Numere întregi — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 6-a)

Numerele întregi sunt numerele naturale și opusele lor: Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}. Regulile de bază: la adunarea a două numere cu semne diferite scazi modulele și păstrezi semnul celui cu modulul mai mare, iar la înmulțire și împărțire „semne egale dau plus, semne diferite dau minus”.

Ce trebuie să știi

|a|=a (a≥0),|a|=−a (a<0)a−b=a+(−b),a−(−b)=a+b(+)⋅(+)=(+), (−)⋅(−)=(+), (+)⋅(−)=(−)
  • Opusul lui a este −a: opusul lui 7 este −7, opusul lui −4 este 4. Suma dintre un număr și opusul său este 0.
  • Modulul este distanța pe axă de la 0 la număr, deci nu este niciodată negativ: |−6|=6, |6|=6, |0|=0.
  • Comparare: orice număr negativ este mai mic decât 0 și decât orice număr pozitiv; dintre două numere negative este mai mare cel cu modulul mai mic: −3>−8.
  • Puteri: o putere a unui număr negativ este pozitivă dacă exponentul este par și negativă dacă exponentul este impar: (−2)4=16, (−2)3=−8. Atenție: −32=−9, dar (−3)2=9.
  • Ordinea operațiilor: întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile; parantezele se rezolvă primele.
  • Ecuații: afli necunoscuta prin operații inverse (metoda balanței sau a mersului invers) și faci proba.

Formule și reguli: formule matematică clasa a 6-a · ordinea efectuării operațiilor · puteri.

Exerciții rezolvate

Nivel ușor

Exercițiul 1. a) Scrie opusul și modulul numărului −7. b) Ordonează crescător numerele: −3,5,0,−8,2,−1.

Vezi rezolvarea pas cu pas
  1. a) Opusul lui −7 este 7 (schimbi semnul). Modulul: |−7|=7 (distanța de la 0 la −7 pe axă este 7).
  2. b) Numerele negative sunt cele mai mici. Între ele, mai mic este cel cu modulul mai mare: −8<−3<−1.
  3. Urmează 0, apoi numerele pozitive în ordine: 2<5.

Răspuns: a) opusul este 7, modulul este 7; b) −8<−3<−1<0<2<5

Exercițiul 2. Calculează: a) −8+5; b) −6−9; c) 4−(−7); d) (−12)+(+12).

Vezi rezolvarea pas cu pas
  1. a) Semne diferite: scazi modulele, 8−5=3, și păstrezi semnul lui −8 (modulul mai mare): −8+5=−3.
  2. b) −6−9=−6+(−9): semne egale, aduni modulele și păstrezi semnul: −15.
  3. c) Scăderea unui număr negativ devine adunare: 4−(−7)=4+7=11.
  4. d) Un număr adunat cu opusul său dă 0.

Răspuns: a) −3; b) −15; c) 11; d) 0

Exercițiul 3. Calculează: a) (−6)⋅(+4); b) (−5)⋅(−7); c) (−48):(−6); d) 36:(−9).

Vezi rezolvarea pas cu pas
  1. a) Semne diferite, rezultat negativ: (−6)⋅(+4)=−24.
  2. b) Semne egale, rezultat pozitiv: (−5)⋅(−7)=+35.
  3. c) Semne egale: (−48):(−6)=+8.
  4. d) Semne diferite: 36:(−9)=−4.

Răspuns: a) −24; b) 35; c) 8; d) −4

Nivel mediu

Exercițiul 4. Calculează: a) (−2)3; b) (−1)2027; c) −32 și (−3)2; d) (−2)5⋅(−2)3:(−2)6.

Vezi rezolvarea pas cu pas
  1. a) (−2)3=(−2)⋅(−2)⋅(−2)=−8 (exponent impar, rezultat negativ).
  2. b) 2027 este impar, deci (−1)2027=−1.
  3. c) La −32 puterea se aplică doar lui 3: −32=−(3⋅3)=−9. La (−3)2 baza este −3: (−3)⋅(−3)=9.
  4. d) Aceeași bază: aduni exponenții la înmulțire și îi scazi la împărțire: (−2)5+3−6=(−2)2=4.

Răspuns: a) −8; b) −1; c) −9 și 9; d) 4

Exercițiul 5. Calculează, respectând ordinea operațiilor: a) −20:(−4)+3⋅(−5)−(−2)3; b) 2⋅[−3+(−4)⋅(−2)]−(−18):3.

Vezi rezolvarea pas cu pas
  1. a) Puterea: (−2)3=−8. Împărțirea și înmulțirea: −20:(−4)=5, 3⋅(−5)=−15.
  2. Rămâne 5+(−15)−(−8)=5−15+8=−2.
  3. b) În paranteza dreaptă: (−4)⋅(−2)=8, apoi −3+8=5.
  4. 2⋅5=10 și (−18):3=−6, deci 10−(−6)=10+6=16.

Răspuns: a) −2; b) 16

Exercițiul 6. Rezolvă în Z: a) x+15=8; b) 3x−4=−19. c) Mă gândesc la un număr întreg; îl înmulțesc cu −2, adun 5 și obțin 17. La ce număr m-am gândit?

Vezi rezolvarea pas cu pas
  1. a) Scazi 15 din ambii membri: x=8−15=−7. Proba: −7+15=8.
  2. b) Aduni 4: 3x=−19+4=−15; împarți la 3: x=−5. Proba: 3⋅(−5)−4=−15−4=−19.
  3. c) Notezi numărul cu x: −2x+5=17. Scazi 5: −2x=12; împarți la −2: x=−6.
  4. Proba pentru c): (−2)⋅(−6)+5=12+5=17.

Răspuns: a) x=−7; b) x=−5; c) numărul −6

Exercițiul 7. Dimineața, la ora 7, termometrul arăta −7∘C. La prânz temperatura era +5∘C, iar seara a scăzut cu 9 grade față de prânz. a) Cu câte grade a crescut temperatura de dimineața până la prânz? b) Ce temperatură era seara?

Vezi rezolvarea pas cu pas
  1. a) Creșterea este diferența dintre temperatura de la prânz și cea de dimineața: 5−(−7)=5+7=12 grade.
  2. Pe axă: de la −7 până la 0 sunt 7 unități, de la 0 la 5 încă 5; în total 12.
  3. b) Seara: 5−9=−4.

Răspuns: a) cu 12 grade; b) −4∘C

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

Exercițiul 8. Determină numerele întregi x pentru care: a) |x|=6; b) |x|≤3; c) |x|<5 și x<−1.

Vezi rezolvarea pas cu pas
  1. a) Numerele aflate la distanța 6 de 0 pe axă: x=6 sau x=−6.
  2. b) Numerele întregi aflate la distanță cel mult 3 de 0: x∈{−3,−2,−1,0,1,2,3} (7 numere).
  3. c) |x|<5 înseamnă x∈{−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}. Dintre acestea, mai mici decât −1 sunt −4,−3,−2 (−1 nu, pentru că inegalitatea este strictă).

Răspuns: a) x∈{−6,6}; b) x∈{−3,−2,−1,0,1,2,3}; c) x∈{−4,−3,−2}

Exercițiul 9. Determină numerele întregi x care verifică inecuația −2x+1>7 și condiția x≥−6.

Vezi rezolvarea pas cu pas
  1. Aduni 2x în ambii membri (metoda balanței): 1>7+2x.
  2. Scazi 7 în ambii membri: −6>2x, adică 2x<−6, deci x<−3.
  3. Numerele întregi cu −6≤x<−3 sunt −6,−5,−4.
  4. Proba: pentru x=−4: −2⋅(−4)+1=9>7, adevărat; pentru x=−3: 6+1=7, iar 7>7 este fals, deci −3 nu este soluție.

Răspuns: x∈{−6,−5,−4}

Exercițiul 10. Calculează: a) S=1−2+3−4+5−6+…+99−100; b) T=(−1)1+(−1)2+(−1)3+…+(−1)101.

Vezi rezolvarea pas cu pas
  1. a) Grupezi termenii câte doi: (1−2)+(3−4)+…+(99−100). Fiecare paranteză este −1.
  2. Sunt 100 de termeni, deci 50 de paranteze: S=50⋅(−1)=−50.
  3. b) Puterile cu exponent impar sunt −1, cele cu exponent par sunt 1. Grupezi (−1)1+(−1)2=0, (−1)3+(−1)4=0, …, (−1)99+(−1)100=0: 50 de perechi cu suma 0.
  4. Rămâne ultimul termen: (−1)101=−1, deci T=−1.

Răspuns: a) S=−50; b) T=−1

Greșeli frecvente

  • Confunzi −32 cu (−3)2: fără paranteză, minusul nu face parte din bază: −32=−9, dar (−3)2=9.
  • Uiți să schimbi semnul la scăderea unui număr negativ: 4−(−7)=4+7=11, nu −3.
  • Compari greșit numerele negative: −8 este mai mic decât −3, chiar dacă 8 este mai mare decât 3; pe axă, −8 se află mai la stânga.
  • Scrii un modul negativ: |−5|=5, nu −5; ecuația |x|=−2 nu are nicio soluție.
  • Aplici regula semnelor de la înmulțire la adunare: −6+(−9)=−15 („minus cu minus” nu dă plus la adunare); regula semnelor este doar pentru înmulțire și împărțire.

Verifică-te

Verifică-te: 5 întrebări

Cât este −9+4?

  1. −13
  2. −5
  3. 5

Cât este (−3)⋅(−4)⋅(−1)?

  1. −12
  2. 12
  3. −7

Cât este (−2)4?

  1. −16
  2. −8
  3. 16

Cât este |−7|−|3|?

  1. 4
  2. −10
  3. 10

Soluția ecuației x−6=−10 este:

  1. 4
  2. −16
  3. −4

Exersează mai departe

Întrebări frecvente

Cum se adună două numere întregi cu semne diferite? Scazi modulul mai mic din modulul mai mare și pui semnul numărului cu modulul mai mare. De exemplu, −8+5=−3, iar 8+(−5)=3.

Care este regula semnelor la înmulțire? Două numere cu același semn au produsul pozitiv, două numere cu semne diferite au produsul negativ: (−5)⋅(−7)=35, (−6)⋅4=−24. Aceeași regulă se aplică la împărțire.

Ce este modulul unui număr întreg? Modulul este distanța de la 0 la acel număr pe axa numerelor, deci este mereu pozitiv sau zero: |−9|=9, |9|=9, |0|=0.

Cum compari două numere negative? Este mai mare numărul cu modulul mai mic, adică cel aflat mai aproape de 0 pe axă: −2>−10, pentru că |−2|=2 este mai mic decât |−10|=10.