Teorema înălțimii și catetei exerciții rezolvate clasa a 7-a

Q: Cum calculez înălțimea dacă știu doar catetele?

Afli ipotenuza cu teorema lui Pitagora, apoi AD = (AB · AC)/(BC) . De exemplu, pentru catetele 6 și 8, AD = (48)/(10) = 4,8 .

Teorema înălțimii și teorema catetei sunt relațiile metrice din triunghiul dreptunghic, învățate în clasa a 7-a. Dacă $△ A B C$ are $∠ A = 90^{\circ}$ și $A D ⊥ B C$ , atunci $A D^{2} = B D \cdot D C$ (teorema înălțimii) și $A B^{2} = B D \cdot B C$ , $A C^{2} = D C \cdot B C$ (teorema catetei).

Ce trebuie să știi

În triunghiul $A B C$ cu $∠ A = 90^{\circ}$ , $A D ⊥ B C$ , $D \in B C$ :

A D^{2} = B D \cdot D C, A B^{2} = B D \cdot B C, A C^{2} = D C \cdot B C

A D = \frac{A B \cdot A C}{B C}, B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

$B D$ și $D C$ sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză: $B D$ este proiecția lui $A B$ , $D C$ este proiecția lui $A C$ .
Teorema catetei leagă o catetă de proiecția ei (segmentul de lângă ea) și de ipotenuză.
Înălțimea se poate calcula și fără proiecții: $A D$ $= \frac{A B \cdot A C}{B C}$ (din aria triunghiului scrisă în două moduri).
$B D + D C = B C$ , iar $\frac{B D}{D C}$ $= \frac{A B^{2}}{A C^{2}}$ .
Relațiile sunt valabile doar în triunghi dreptunghic și doar pentru înălțimea dusă din vârful unghiului drept.

Teoria completă, cu demonstrații: teorema înălțimii și teorema catetei — formule și teorema lui Pitagora.

Exerciții rezolvate

În toate exercițiile, $△ A B C$ este dreptunghic în $A$ și $A D ⊥ B C$ , $D \in B C$ , dacă nu se spune altfel.

Nivel ușor

Exercițiul 1. Știind că $B D = 4$ cm și $D C = 9$ cm, calculează lungimea înălțimii $A D$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Aplicăm teorema înălțimii: $A D^{2}$ $= B D \cdot D C$ $= 4 \cdot 9$ $= 36$ .
$A D = \sqrt{36} = 6$ .

Răspuns: $A D = 6$ cm.

Exercițiul 2. Știind că $B D = 3$ cm și $B C = 12$ cm, calculează lungimile catetelor $A B$ și $A C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Teorema catetei pentru $A B$ (proiecția ei este $B D$ ): $A B^{2}$ $= B D \cdot B C$ $= 3 \cdot 12$ $= 36$ , deci $A B = 6$ cm.
$D C$ $= B C - B D$ $= 12 - 3$ $= 9$ cm.
Teorema catetei pentru $A C$ : $A C^{2}$ $= D C \cdot B C$ $= 9 \cdot 12$ $= 108$ , deci $A C$ $= \sqrt{108}$ $= \sqrt{36 \cdot 3}$ $= 6 \sqrt{3}$ cm.
Verificare cu Pitagora: $36 + 108 = 144 = 12^{2}$ .

Răspuns: $A B = 6$ cm, $A C = 6 \sqrt{3}$ cm.

Exercițiul 3. Catetele triunghiului au $A B = 6$ cm și $A C = 8$ cm. Calculează $B C$ , $A D$ , $B D$ și $D C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Pitagora: $B C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100$ , deci $B C = 10$ cm.
Înălțimea: $A D$ $= \frac{A B \cdot A C}{B C}$ $= \frac{6 \cdot 8}{10}$ $= 4, 8$ cm.
Teorema catetei: $B D$ $= \frac{A B^{2}}{B C}$ $= \frac{36}{10}$ $= 3, 6$ cm și $D C$ $= \frac{A C^{2}}{B C}$ $= \frac{64}{10}$ $= 6, 4$ cm.
Verificare: $3, 6 + 6, 4 = 10$ și $3, 6 \cdot 6, 4$ $= 23, 04$ $= 4, 8^{2}$ .

Răspuns: $B C = 10$ cm, $A D = 4, 8$ cm, $B D = 3, 6$ cm, $D C = 6, 4$ cm.

Nivel mediu

Exercițiul 4. Știind că $A D = 12$ cm și $B D = 9$ cm, calculează perimetrul și aria triunghiului $A B C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Teorema înălțimii: $A D^{2}$ $= B D \cdot D C$ $\Rightarrow 144$ $= 9 \cdot D C$ $\Rightarrow D C$ $= 16$ cm.
$B C$ $= B D + D C$ $= 9 + 16$ $= 25$ cm.
Teorema catetei: $A B^{2}$ $= 9 \cdot 25$ $= 225$ $\Rightarrow A B$ $= 15$ cm; $A C^{2}$ $= 16 \cdot 25$ $= 400$ $\Rightarrow A C$ $= 20$ cm.
Perimetrul: $15 + 20 + 25 = 60$ cm. Aria: $\frac{B C \cdot A D}{2}$ $= \frac{25 \cdot 12}{2}$ $= 150$ cm² (sau $\frac{A B \cdot A C}{2}$ $= \frac{15 \cdot 20}{2}$ $= 150$ ).

Răspuns: $P = 60$ cm, $A = 150$ cm².

Exercițiul 5. Știind că $A B = 2 \sqrt{5}$ cm și $B D = 2$ cm, calculează $B C$ , $A D$ și $A C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Teorema catetei: $A B^{2}$ $= B D \cdot B C$ $\Rightarrow 20$ $= 2 \cdot B C$ $\Rightarrow B C$ $= 10$ cm.
$D C = 10 - 2 = 8$ cm.
Teorema înălțimii: $A D^{2}$ $= 2 \cdot 8$ $= 16$ $\Rightarrow A D$ $= 4$ cm.
Teorema catetei: $A C^{2}$ $= D C \cdot B C$ $= 8 \cdot 10$ $= 80$ $\Rightarrow A C$ $= \sqrt{80}$ $= 4 \sqrt{5}$ cm.

Răspuns: $B C = 10$ cm, $A D = 4$ cm, $A C = 4 \sqrt{5}$ cm.

Exercițiul 6. Punctul $D$ împarte ipotenuza în raportul $\frac{B D}{D C}$ $= \frac{1}{4}$ , iar $B C = 20$ cm. Calculează $A D$ , catetele și aria triunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

$B D$ $= \frac{1}{5} \cdot 20$ $= 4$ cm și $D C$ $= \frac{4}{5} \cdot 20$ $= 16$ cm.
$A D^{2}$ $= 4 \cdot 16$ $= 64$ $\Rightarrow A D$ $= 8$ cm.
$A B^{2}$ $= 4 \cdot 20$ $= 80$ $\Rightarrow A B$ $= 4 \sqrt{5}$ cm; $A C^{2}$ $= 16 \cdot 20$ $= 320$ $\Rightarrow A C$ $= 8 \sqrt{5}$ cm.
Aria: $\frac{B C \cdot A D}{2}$ $= \frac{20 \cdot 8}{2}$ $= 80$ cm².

Răspuns: $A D = 8$ cm, $A B = 4 \sqrt{5}$ cm, $A C = 8 \sqrt{5}$ cm, aria $= 80$ cm².

Exercițiul 7. Catetele sunt în raportul $\frac{A B}{A C}$ $= \frac{3}{4}$ , iar ipotenuza $B C = 50$ cm. Calculează $B D$ , $D C$ și $A D$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Din teorema catetei: $\frac{B D}{D C}$ $= \frac{A B^{2} / B C}{A C^{2} / B C}$ $= \frac{A B^{2}}{A C^{2}}$ $= \frac{9}{16}$ .
Împărțim $50$ în $9 + 16 = 25$ părți: o parte $= 2$ cm, deci $B D = 18$ cm și $D C = 32$ cm.
$A D^{2}$ $= 18 \cdot 32$ $= 576$ $\Rightarrow A D$ $= 24$ cm.
Verificare: $A B = 30$ , $A C = 40$ ( $30^{2} + 40^{2} = 50^{2}$ ), iar $\frac{30 \cdot 40}{50}$ $= 24$ .

Răspuns: $B D = 18$ cm, $D C = 32$ cm, $A D = 24$ cm.

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

Exercițiul 8. În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , $∠ B = 30^{\circ}$ și $B C = 16$ cm. Fie $A D ⊥ B C$ , $D \in B C$ , și $D E ⊥ A B$ , $E \in A B$ .
a) Arată că $A D = 4 \sqrt{3}$ cm.
b) Calculează distanța de la punctul $D$ la dreapta $A B$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză: $A C = \frac{16}{2} = 8$ cm.
Teorema catetei: $A C^{2}$ $= D C \cdot B C$ $\Rightarrow 64$ $= D C \cdot 16$ $\Rightarrow D C$ $= 4$ cm, deci $B D = 12$ cm.
a) Teorema înălțimii: $A D^{2}$ $= 12 \cdot 4$ $= 48$ $\Rightarrow A D$ $= \sqrt{48}$ $= 4 \sqrt{3}$ cm.
b) Distanța cerută este $D E$ . Cum $D E ⊥ A B$ și $A C ⊥ A B$ , avem $D E ∥ A C$ ; din teorema fundamentală a asemănării, $△ B D E \sim △ B C A$ , deci $\frac{D E}{A C}$ $= \frac{B D}{B C}$ $= \frac{12}{16}$ .
$D E$ $= \frac{3}{4} \cdot 8$ $= 6$ cm.

Răspuns: a) $A D = 4 \sqrt{3}$ cm; b) $d (D, A B) = 6$ cm.

Exercițiul 9. Dreptunghiul $A B C D$ are $A B = 20$ cm și $A D = 15$ cm. Punctul $E$ este proiecția lui $A$ pe diagonala $B D$ .
a) Calculează $A E$ .
b) Calculează $D E$ și $B E$ .
c) Arată că aria triunghiului $A E B$ este $96$ cm².

Vezi rezolvarea pas cu pas

Triunghiul $A B D$ este dreptunghic în $A$ , cu ipotenuza $B D$ și înălțimea $A E$ . Pitagora: $B D^{2}$ $= 20^{2} + 15^{2}$ $= 625$ $\Rightarrow B D$ $= 25$ cm.
a) $A E$ $= \frac{A B \cdot A D}{B D}$ $= \frac{20 \cdot 15}{25}$ $= 12$ cm.
b) Teorema catetei: $A D^{2}$ $= D E \cdot B D$ $\Rightarrow D E$ $= \frac{225}{25}$ $= 9$ cm; $A B^{2}$ $= B E \cdot B D$ $\Rightarrow B E$ $= \frac{400}{25}$ $= 16$ cm. Verificare: $9 + 16 = 25$ și $9 \cdot 16 = 144 = 12^{2}$ .
c) Triunghiul $A E B$ este dreptunghic în $E$ : $A$ $= \frac{A E \cdot B E}{2}$ $= \frac{12 \cdot 16}{2}$ $= 96$ cm².

Răspuns: a) $A E = 12$ cm; b) $D E = 9$ cm, $B E = 16$ cm; c) aria $= 96$ cm².

Exercițiul 10. Segmentul $A B = 26$ cm este diametrul unui cerc. Punctul $C$ se află pe cerc, iar $D$ este proiecția lui $C$ pe $A B$ , cu $A D = 8$ cm. Calculează $C D$ , $A C$ și $B C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Unghiul $A C B$ este înscris într-un semicerc, deci $∠ A C B = 90^{\circ}$ : triunghiul $A C B$ este dreptunghic în $C$ , cu ipotenuza $A B$ și înălțimea $C D$ .
$D B = 26 - 8 = 18$ cm.
Teorema înălțimii: $C D^{2}$ $= A D \cdot D B$ $= 8 \cdot 18$ $= 144$ $\Rightarrow C D$ $= 12$ cm.
Teorema catetei: $A C^{2}$ $= A D \cdot A B$ $= 8 \cdot 26$ $= 208$ $\Rightarrow A C$ $= 4 \sqrt{13}$ cm; $B C^{2}$ $= D B \cdot A B$ $= 18 \cdot 26$ $= 468$ $\Rightarrow B C$ $= 6 \sqrt{13}$ cm.

Răspuns: $C D = 12$ cm, $A C = 4 \sqrt{13}$ cm, $B C = 6 \sqrt{13}$ cm.

Greșeli frecvente

Proiecția greșită în teorema catetei. Scris greșit: $A B^{2} = D C \cdot B C$ . Corect: cateta se înmulțește cu proiecția ei, cea alăturată: $A B^{2} = B D \cdot B C$ .
Uitarea radicalului. Din $A D^{2} = 4 \cdot 9$ nu rezultă $A D = 36$ , ci $A D = \sqrt{36} = 6$ .
Ipotenuza în loc de segment. În teorema înălțimii apar cele două segmente ale ipotenuzei ( $B D \cdot D C$ ), nu $B D \cdot B C$ .
Aplicarea în orice triunghi. Relațiile sunt adevărate doar dacă unghiul din vârful din care pleacă înălțimea este drept. Verifică mai întâi (de exemplu cu reciproca lui Pitagora sau cu unghiul înscris în semicerc).
Radicali nesimplificați. Scrie rezultatul final simplificat: $\sqrt{108} = 6 \sqrt{3}$ , $\sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$ .

Verifică-te

Verifică-te: 5 întrebări

În $△ A B C$ dreptunghic în $A$ , cu $A D ⊥ B C$ , $B D = 2$ și $D C = 8$ . Cât este $A D$ ?

$4$
$16$
$5$

$B D = 4$ și $B C = 25$ . Cât este cateta $A B$ ?

$100$
$2 \sqrt{21}$
$10$

Cateta $A B = 6$ și ipotenuza $B C = 12$ . Cât este proiecția $B D$ ?

Catetele sunt $A B = 5$ și $A C = 12$ . Cât este înălțimea $A D$ ?

$\frac{60}{13}$
$\frac{13}{2}$
$\frac{30}{13}$

Care relație este adevărată (unghiul drept în $A$ , $A D ⊥ B C$ )?

$A C^{2} = B D \cdot B C$
$A C^{2} = D C \cdot B C$
$A D^{2} = A B \cdot A C$

Exersează mai departe

Fișă de lucru: relații metrice și trigonometrie, clasa a 7-a (printabilă, cu răspunsuri).
Pitagora și relații metrice la Evaluarea Națională — probleme rezolvate; de exemplu Model EN 2026, Subiectul II, itemul 9 (înălțimea pe ipotenuză într-un triunghi cu un unghi de $30^{\circ}$ ).
Calculator teorema lui Pitagora, pentru verificarea laturilor.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema înălțimii? Într-un triunghi dreptunghic, pătratul înălțimii duse din vârful unghiului drept este egal cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză: $A D^{2} = B D \cdot D C$ .

Cum se aplică teorema catetei? Pătratul unei catete este egal cu produsul dintre proiecția ei pe ipotenuză și ipotenuză: $A B^{2} = B D \cdot B C$ . Alege proiecția alăturată catetei respective.

Cum calculez înălțimea dacă știu doar catetele? Afli ipotenuza cu teorema lui Pitagora, apoi $A D$ $= \frac{A B \cdot A C}{B C}$ . De exemplu, pentru catetele 6 și 8, $A D$ $= \frac{48}{10}$ $= 4, 8$ .

În ce clasă se învață teorema înălțimii? În clasa a 7-a, la capitolul relații metrice în triunghiul dreptunghic, împreună cu teorema catetei și teorema lui Pitagora; apare des la Evaluarea Națională.

Teorema înălțimii și teorema catetei — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 7-a)

Ce trebuie să știi

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Nivel mediu

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

Greșeli frecvente

Verifică-te

Exersează mai departe

Întrebări frecvente

Formule conexe