Radicali și raționalizare — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 7-a)

Calculul cu radicali din clasa a 7-a se sprijină pe câteva reguli: $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$, scoaterea factorilor de sub radical ($\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$) și raționalizarea numitorului, ${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{b}}{b}}$. Mai jos ai 10 exerciții rezolvate pas cu pas, de la simplificarea unui radical până la calcule de tip Evaluare Națională.

Ce trebuie să știi

• Scoaterea factorilor de sub radical: scrii numărul ca produs dintre cel mai mare pătrat perfect posibil și alt număr: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.
• Introducerea factorilor sub radical: $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$, pentru $a\ge 0$ — utilă când compari două numere.
• Adunare și scădere: se restrâng doar radicalii cu același număr sub radical: $5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$. Suma $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ nu se mai poate restrânge.
• Raționalizarea numitorului: amplifici fracția cu radicalul de la numitor, ca numitorul să devină număr rațional: ${\displaystyle \frac{a}{b\sqrt{c}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{c}}{b\cdot c}}$.
• Ce raționalizezi în clasa a 7-a: programa prevede numitori de forma $a\sqrt{b}$. Numitorii de forma $\sqrt{a}\pm \sqrt{b}$ (raționalizarea cu „conjugatul”) se lucrează în clasa a 8-a, după formulele de calcul prescurtat.

Toate regulile, cu exemple: radicali — formule și proprietăți. Poți verifica rezultatele cu calculatorul de radicali.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

1. Scoate factorii de sub radical: a) $\sqrt{72}$; b) $\sqrt{50}$; c) $\sqrt{180}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) Cel mai mare pătrat perfect care divide 72 este 36: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.
2. b) $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$.
3. c) $180=36\cdot 5$, deci $\sqrt{180}=6\sqrt{5}$.

Răspuns: $6\sqrt{2}$; $5\sqrt{2}$; $6\sqrt{5}$.

2. Compară numerele $a=3\sqrt{5}$ și $b=2\sqrt{11}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Introduci factorii sub radical: $a=\sqrt{3^2\cdot 5}=\sqrt{45}$ și $b=\sqrt{2^2\cdot 11}=\sqrt{44}$.
2. Dintre doi radicali, mai mare este cel cu numărul de sub radical mai mare: $45>44$.

Răspuns: $3\sqrt{5}>2\sqrt{11}$.

3. Raționalizează numitorii: a) ${\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}$; b) ${\displaystyle \frac{10}{\sqrt{5}}}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) Amplifici cu $\sqrt{3}$: ${\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}$.
2. b) Amplifici cu $\sqrt{5}$: ${\displaystyle \frac{10}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{10\sqrt{5}}{5}}=2\sqrt{5}$.

Răspuns: $2\sqrt{3}$; $2\sqrt{5}$.

Nivel mediu

4. Calculează $3\sqrt{12}-\sqrt{27}+\sqrt{75}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Scoți factorii: $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$.
2. Expresia devine $6\sqrt{3}-3\sqrt{3}+5\sqrt{3}$.
3. Radicalii sunt asemenea, deci aduni coeficienții: $(6-3+5)\sqrt{3}=8\sqrt{3}$.

Răspuns: $8\sqrt{3}$.

5. Raționalizează și simplifică: a) ${\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{6}}}$; b) ${\displaystyle \frac{14}{\sqrt{28}}}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) Amplifici doar cu $\sqrt{6}$ (nu cu $2\sqrt{6}$): ${\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{2\cdot 6}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$.
2. b) Simplifici întâi: $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$, deci ${\displaystyle \frac{14}{2\sqrt{7}}}={\displaystyle \frac{7}{\sqrt{7}}}$.
3. Apoi raționalizezi: ${\displaystyle \frac{7\sqrt{7}}{7}}=\sqrt{7}$.

Răspuns: ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$; $\sqrt{7}$.

6. Calculează ${\displaystyle \frac{6}{\sqrt{2}}}+\sqrt{18}-4\sqrt{2}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Raționalizezi: ${\displaystyle \frac{6}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{6\sqrt{2}}{2}}=3\sqrt{2}$.
2. Scoți factorii: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$.
3. $3\sqrt{2}+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

Răspuns: $2\sqrt{2}$.

7. Calculează $\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3})-2\sqrt{3}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Desfaci paranteza: $\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}+\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{12}+\sqrt{18}$.
2. Scoți factorii: $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.
3. $2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}=3\sqrt{2}$.

Răspuns: $3\sqrt{2}$.

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

8. Arată că numărul $a=({\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5}}}+\sqrt{20})\cdot \sqrt{5}-3$ este natural.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. ${\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{5}}=\sqrt{5}$ și $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
2. Paranteza este $\sqrt{5}+2\sqrt{5}=3\sqrt{5}$.
3. $3\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=3\cdot 5=15$, deci $a=15-3=12$.

Răspuns: $a=12\in \mathbb{N}$.

9. Calculează ${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{9}{\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{6}{2\sqrt{3}}}-\sqrt{8}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Raționalizezi primele două fracții: ${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{2}}=2\sqrt{2}$ și ${\displaystyle \frac{9}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{3}}=3\sqrt{3}$.
2. La a treia simplifici întâi cu 2: ${\displaystyle \frac{6}{2\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$. Scoți factorii: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.
3. Grupezi radicalii asemenea: $(2\sqrt{2}-2\sqrt{2})+(3\sqrt{3}-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$.

Răspuns: $2\sqrt{3}$.

10. Se consideră numărul $a={\displaystyle \frac{10}{\sqrt{5}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{45}}{3}}$. a) Arată că $a=3\sqrt{5}$. b) Determină numerele naturale consecutive între care se află $a$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) ${\displaystyle \frac{10}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{10\sqrt{5}}{5}}=2\sqrt{5}$; $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$, deci ${\displaystyle \frac{\sqrt{45}}{3}}=\sqrt{5}$.
2. $a=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$.
3. b) Introduci factorul sub radical: $a=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}$. Cum $36<45<49$, rezultă $\sqrt{36}<\sqrt{45}<\sqrt{49}$, adică $6<a<7$.

Răspuns: a) $a=3\sqrt{5}$; b) $6<a<7$.

Greșeli frecvente

• Radicalul unei sume. $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, nu $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$. Regula de „despărțire” merge doar la produs și la cât.
• Adunarea radicalilor diferiți. $\sqrt{2}+\sqrt{3}\ne \sqrt{5}$. Înainte de a renunța, scoate factorii: $\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.
• $\sqrt{a^2}$ fără modul. $\sqrt{(1-\sqrt{2}{)}^2}=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$, pentru că $1-\sqrt{2}<0$.
• La raționalizare amplifici doar numitorul. Amplificarea înseamnă înmulțirea și a numărătorului: ${\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{3}}$, nu ${\displaystyle \frac{6}{3}}$.
• Raționalizezi înainte să simplifici. La ${\displaystyle \frac{14}{\sqrt{28}}}$ scoate întâi factorii: $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$, deci ${\displaystyle \frac{14}{2\sqrt{7}}}={\displaystyle \frac{7}{\sqrt{7}}}=\sqrt{7}$; drumul este mult mai scurt decât prin ${\displaystyle \frac{14\sqrt{28}}{28}}$.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișe de lucru printabile, cu răspunsuri: radicali — clasa a 7-a și operații cu numere reale.
• Itemi din subiectele oficiale: radicali, modul și compararea numerelor reale la Evaluarea Națională. De exemplu, EN 2025 (subiect de rezervă), Subiectul I, itemul 5 și EN 2026 (subiect de rezervă), Subiectul I, itemul 5 — produsul a două numere conjugate.
• Verifică-ți calculele cu calculatorul de radicali.
• Tot pentru clasa a 7-a: teorema lui Pitagora, ecuații de gradul 1, teorema lui Thales.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă raționalizarea numitorului? Înseamnă să transformi o fracție care are radical la numitor într-o fracție egală cu ea, dar cu numitorul număr rațional. Amplifici fracția cu radicalul de la numitor: ${\displaystyle \frac{a}{b\sqrt{c}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{c}}{b\cdot c}}$. În clasa a 7-a numitorii sunt de această formă; cei cu o sumă sau o diferență de radicali apar în clasa a 8-a.

Cum se scot factorii de sub radical? Descompui numărul de sub radical într-un produs dintre cel mai mare pătrat perfect care îl divide și alt număr; rădăcina pătratului perfect iese în fața radicalului: $\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}$.

Cum compar doi radicali? Introduci factorii sub radical și compari numerele de sub radical: $3\sqrt{5}=\sqrt{45}$ este mai mare decât $2\sqrt{11}=\sqrt{44}$.

Se pot aduna $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$? Nu se pot restrânge într-un singur radical: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ rămâne așa. Se adună doar radicalii asemenea, de forma $a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}$.