1& 2a\\ 2a& a^2+1\end{array}\right)$, iar $2aA(a)-(a^2-1)I_2$ $=\left(\begin{array}{cc}2a^2-a^2+1& 2a\\ 2a& 2a^2-a^2+1\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+1& 2a\\ 2a& a^2+1\end{array}\right)$. Cele două matrice coincid.
3. c) Egalăm elementele: $2a=2$ (în afara diagonalei) și $a^2+1=2a$ (pe diagonală). Din prima $a=1$, care verifică și a doua: $1+1=2$.

Răspuns: a) $a\ne \pm 1$; c) $a=1$.

10. Rezolvă cu regula lui Cramer sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2\end{array}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Determinantul sistemului: $\mathrm{\Delta }$ $=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right|$ $=(1+1+4)-(-1+2-2)$ $=6-(-1)=7\ne 0$, deci sistemul este compatibil determinat.
2. Înlocuim pe rând coloana necunoscutei cu coloana termenilor liberi: ${\mathrm{\Delta }}_x$ $=\left|\begin{array}{ccc}6& 1& 1\\ 3& -1& 1\\ 2& 2& -1\end{array}\right|$ $=7$, ${\mathrm{\Delta }}_y$ $=\left|\begin{array}{ccc}1& 6& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right|$ $=14$, ${\mathrm{\Delta }}_z$ $=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 6\\ 2& -1& 3\\ 1& 2& 2\end{array}\right|$ $=21$.
3. $x={\displaystyle \frac{{\mathrm{\Delta }}_x}{\mathrm{\Delta }}}=1$, $y={\displaystyle \frac{{\mathrm{\Delta }}_y}{\mathrm{\Delta }}}=2$, $z={\displaystyle \frac{{\mathrm{\Delta }}_z}{\mathrm{\Delta }}}=3$. Verificare în prima ecuație: $1+2+3=6$.

Răspuns: $(x,y,z)=(1,2,3)$.

Greșeli frecvente

• Presupui că $AB=BA$. Înmulțirea matricelor nu e comutativă (exercițiul 2), deci $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$, nu $A^2+2AB+B^2$.
• $det(2A)=2detA$ — greșit. Pentru matrice de ordin $n$, $det(kA)=k^{n}detA$; la ordin 2, $det(2A)=4detA$.
• Semnele la inversa de ordin 2. Elementele de pe diagonala principală se schimbă între ele, iar cele de pe diagonala secundară își schimbă doar semnul; nu uita împărțirea la $detA$.
• Ordinea la ecuațiile matriceale. Din $AX=B$ rezultă $X=A^{-1}B$, iar din $XA=B$ rezultă $X=B{A}^{-1}$; cele două rezultate diferă, în general.
• Regula lui Sarrus aplicată la ordin 2 sau 4. Sarrus funcționează doar pentru determinanți de ordinul 3.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișe de lucru printabile: matrice și determinanți, puteri de matrice și ecuații matriceale, sisteme de ecuații liniare.
• Subiecte de Bac pe capitol: matrice și determinanți la Bacalaureat, rezolvate. De exemplu, Bac 2025 M1, Subiectul al II-lea, ex. 1 (determinant, produs de matrice și ecuație matriceală) și Bac 2024 M1, Subiectul al II-lea, ex. 1.
• Verifică-ți calculele cu calculatorul de determinant și matrice inversă.

Întrebări frecvente

Cum se calculează un determinant de ordinul 3? Cel mai simplu, cu regula lui Sarrus: aduni produsele de pe diagonala principală și de pe cele două „paralele” ei, apoi scazi produsele de pe diagonala secundară și „paralelele” ei. Poți folosi și dezvoltarea după o linie sau coloană.

Când este o matrice inversabilă? O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este diferit de 0. Atunci $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{detA}}{A}^{\ast }$, unde $A^{\ast }$ este adjuncta.

Este înmulțirea matricelor comutativă? Nu. În general $AB\ne BA$; uneori nici nu există ambele produse, dacă matricele nu sunt pătratice de același ordin.

Cum se rezolvă o ecuație matriceală? Verifici că matricea coeficient este inversabilă, îi calculezi inversa și înmulțești pe partea corectă: $AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B$, $XA=B\Rightarrow X=B{A}^{-1}$. La final verifici prin înmulțire.