Funcția exponențială și funcția logaritmică sunt inverse una alteia și formează o pereche esențială pentru Bacalaureat. Exponențiala ridică o bază fixă la puterea \( x \), iar logaritmul răspunde la întrebarea inversă: la ce putere trebuie ridicată baza pentru a obține un număr dat.
Definiții
Funcția exponențială este \( f : \mathbb{R} \to (0, \infty) \), \( f(x) = a^x \), unde \( a > 0 \) și \( a \neq 1 \). Funcția logaritmică este inversa ei: \( g : (0, \infty) \to \mathbb{R} \), \( g(x) = \log_a x \). Legătura fundamentală: \( \log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x \). De aici rezultă \( a^{\log_a x} = x \) și \( \log_a a^x = x \).
Proprietăți de calcul
Pentru puteri: \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \), \( \dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \), \( (a^x)^y = a^{xy} \), \( a^0 = 1 \). Pentru logaritmi: \( \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y \), \( \log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y \), \( \log_a x^n = n \log_a x \), \( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \). Schimbarea bazei: \( \log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a} \).
Monotonie și grafic
Ambele funcții au aceeași monotonie, dictată de bază: pentru \( a > 1 \) sunt strict crescătoare, iar pentru \( 0 < a < 1 \) sunt strict descrescătoare. Graficul exponențialei trece prin punctul \( (0, 1) \), este situat în întregime deasupra axei \( Ox \) și se apropie oricât de mult de aceasta (axa \( Ox \) este asimptotă orizontală). Graficul logaritmului trece prin \( (1, 0) \), există doar pentru \( x > 0 \), iar axa \( Oy \) este asimptotă verticală. Cele două grafice sunt simetrice față de prima bisectoare \( y = x \).
Ecuații exponențiale și logaritmice simple
Deoarece funcțiile sunt injective, avem: \( a^{u(x)} = a^{v(x)} \Leftrightarrow u(x) = v(x) \), respectiv \( \log_a u(x) = \log_a v(x) \Leftrightarrow u(x) = v(x) \), cu condițiile de existență \( u(x) > 0 \). Ecuația \( \log_a x = b \) are soluția \( x = a^b \). Atenție: la ecuațiile logaritmice se pun întotdeauna condițiile de existență înainte de rezolvare, iar la final se verifică soluțiile.
Întrebări frecvente
De ce baza trebuie să fie diferită de 1? Pentru \( a = 1 \) am avea \( 1^x = 1 \) pentru orice \( x \), o funcție constantă, care nu este injectivă și nu are inversă, deci logaritmul în baza 1 nu poate fi definit.
Poate exponențiala să ia valori negative sau zero? Nu. Pentru orice bază \( a > 0 \) și orice \( x \) real, \( a^x > 0 \), motiv pentru care ecuații precum \( 2^x = -4 \) sau \( 3^x = 0 \) nu au soluții reale.