Funcția exponențială și funcția logaritmică

Q: De ce baza trebuie să fie diferită de 1?

Pentru a = 1 am avea 1^x = 1 pentru orice x , o funcție constantă, care nu este injectivă și nu are inversă, deci logaritmul în baza 1 nu poate fi definit.

Q: Poate exponențiala să ia valori negative sau zero?

Nu. Pentru orice bază a > 0 și orice x real, a^x > 0 , motiv pentru care ecuații precum 2^x = -4 sau 3^x = 0 nu au soluții reale.

Formule

Funcția exponențială și funcția logaritmică sunt inverse una alteia și formează o pereche esențială pentru Bacalaureat. Exponențiala ridică o bază fixă la puterea $x$ , iar logaritmul răspunde la întrebarea inversă: la ce putere trebuie ridicată baza pentru a obține un număr dat.

Definiții

Funcția exponențială este $f : R \to (0, \infty)$ , $f (x) = a^{x}$ , unde $a > 0$ și $a \neq 1$ . Funcția logaritmică este inversa ei: $g : (0, \infty) \to R$ , $g (x) = \log_{a} x$ . Legătura fundamentală: $\log_{a} x = y \Leftrightarrow a^{y} = x$ . De aici rezultă $a^{\log_{a} x} = x$ și $\log_{a} a^{x} = x$ .

Proprietăți de calcul

Pentru puteri: $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ , $\frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x - y}$ , $(a^{x})^{y} = a^{x y}$ , $a^{0} = 1$ . Pentru logaritmi: $\log_{a} (x y) = \log_{a} x + \log_{a} y$ , $\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y$ , $\log_{a} x^{n} = n \log_{a} x$ , $\log_{a} 1 = 0$ , $\log_{a} a = 1$ . Schimbarea bazei: $\log_{a} x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$ .

Monotonie și grafic

Ambele funcții au aceeași monotonie, dictată de bază: pentru $a > 1$ sunt strict crescătoare, iar pentru $0 < a < 1$ sunt strict descrescătoare. Graficul exponențialei trece prin punctul $(0, 1)$ , este situat în întregime deasupra axei $O x$ și se apropie oricât de mult de aceasta (axa $O x$ este asimptotă orizontală). Graficul logaritmului trece prin $(1, 0)$ , există doar pentru $x > 0$ , iar axa $O y$ este asimptotă verticală. Cele două grafice sunt simetrice față de prima bisectoare $y = x$ .

Ecuații exponențiale și logaritmice simple

Deoarece funcțiile sunt injective, avem: $a^{u (x)} = a^{v (x)} \Leftrightarrow u (x) = v (x)$ , respectiv $\log_{a} u (x) = \log_{a} v (x) \Leftrightarrow u (x) = v (x)$ , cu condițiile de existență $u (x) > 0$ . Ecuația $\log_{a} x = b$ are soluția $x = a^{b}$ . Atenție: la ecuațiile logaritmice se pun întotdeauna condițiile de existență înainte de rezolvare, iar la final se verifică soluțiile.

Întrebări frecvente

De ce baza trebuie să fie diferită de 1? Pentru $a = 1$ am avea $1^{x} = 1$ pentru orice $x$ , o funcție constantă, care nu este injectivă și nu are inversă, deci logaritmul în baza 1 nu poate fi definit.

Poate exponențiala să ia valori negative sau zero? Nu. Pentru orice bază $a > 0$ și orice $x$ real, $a^{x} > 0$ , motiv pentru care ecuații precum $2^{x} = - 4$ sau $3^{x} = 0$ nu au soluții reale.

Istoric: Leonhard Euler (1707–1783) — a notat cu e baza exponențialei naturale și a studiat sistematic funcția exponențială.

Exersează: fișă de lucru printabilă — logaritmi și exponențiale, clasa a 10-a, cu 18 exerciții și răspunsuri.

Verifică-te: 3 întrebări

Funcția $f (x) = a^{x}$ ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ) este strict crescătoare dacă:

$a > 1$
$0 < a < 1$
$a > 0$

Rezolvă ecuația $\log_{3} x = 2$ .

$x = 6$
$x = 9$
$x = 8$

Funcția $f (x) = \log_{2} (x - 3)$ este definită pentru:

$x > 0$
$x \geq 3$
$x > 3$

Exemple

Exemple rezolvate

Problemă (model Bacalaureat): Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x + 1} + 2^{x} = 24$ .

Rezolvare: Folosim proprietatea puterilor $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ și dăm factor comun: $2 \cdot 2^{x} + 2^{x} = 24$ , adică $3 \cdot 2^{x} = 24$ . Împărțim la 3 și obținem $2^{x} = 8$ . Scriem membrul drept ca putere a lui 2: $2^{x} = 2^{3}$ . Funcția exponențială cu baza $2 > 1$ este injectivă, deci exponenții sunt egali: $x = 3$ . Verificare: $2^{4} + 2^{3} = 16 + 8 = 24$ , adevărat. Soluția ecuației este $x = 3$ .

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →