Unghiuri — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 6-a)

Unghiurile de clasa a 6-a se rezolvă cu câteva relații: două unghiuri complementare au suma 90°, două unghiuri suplementare au suma 180°, unghiurile opuse la vârf sunt congruente, iar unghiurile în jurul unui punct au suma 360°. La două drepte paralele tăiate de o secantă, unghiurile alterne interne și cele corespondente sunt congruente.

Ce trebuie să știi

$$\begin{array}{rlrl}& \text{complementare: }\alpha +\beta ={90}^{\circ },& & \text{suplementare: }\alpha +\beta ={180}^{\circ },\\ & \text{în jurul unui punct: }{360}^{\circ },& & \text{în triunghi: }\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}={180}^{\circ }\end{array}$$

• Clasificare: nul (0°), ascuțit (între 0° și 90°), drept (90°), obtuz (între 90° și 180°), alungit (180°).
• Unghiuri adiacente: au vârful comun, o latură comună și interioarele disjuncte; dacă laturile necomune sunt semidrepte opuse, ele sunt adiacente suplementare.
• Opuse la vârf: două drepte concurente formează două perechi de unghiuri opuse la vârf, congruente; două unghiuri alăturate sunt suplementare.
• Bisectoarea unui unghi îl împarte în două unghiuri congruente.
• Paralele și secantă: alterne interne congruente, alterne externe congruente, corespondente congruente, interne (sau externe) de aceeași parte a secantei suplementare.
• Grade și minute: $1^{\circ }={60}^{\prime }$, $1^{\prime }={60}^{″}$.

Definiții și figuri: elemente de geometrie (unghiuri, poziții, măsuri) · formule matematică clasa a 6-a.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. Află complementul și suplementul unui unghi cu măsura de 38°.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Complementul: ${90}^{\circ }-{38}^{\circ }={52}^{\circ }$.
2. Suplementul: ${180}^{\circ }-{38}^{\circ }={142}^{\circ }$.
3. Observă că suplementul este cu 90° mai mare decât complementul.

Răspuns: complementul 52°, suplementul 142°

Exercițiul 2. Calculează: a) ${47}^{\circ }{35}^{\prime }+{28}^{\circ }{50}^{\prime }$; b) complementul unghiului de ${47}^{\circ }{35}^{\prime }$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) Aduni separat: ${75}^{\circ }{85}^{\prime }$. Cum ${85}^{\prime }={60}^{\prime }+{25}^{\prime }=1^{\circ }{25}^{\prime }$, obții ${76}^{\circ }{25}^{\prime }$.
2. b) Scrii ${90}^{\circ }={89}^{\circ }{60}^{\prime }$.
3. ${89}^{\circ }{60}^{\prime }-{47}^{\circ }{35}^{\prime }={42}^{\circ }{25}^{\prime }$.

Răspuns: a) ${76}^{\circ }{25}^{\prime }$; b) ${42}^{\circ }{25}^{\prime }$

Exercițiul 3. Dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în punctul $O$, iar $m(\mathrm{\angle }AOC)={48}^{\circ }$. Află măsurile unghiurilor $BOD$, $AOD$ și $BOC$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $\mathrm{\angle }BOD$ este opus la vârf cu $\mathrm{\angle }AOC$, deci $m(\mathrm{\angle }BOD)={48}^{\circ }$.
2. $\mathrm{\angle }AOD$ și $\mathrm{\angle }AOC$ sunt adiacente suplementare ($C,O,D$ coliniare): $m(\mathrm{\angle }AOD)={180}^{\circ }-{48}^{\circ }={132}^{\circ }$.
3. $\mathrm{\angle }BOC$ este opus la vârf cu $\mathrm{\angle }AOD$, deci $m(\mathrm{\angle }BOC)={132}^{\circ }$.
4. Verificare: ${48}^{\circ }+{132}^{\circ }+{48}^{\circ }+{132}^{\circ }={360}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }BOD)={48}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }AOD)=m(\mathrm{\angle }BOC)={132}^{\circ }$

Nivel mediu

Exercițiul 4. Un unghi este de 4 ori mai mare decât complementul său. Află măsura unghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Notezi complementul cu $x$; unghiul este $4x$.
2. Fiind complementare: $x+4x={90}^{\circ }\Rightarrow 5x={90}^{\circ }\Rightarrow x={18}^{\circ }$.
3. Unghiul: $4\cdot {18}^{\circ }={72}^{\circ }$. Verificare: ${72}^{\circ }+{18}^{\circ }={90}^{\circ }$.

Răspuns: 72°

Exercițiul 5. Unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente suplementare, cu $m(\mathrm{\angle }AOB)={110}^{\circ }$. Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$, iar $ON$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Află $m(\mathrm{\angle }MON)$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Adiacente suplementare: $m(\mathrm{\angle }BOC)={180}^{\circ }-{110}^{\circ }={70}^{\circ }$.
2. Bisectoarele: $m(\mathrm{\angle }MOB)={110}^{\circ }:2={55}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }BON)={70}^{\circ }:2={35}^{\circ }$.
3. $OB$ este între $OM$ și $ON$, deci $m(\mathrm{\angle }MON)={55}^{\circ }+{35}^{\circ }={90}^{\circ }$.
4. Rezultatul nu depinde de 110°: mereu obții $\frac{{180}^{\circ }}{2}={90}^{\circ }$, adică bisectoarele a două unghiuri adiacente suplementare sunt perpendiculare.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }MON)={90}^{\circ }$

Exercițiul 6. Patru unghiuri formate în jurul unui punct (fără puncte interioare comune) au măsurile direct proporționale cu numerele 2, 3, 4 și 6. Află măsurile lor.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Unghiurile în jurul unui punct au suma 360°.
2. Notezi măsurile cu $2k,3k,4k,6k$: $15k={360}^{\circ }\Rightarrow k={24}^{\circ }$.
3. Măsurile: ${48}^{\circ },{72}^{\circ },{96}^{\circ },{144}^{\circ }$. Verificare: suma este 360°.

Răspuns: 48°, 72°, 96°, 144°

Exercițiul 7. Două unghiuri opuse la vârf au măsurile $(3x+10{)}^{\circ }$ și $(5x-30{)}^{\circ }$. Află $x$, măsura lor și măsura unghiului adiacent lor.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente: $3x+10=5x-30$.
2. $40=2x\Rightarrow x=20$.
3. Măsura: $3\cdot 20+10={70}^{\circ }$ (verificare: $5\cdot 20-30={70}^{\circ }$).
4. Unghiul adiacent (format de aceleași drepte) este suplementar: ${180}^{\circ }-{70}^{\circ }={110}^{\circ }$.

Răspuns: $x=20$; unghiurile au 70°, unghiul adiacent 110°

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

Exercițiul 8. Dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, iar secanta $c$ le taie. Două unghiuri interne de aceeași parte a secantei au măsurile $(4x+10{)}^{\circ }$ și $(2x+20{)}^{\circ }$. Află $x$ și măsurile celor două unghiuri.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. La două drepte paralele tăiate de o secantă, unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare.
2. $(4x+10)+(2x+20)=180$ $\Rightarrow 6x+30=180$ $\Rightarrow x=25$.
3. Măsurile: $4\cdot 25+10={110}^{\circ }$ și $2\cdot 25+20={70}^{\circ }$. Verificare: ${110}^{\circ }+{70}^{\circ }={180}^{\circ }$.

Răspuns: $x=25$; unghiurile au 110° și 70°

Exercițiul 9. Dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele, iar punctele $B$ și $D$ sunt de aceeași parte a dreptei $AC$. Punctul $E$ se află între cele două paralele, de aceeași parte a dreptei $AC$ ca $B$ și $D$, astfel încât $m(\mathrm{\angle }BAE)={35}^{\circ }$ și $m(\mathrm{\angle }ECD)={40}^{\circ }$. Află $m(\mathrm{\angle }AEC)$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Construiești prin $E$ dreapta $EF\parallel AB$, cu $F$ de aceeași parte a lui $AC$ ca $B$. Atunci și $EF\parallel CD$.
2. $AB\parallel EF$, secanta $AE$: $\mathrm{\angle }BAE$ și $\mathrm{\angle }AEF$ sunt alterne interne, deci $m(\mathrm{\angle }AEF)={35}^{\circ }$.
3. $EF\parallel CD$, secanta $CE$: $m(\mathrm{\angle }FEC)=m(\mathrm{\angle }ECD)={40}^{\circ }$ (alterne interne).
4. $EF$ este în interiorul unghiului $AEC$: $m(\mathrm{\angle }AEC)={35}^{\circ }+{40}^{\circ }={75}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }AEC)={75}^{\circ }$

Exercițiul 10. În triunghiul $ABC$, $m(\mathrm{\angle }A)={50}^{\circ }$ și $m(\mathrm{\angle }B)={70}^{\circ }$. Bisectoarele unghiurilor $B$ și $C$ se intersectează în punctul $I$. Află $m(\mathrm{\angle }BIC)$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Suma unghiurilor triunghiului: $m(\mathrm{\angle }C)={180}^{\circ }-{50}^{\circ }-{70}^{\circ }={60}^{\circ }$.
2. Bisectoarele: $m(\mathrm{\angle }IBC)={70}^{\circ }:2={35}^{\circ }$, $m(\mathrm{\angle }ICB)={60}^{\circ }:2={30}^{\circ }$.
3. În triunghiul $BIC$: $m(\mathrm{\angle }BIC)={180}^{\circ }-{35}^{\circ }-{30}^{\circ }={115}^{\circ }$.
4. Verificare cu relația generală $m(\mathrm{\angle }BIC)={90}^{\circ }+\frac{m(\mathrm{\angle }A)}{2}$ $={90}^{\circ }+{25}^{\circ }={115}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\mathrm{\angle }BIC)={115}^{\circ }$

Greșeli frecvente

• Confunzi complementar cu suplementar: complementare înseamnă suma 90°, suplementare suma 180°. Truc: „C” vine înaintea lui „S”, iar 90 înaintea lui 180.
• Socotești 100 de minute într-un grad: $1^{\circ }={60}^{\prime }$, deci ${75}^{\circ }{85}^{\prime }={76}^{\circ }{25}^{\prime }$, nu ${75}^{\circ }{85}^{\prime }$ și nici $75,{85}^{\circ }$.
• Iei unghiurile alăturate drept congruente: la două drepte concurente sunt congruente doar cele opuse la vârf; cele alăturate sunt suplementare.
• Interne de aceeași parte considerate congruente: ele sunt suplementare; congruente sunt alterne interne și corespondente (exercițiul 8).
• Folosești proprietățile paralelelor fără paralele: alterne interne congruente sunt garantate doar dacă dreptele sunt paralele (și, invers, dacă sunt congruente, dreptele sunt paralele).

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișă de lucru: unghiuri, clasa a 6-a și fișă de lucru: drepte paralele, clasa a 6-a (printabile, cu răspunsuri).
• Unghiurile apar la Evaluarea Națională în Subiectul al II-lea: Simulare EN 2026, Subiectul al II-lea, ex. 8 (unghiuri adiacente suplementare și bisectoare, rezolvat aici) și EN 2026, Subiectul al II-lea, ex. 8 (drepte paralele și secantă, rezolvat aici).
• La evaluarea de clasa a 6-a: Evaluarea Națională clasa a 6-a 2026, itemul 7 (drepte paralele demonstrate cu unghiuri alterne interne).
• Mai multe probleme de geometrie: geometrie plană la Evaluarea Națională, rezolvări.

Întrebări frecvente

Ce sunt unghiurile complementare și suplementare? Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este 90° (de exemplu 30° și 60°) și suplementare dacă suma este 180° (de exemplu 30° și 150°).

Ce sunt unghiurile opuse la vârf? Sunt unghiurile formate de două drepte concurente care au același vârf și laturile în prelungire una față de alta. Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.

Cum recunoști unghiurile alterne interne? Sunt situate între cele două drepte tăiate de secantă și de o parte și de alta a secantei, „în Z”. Dacă dreptele sunt paralele, unghiurile alterne interne sunt congruente.

Cât este suma unghiurilor în jurul unui punct? 360°. Unghiurile de aceeași parte a unei drepte, cu vârful pe dreaptă, au suma 180°.