Fișă de lucru teorema sinusurilor și a cosinusului clasa a 9-a — 17 exerciții

Fișă de lucru cu 17 exerciții pentru clasa a 9-a despre aplicațiile trigonometriei în geometrie: teorema sinusurilor, teorema cosinusului, formulele pentru aria triunghiului, razele cercurilor înscris și circumscris și rezolvarea triunghiului. Răspunsurile sunt la final.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — aplicații ale trigonometriei în geometrie, clasa a 9-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Notații: \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), \(p\) semiperimetrul, \(R\) raza cercului circumscris, \(r\) raza cercului înscris.ABCabc

I. Nivel ușor

  1. Calculează aria triunghiului \(ABC\) în care \(b=4\), \(c=6\) și \(\angle A=30^\circ\).
  2. Calculează, cu formula \(\mathcal{A}=\frac{ab\sin C}{2}\), aria triunghiului echilateral cu latura 6.
  3. În triunghiul \(ABC\), \(b=3\), \(c=5\) și \(\angle A=60^\circ\). Calculează latura \(a\).
  4. În triunghiul \(ABC\), \(b=3\), \(c=5\) și \(\angle A=120^\circ\). Calculează latura \(a\).
  5. În triunghiul \(ABC\), \(BC=6\) și \(\angle A=30^\circ\). Calculează raza cercului circumscris.
  6. Calculează, cu formula lui Heron, aria triunghiului cu laturile 13, 14 și 15.

II. Nivel mediu

  1. Triunghiul \(ABC\) are laturile \(AB=5\), \(BC=7\), \(AC=8\). Calculează măsura unghiului \(A\).
  2. Stabilește natura triunghiului (ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic) cu laturile 4, 5 și 7.
  3. În triunghiul \(ABC\), \(\angle A=45^\circ\), \(\angle B=60^\circ\) și \(a=\sqrt{6}\). Calculează latura \(b\).
  4. Pentru triunghiul cu laturile 13, 14 și 15, calculează razele \(R\) și \(r\).
  5. Un paralelogram are laturile de 4 cm și 6 cm, iar unghiul dintre ele de \(60^\circ\). Calculează aria și lungimile diagonalelor.
  6. Triunghiul \(ABC\) are \(b=4\), \(c=12\) și aria 12. Determină măsura unghiului \(A\).

III. Nivel greu

  1. Rezolvă parțial triunghiul \(ABC\) cu \(b=8\), \(c=5\), \(\angle A=60^\circ\): calculează \(a\), aria, \(R\) și \(r\).
  2. Rezolvă triunghiul \(ABC\) cu \(\angle A=30^\circ\), \(\angle B=45^\circ\), \(a=2\) (se dă \(\sin 105^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)).
  3. Două nave pleacă din același port pe direcții care formează un unghi de \(120^\circ\). După o oră, una a parcurs 6 km, iar cealaltă 10 km. Ce distanță este între ele?
  4. Arată că, dacă în triunghiul \(ABC\) are loc relația \(a^2=b^2+c^2+bc\), atunci \(\angle A=120^\circ\).
  5. Triunghiul isoscel \(ABC\) are \(AB=AC=10\) și \(\angle A=120^\circ\). Calculează \(BC\), aria și raza \(R\).
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(\mathcal{A}=\frac{bc\sin A}{2}=6\)
  2. \(9\sqrt{3}\)
  3. \(a=\sqrt{19}\) (\(a^2=9+25-15\))
  4. \(a=7\) (\(a^2=9+25+15=49\))
  5. \(R=\frac{a}{2\sin A}=6\)
  6. 84 (\(p=21\), \(\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}\))
  7. \(\angle A=60^\circ\) (\(\cos A=\frac{5^2+8^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}\))
  8. Obtuzunghic: \(4^2+5^2=41\lt 49=7^2\) (cosinusul unghiului opus laturii 7 este \(-\frac{1}{5}\))
  9. \(b=\frac{a\sin B}{\sin A}=3\)
  10. \(R=\frac{abc}{4\mathcal{A}}=\frac{65}{8}\), \(r=\frac{\mathcal{A}}{p}=4\)
  11. \(\mathcal{A}=12\sqrt{3}\) cm²; diagonalele: \(2\sqrt{7}\) cm și \(2\sqrt{19}\) cm
  12. \(\sin A=\frac{1}{2}\), deci \(\angle A=30^\circ\) sau \(\angle A=150^\circ\)
  13. \(a=7\), \(\mathcal{A}=10\sqrt{3}\), \(R=\frac{7\sqrt{3}}{3}\), \(r=\sqrt{3}\) (\(p=10\))
  14. \(\angle C=105^\circ\), \(b=2\sqrt{2}\), \(c=\sqrt{6}+\sqrt{2}\)
  15. 14 km (\(d^2=36+100+60=196\))
  16. Din teorema cosinusului, \(-2bc\cos A=bc\), deci \(\cos A=-\frac{1}{2}\) și \(\angle A=120^\circ\)
  17. \(BC=10\sqrt{3}\), \(\mathcal{A}=25\sqrt{3}\), \(R=10\)

Teorie: Teorema sinusului și teorema cosinusului · Aria triunghiului — toate formulele · Calculator aria triunghiului · Formule clasa a 9-a · Alte fișe: toate fișele de lucru