Teorema lui Thales — exerciții rezolvate pas cu pas (clasa a 7-a)

Teorema lui Thales spune că o paralelă dusă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale: dacă $MN\parallel BC$, cu $M\in AB$ și $N\in AC$, atunci ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{AN}{NC}}$. Mai jos ai 10 exerciții rezolvate pas cu pas, cu reciproca teoremei, linia mijlocie, paralele în trapez și probleme de tip Evaluare Națională.

Ce trebuie să știi

• Teorema lui Thales: o paralelă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale.
• Reciproca: dacă $M\in (AB)$, $N\in (AC)$ și ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{AN}{NC}}$, atunci $MN\parallel BC$.
• Linia mijlocie (unește mijloacele a două laturi) este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei — este cazul particular al reciprocei, cu rapoartele egale cu 1.
• Lungimea paralelei $MN$ nu se află din teorema lui Thales, ci din teorema fundamentală a asemănării: ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ (raport „parte / întreg”).
• În trapez: o paralelă la baze determină pe laturile neparalele segmente proporționale; demonstrezi aplicând teorema lui Thales de două ori, cu ajutorul unei diagonale.

Teoria completă, cu demonstrație: teorema lui Thales — formule. Despre matematicianul grec: Thales din Milet.

Exerciții rezolvate

La exercițiile 1–6 și 8 notațiile sunt cele din figura de mai sus: $M\in (AB)$, $N\in (AC)$, $MN\parallel BC$.

Nivel ușor

1. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$, $AM=4$ cm, $MB=6$ cm și $AN=6$ cm. Calculează $NC$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $MN\parallel BC$, deci, din teorema lui Thales, ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{AN}{NC}}$.
2. Înlocuiești: ${\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{6}{NC}}$.
3. Produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: $4\cdot NC=36$, deci $NC=9$ cm.

Răspuns: $NC=9$ cm.

2. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$, $AM=3$ cm, $AB=12$ cm și $AC=20$ cm. Calculează $AN$ și $NC$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Folosești forma „parte / întreg”: ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, adică ${\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{AN}{20}}$.
2. $AN={\displaystyle \frac{3\cdot 20}{12}}=5$ cm.
3. $NC=AC-AN=20-5=15$ cm.

Răspuns: $AN=5$ cm, $NC=15$ cm.

3. În triunghiul $ABC$, $M\in (AB)$ și $N\in (AC)$. Stabilește dacă $MN\parallel BC$ în cazurile: a) $AM=5$, $MB=10$, $AN=4$, $NC=8$; b) $AM=5$, $MB=10$, $AN=4$, $NC=7$ (lungimi în cm).

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. a) ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{5}{10}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ și ${\displaystyle \frac{AN}{NC}}={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Rapoartele sunt egale, deci, din reciproca teoremei lui Thales, $MN\parallel BC$.
2. b) ${\displaystyle \frac{AN}{NC}}={\displaystyle \frac{4}{7}}\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$, deci $MN$ nu este paralelă cu $BC$ (dacă ar fi, rapoartele ar fi egale).

Răspuns: a) da; b) nu.

Nivel mediu

4. În triunghiul $ABC$, $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $AC$, iar $AB=10$ cm, $AC=12$ cm, $BC=14$ cm. Arată că $MN\parallel BC$ și calculează perimetrul triunghiului $AMN$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. $AM=MB$ și $AN=NC$, deci ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}=1={\displaystyle \frac{AN}{NC}}$; din reciproca teoremei lui Thales, $MN\parallel BC$.
2. $MN$ este linie mijlocie, deci $MN={\displaystyle \frac{BC}{2}}=7$ cm.
3. $P_{AMN}=AM+AN+MN=5+6+7=18$ cm.

Răspuns: $P_{AMN}=18$ cm.

5. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$, ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ și $AC=25$ cm. Calculează $AN$ și $NC$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Din teorema lui Thales, ${\displaystyle \frac{AN}{NC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$, deci $AN=2k$, $NC=3k$.
2. $AN+NC=AC$: $5k=25$, deci $k=5$.
3. $AN=10$ cm, $NC=15$ cm.

Răspuns: $AN=10$ cm, $NC=15$ cm.

6. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$, $AM=x$ cm, $MB=(x+2)$ cm, $AN=6$ cm și $NC=9$ cm. Află $x$ și lungimea laturii $AB$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Din teorema lui Thales: ${\displaystyle \frac{x}{x+2}}={\displaystyle \frac{6}{9}}$.
2. $9x=6(x+2)$, adică $9x=6x+12$, deci $3x=12$, $x=4$.
3. $AB=AM+MB=4+6=10$ cm. Verificare: ${\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{6}{9}}$.

Răspuns: $x=4$, $AB=10$ cm.

7. Un băț vertical lung de 1,5 m are umbra de 2 m. În același moment, umbra unui copac este de 12 m. Ce înălțime are copacul?

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Razele soarelui sunt paralele, iar bățul și copacul sunt verticale, deci triunghiurile formate de obiect, umbra lui și raza de soare au laturile respectiv paralele — sunt asemenea (așa a măsurat Thales înălțimea unei piramide).
2. Raportul dintre înălțime și umbră este același: ${\displaystyle \frac{h}{12}}={\displaystyle \frac{1,5}{2}}$.
3. $h={\displaystyle \frac{1,5\cdot 12}{2}}=9$ m.

Răspuns: copacul are 9 m.

Nivel greu (tip Evaluare Națională)

8. Triunghiul $ABC$ are $AB=12$ cm, $AC=18$ cm și $BC=15$ cm. Punctul $M\in (AB)$ are $AM=4$ cm, iar paralela prin $M$ la $BC$ intersectează $AC$ în $N$. Calculează $AN$, $NC$, $MN$ și perimetrul patrulaterului $BMNC$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Teorema lui Thales: ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, adică ${\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{AN}{18}}$, deci $AN=6$ cm și $NC=12$ cm.
2. Teorema fundamentală a asemănării: ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, deci $MN=5$ cm.
3. $BM=12-4=8$ cm, iar $P_{BMNC}=BM+MN+NC+CB=8+5+12+15=40$ cm.

Răspuns: $AN=6$ cm, $NC=12$ cm, $MN=5$ cm, $P_{BMNC}=40$ cm.

9. Trapezul $ABCD$ are $AB\parallel CD$. Punctele $E\in (AD)$ și $F\in (BC)$ sunt astfel încât $EF\parallel AB$, $AE=6$ cm, $ED=4$ cm și $BC=15$ cm. Calculează $BF$ și $FC$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Duci diagonala $AC$, care taie $EF$ în $P$. Cum $EF\parallel AB\parallel CD$, avem $EP\parallel DC$ și $PF\parallel AB$.
2. În triunghiul $ADC$, cu $EP\parallel DC$: ${\displaystyle \frac{AE}{ED}}={\displaystyle \frac{AP}{PC}}={\displaystyle \frac{6}{4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$.
3. În triunghiul $CAB$, cu $PF\parallel AB$: ${\displaystyle \frac{BF}{FC}}={\displaystyle \frac{AP}{PC}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$.
4. $BF=3k$, $FC=2k$, $5k=15$, deci $k=3$: $BF=9$ cm și $FC=6$ cm.

Răspuns: $BF=9$ cm, $FC=6$ cm.

10. În triunghiul $ABC$, cu $AB=15$ cm, $AC=12$ cm și $BC=18$ cm, punctul $G$ este centrul de greutate. Paralela prin $G$ la $BC$ intersectează $AB$ în $M$ și $AC$ în $N$. Calculează $AM$, $AN$ și $MN$.

Vezi rezolvarea pas cu pas

1. Fie $D$ mijlocul lui $BC$; $G$ se află pe mediana $AD$ și ${\displaystyle \frac{AG}{AD}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
2. În triunghiul $ABD$, $MG\parallel BD$, deci ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AG}{AD}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ și $AM={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 15=10$ cm. La fel, în triunghiul $ADC$: $AN={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 12=8$ cm.
3. Teorema fundamentală a asemănării: ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$, deci $MN=12$ cm.

Răspuns: $AM=10$ cm, $AN=8$ cm, $MN=12$ cm.

Greșeli frecvente

• Amesteci rapoartele „parte / parte” cu „parte / întreg”. Corect: ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{AN}{NC}}$ sau ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$. Greșit: ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$.
• Calculezi $MN$ cu raportul ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}$. Pentru paralela însăși raportul este ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}$. În exercițiul 8, ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ar da greșit $MN=7,5$ cm în loc de 5 cm.
• Aplici teorema fără paralelă. Teorema lui Thales cere $MN\parallel BC$; dacă paralelismul nu este dat, îl demonstrezi întâi (de exemplu, cu reciproca sau cu unghiuri).
• Rapoarte în ordine diferită la reciprocă. Compari segmentele dinspre același vârf: ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}$ cu ${\displaystyle \frac{AN}{NC}}$, nu cu ${\displaystyle \frac{NC}{AN}}$.
• În trapez scrii rapoartele „pe cruce”. Corect: ${\displaystyle \frac{AE}{ED}}={\displaystyle \frac{BF}{FC}}$ (ambele de la baza $AB$ spre baza $CD$).

Verifică-te

Exersează mai departe

• Fișe de lucru printabile, cu răspunsuri: teorema lui Thales și linia mijlocie, apoi asemănarea triunghiurilor.
• Itemi din subiectele oficiale: geometrie plană la Evaluarea Națională. Paralela la o latură apare, de exemplu, la Simulare EN 2025, Subiectul al III-lea, problema 5 și la EN 2021, Subiectul al III-lea, problema 4 (paralela prin $M$ la $AC$).
• Tot pentru clasa a 7-a: teorema lui Pitagora, radicali și raționalizare, ecuații de gradul 1.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Thales? O paralelă dusă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile lor) segmente proporționale: dacă $MN\parallel BC$, atunci $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$.

Când se folosește reciproca teoremei lui Thales? Când trebuie să demonstrezi că două drepte sunt paralele și cunoști lungimile segmentelor: dacă $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, atunci $MN\parallel BC$.

Care este diferența dintre teorema lui Thales și teorema fundamentală a asemănării? Teorema lui Thales leagă segmentele de pe laturile $AB$ și $AC$; teorema fundamentală a asemănării spune că triunghiul $AMN$ este asemenea cu $ABC$, deci dă și lungimea paralelei: $\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$.

Se aplică teorema lui Thales și în trapez? Da: o paralelă la baze împarte laturile neparalele în segmente proporționale. Se demonstrează aplicând teorema lui Thales în două triunghiuri formate de o diagonală, ca în exercițiul 9.