Rapoarte și proporții — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 6-a)

Raportul a două numere $a$ și $b$ (cu $b\ne 0$) este câtul $\frac{a}{b}$, iar o proporție este egalitatea a două rapoarte, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Regula de bază este proprietatea fundamentală: într-o proporție, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor, $a\cdot d=b\cdot c$. Cu ea afli un termen necunoscut, iar cu șirul de rapoarte egale și regula de trei simplă rezolvi problemele cu mărimi direct sau invers proporționale.

Ce trebuie să știi

$$\begin{array}{rlr}\frac{a}{b}=\frac{c}{d}& ⟺a\cdot d=b\cdot c,& x=\frac{b\cdot c}{d}\text{ dacă }\frac{x}{b}=\frac{c}{d}\\ \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=k& \Rightarrow a=kx,b=ky,c=kz\end{array}$$

• Raportul a două mărimi de același fel se calculează în aceeași unitate de măsură: raportul dintre 2 kg și 500 g este $\frac{2000}{500}=4$. Raportul se poate simplifica și amplifica, la fel ca o fracție.
• Termenii proporției $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$: $a$ și $d$ sunt extremii, $b$ și $c$ sunt mezii. Un extrem necunoscut = produsul mezilor împărțit la celălalt extrem; un mez necunoscut = produsul extremilor împărțit la celălalt mez.
• Proporții derivate (pe un exemplu): din $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ obții $\frac{3}{2}=\frac{6}{4}$ (inversezi rapoartele), $\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$ (schimbi mezii), $\frac{2+3}{3}=\frac{4+6}{6}$ (aduni numitorul la numărător).
• Șirul de rapoarte egale: dacă $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}$, notezi valoarea comună cu $k$; atunci $a=2k$, $b=3k$, $c=5k$, iar $\frac{a+b+c}{2+3+5}=k$.
• Direct proporționale: când o mărime crește de câteva ori, cealaltă crește de același număr de ori (cantitate și preț). Numerele $a,b,c$ sunt direct proporționale cu $x,y,z$ dacă $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$.
• Invers proporționale: când o mărime crește de câteva ori, cealaltă scade de același număr de ori (numărul de muncitori și timpul de lucru). Numerele $a,b,c$ sunt invers proporționale cu $x,y,z$ dacă $a\cdot x=b\cdot y=c\cdot z$.

Toate regulile, cu exemple: rapoarte, proporții și procente · regula de trei simplă · formule matematică clasa a 6-a.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Calculează și scrie sub formă de fracție ireductibilă: a) raportul numerelor 18 și 24; b) raportul dintre 2,5 kg și 750 g.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) $\frac{18}{24}$; simplifici cu 6 (cel mai mare divizor comun al numerelor 18 și 24): $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$.
2. b) Aduci mărimile la aceeași unitate de măsură: $2,5\text{ kg}=2500\text{ g}$.
3. $\frac{2500}{750}$; simplifici cu 250: $\frac{2500}{750}=\frac{10}{3}$. Raportul nu are unitate de măsură.

Răspuns: a) $\frac{3}{4}$; b) $\frac{10}{3}$

Exercițiul 2. Află numărul $x$ din proporțiile: a) $\frac{x}{15}=\frac{4}{6}$; b) $\frac{2,4}{x}=\frac{6}{5}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) $x$ este extrem. Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $6\cdot x=15\cdot 4=60$, deci $x=60:6=10$.
2. Verificare: $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$ și $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
3. b) $x$ este mez: $6\cdot x=2,4\cdot 5=12$, deci $x=12:6=2$.
4. Verificare: $\frac{2,4}{2}=1,2$ și $\frac{6}{5}=1,2$.

Răspuns: a) $x=10$; b) $x=2$

Exercițiul 3. O hartă este desenată la scara 1 : 25 000. Distanța dintre două localități pe hartă este de 6 cm. Care este distanța reală dintre ele, în kilometri?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Scara este raportul dintre distanța de pe hartă și distanța reală: $\frac{1}{25000}=\frac{6\text{ cm}}{d}$.
2. Proprietatea fundamentală: $d=6\cdot 25000=150000$ cm.
3. Transformi: $150000\text{ cm}=1500\text{ m}=1,5\text{ km}$.

Răspuns: 1,5 km

Nivel mediu

Exercițiul 4. Numerele $a$, $b$ și $c$ sunt direct proporționale cu 2, 3 și 5, iar $a+b+c=60$. Află numerele.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Scrii șirul de rapoarte egale: $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$, deci $a=2k$, $b=3k$, $c=5k$.
2. Înlocuiești în sumă: $2k+3k+5k=60\Rightarrow 10k=60\Rightarrow k=6$.
3. $a=12$, $b=18$, $c=30$. Verificare: $12+18+30=60$.

Răspuns: $a=12$, $b=18$, $c=30$

Exercițiul 5. 5 kg de mere costă 32 de lei. Cât costă 8 kg din aceleași mere?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Cantitatea și prețul sunt mărimi direct proporționale: de câte ori crește cantitatea, de atâtea ori crește prețul.
2. Regula de trei simplă: $$\begin{array}{rl}5\text{ kg}& \dots 32\text{ lei}\\ 8\text{ kg}& \dots x\text{ lei}\end{array}$$
3. Mărimi direct proporționale, deci $\frac{5}{8}=\frac{32}{x}\Rightarrow 5x=8\cdot 32=256\Rightarrow x=51,2$.
4. Altfel: 1 kg costă $32:5=6,4$ lei, iar 8 kg costă $8\cdot 6,4=51,2$ lei.

Răspuns: 51,20 lei

Exercițiul 6. 6 muncitori termină o lucrare în 10 zile. În câte zile termină aceeași lucrare 4 muncitori care lucrează în același ritm?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Numărul de muncitori și numărul de zile sunt mărimi invers proporționale: mai puțini muncitori au nevoie de mai multe zile.
2. Regula de trei simplă: $$\begin{array}{rl}6\text{ muncitori}& \dots 10\text{ zile}\\ 4\text{ muncitori}& \dots x\text{ zile}\end{array}$$
3. La mărimi invers proporționale produsul rămâne constant: $4\cdot x=6\cdot 10=60\Rightarrow x=15$.
4. Verificare de bun-simț: lucrarea înseamnă $6\cdot 10=60$ de „zile-muncitor”; 4 muncitori au nevoie de $60:4=15$ zile, mai multe decât 10.

Răspuns: 15 zile

Exercițiul 7. Știind că $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$, cu $b\ne 0$, calculează: a) $4a-3b$; b) $\frac{a+b}{b}$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) Din proprietatea fundamentală: $4\cdot a=3\cdot b$, deci $4a-3b=0$.
2. b) Notezi $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=k$, cu $k\ne 0$: $a=3k$, $b=4k$.
3. $\frac{a+b}{b}=\frac{3k+4k}{4k}=\frac{7k}{4k}=\frac{7}{4}$ (simplifici cu $k$).
4. Verificare pe un exemplu: $a=6$, $b=8$ respectă $\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=2$; $4\cdot 6-3\cdot 8=0$ și $\frac{6+8}{8}=\frac{14}{8}=\frac{7}{4}$.

Răspuns: a) 0; b) $\frac{7}{4}$

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

Exercițiul 8. Împarte numărul 260 în trei părți invers proporționale cu numerele 2, 3 și 4.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Părțile $x,y,z$ sunt invers proporționale cu 2, 3, 4, deci $2x=3y=4z$. Aceasta înseamnă că sunt direct proporționale cu $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$.
2. Aduci fracțiile la numitorul comun 12: $\frac{6}{12},\frac{4}{12},\frac{3}{12}$. Părțile sunt deci direct proporționale cu 6, 4 și 3.
3. $\frac{x}{6}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}=k\Rightarrow 6k+4k+3k=260\Rightarrow 13k=260\Rightarrow k=20$.
4. $x=120$, $y=80$, $z=60$. Verificare: $2\cdot 120=3\cdot 80=4\cdot 60=240$ și $120+80+60=260$.

Răspuns: 120, 80 și 60

Exercițiul 9. Un autoturism parcurge distanța dintre două orașe în 3 ore, cu viteza medie de 80 km/h. Cu ce viteză medie ar trebui să meargă pentru a parcurge aceeași distanță în 2 ore și 24 de minute?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Distanța este aceeași, deci viteza și timpul sunt mărimi invers proporționale.
2. Transformi timpul în ore: $24\text{ min}=\frac{24}{60}\text{ h}=0,4\text{ h}$, deci $2\text{ h }24\text{ min}=2,4\text{ h}$.
3. Produsul viteză × timp este constant (este distanța): $v\cdot 2,4=80\cdot 3=240$.
4. $v=240:2,4=100$ km/h.

Răspuns: 100 km/h

Exercițiul 10. Într-o clasă sunt 27 de elevi, iar raportul dintre numărul fetelor și numărul băieților este $\frac{4}{5}$. a) Câte fete și câți băieți sunt în clasă? b) Se alege la întâmplare un elev pentru a reprezenta clasa. Care este probabilitatea ca elevul ales să fie fată?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) $\frac{f}{b}=\frac{4}{5}\Rightarrow \frac{f}{4}=\frac{b}{5}=k$, deci $f=4k$, $b=5k$.
2. $4k+5k=27\Rightarrow 9k=27\Rightarrow k=3$: sunt $f=12$ fete și $b=15$ băieți.
3. b) Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: $P=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$.

Răspuns: a) 12 fete și 15 băieți; b) $\frac{4}{9}$

Greșeli frecvente

• Raport între mărimi în unități diferite: raportul dintre 2,5 kg și 750 g nu este $\frac{2,5}{750}$; întâi transformi în aceeași unitate (exercițiul 1).
• Încurci mezii cu extremii: din $\frac{x}{15}=\frac{4}{6}$ rezultă $6x=15\cdot 4$, nu $15x=4\cdot 6$. „În cruce”: numărătorul unui raport cu numitorul celuilalt.
• Aplici regula de trei „direct” la mărimi invers proporționale: mai puțini muncitori lucrează mai multe zile; dacă ți-a ieșit că 4 muncitori termină în mai puțin de 10 zile, ai greșit tipul de proporționalitate.
• La împărțirea invers proporțională folosești direct numerele 2, 3, 4: partea cea mai mare corespunde numărului celui mai mic (exercițiul 8).
• Ordinea termenilor în raport: „raportul dintre fete și băieți” este $\frac{f}{b}$, nu $\frac{b}{f}$; $\frac{4}{5}$ și $\frac{5}{4}$ nu sunt același lucru.

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișă de lucru: rapoarte, proporții și procente, clasa a 6-a (printabilă, cu răspunsuri).
• Calculator regula de trei simplă: mărimi direct și invers proporționale, cu pașii afișați.
• Proporțiile apar în fiecare an la Evaluarea Națională, Subiectul I: Model EN 2023, itemul 2 (din $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$ se cere $4a-3b$, ca la exercițiul 7) și EN 2025, itemul 2 (din $\frac{a}{2}=\frac{2}{3}$ se cere $\frac{a}{4}$), adunate pe pagina rapoarte și proporții la Evaluarea Națională.
• La evaluarea de clasa a 6-a: Evaluarea Națională clasa a 6-a 2026, itemul 2 (un raport scris ca procent din total).
• Pasul următor: procente, exerciții rezolvate pentru clasa a 6-a.

Întrebări frecvente

Care este proprietatea fundamentală a proporțiilor? Într-o proporție $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: $a\cdot d=b\cdot c$. De exemplu, $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$ pentru că $3\cdot 12=4\cdot 9=36$.

Cum afli un termen necunoscut dintr-o proporție? Scrii produsul extremilor egal cu produsul mezilor și împarți la numărul de lângă necunoscută. Din $\frac{x}{10}=\frac{3}{5}$ obții $5x=30$, deci $x=6$.

Cum îți dai seama dacă două mărimi sunt direct sau invers proporționale? Te întrebi ce se întâmplă cu a doua mărime dacă prima se dublează. Dacă se dublează și ea (cantitate și preț), sunt direct proporționale; dacă se înjumătățește (muncitori și zile, viteză și timp la aceeași distanță), sunt invers proporționale.

Ce este regula de trei simplă? Este metoda prin care, știind două valori corespunzătoare ale unor mărimi proporționale, afli valoarea care corespunde unei a treia valori. Așezi datele pe două rânduri și scrii o proporție (la mărimi direct proporționale) sau egalitatea produselor (la mărimi invers proporționale).