Ecuații exponențiale — metode și exerciții rezolvate

Q: Cum rezolv o ecuație exponențială dacă bazele nu se pot egala?

Logaritmezi ambii membri (de obicei cu sau în baza uneia dintre puteri): din a^x=b rezultă x=_a b, iar din a^f(x)=b^g(x) rezultă f(x) a=g(x) b.

Q: Când se schimbă sensul la o inecuație exponențială?

Când baza este între 0 și 1: funcția a^x este atunci descrescătoare, deci a^f(x) g(x).

Formule

O ecuație exponențială conține necunoscuta la exponent. Metoda de bază: dacă $a > 0$ , $a \neq 1$ , atunci $a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x)$ , deoarece funcția exponențială este injectivă. Când bazele nu se pot egala, se logaritmează: $a^{x} = b (b > 0) ⟺ x = \log_{a} b$ .

Ce este o ecuație exponențială

O ecuație în care necunoscuta apare la exponentul unei puteri cu baza $a > 0$ , $a \neq 1$ se numește ecuație exponențială. Rezolvarea se bazează pe proprietățile funcției $f (x) = a^{x}$ : este strict pozitivă, injectivă, strict crescătoare pentru $a > 1$ și strict descrescătoare pentru $0 < a < 1$ . Reamintește regulile de calcul cu puteri: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ , $(a^{m})^{n} = a^{m n}$ , $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

1. Ecuații de forma a^f(x) = a^g(x) (aceeași bază)

a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x), a > 0, a \neq 1.

Dacă bazele diferă, încercăm să le scriem ca puteri ale aceleiași baze: $8 = 2^{3}$ , $16 = 2^{4}$ , $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ , $\sqrt{5} = 5^{1 / 2}$ . De exemplu, $8^{x - 2} = 16^{2 x - 1} \Leftrightarrow 2^{3 x - 6} = 2^{8 x - 4} \Leftrightarrow x = - \frac{2}{5}$ .

2. Ecuații de forma a^f(x) = b (logaritmare)

a^{f (x)} = b ⟺ {\begin{cases} f (x) = \log_{a} b, & b > 0 \\ fără soluții, & b \leq 0 \end{cases}

Atenție: și $b = 0$ dă mulțimea vidă, deoarece $a^{f (x)} > 0$ pentru orice $x$ . Exemplu: $3^{x} = 7 \Rightarrow x = \log_{3} 7$ ; $5^{x - 11} = - 3$ nu are soluții. Pentru proprietățile logaritmilor vezi logaritmul unui număr real pozitiv.

Varianta cu baze diferite $a^{f (x)} = b^{g (x)}$ se rezolvă logaritmând ambii membri: $f (x) \ln a = g (x) \ln b$ .

3. Substituția t = a^x

Ecuațiile de forma $α a^{2 x} + β a^{x} + γ = 0$ devin, cu $t = a^{x}$ , ecuații de gradul al II-lea:

α t^{2} + β t + γ = 0, t > 0.

Se păstrează doar soluțiile pozitive $t$ , apoi se revine la $a^{x} = t$ . Exemplu: $4^{x} + 7 \cdot 2^{x} - 8 = 0$ , $t = 2^{x}$ : $t^{2} + 7 t - 8 = 0 \Rightarrow t = 1$ ( $t = - 8$ se respinge) $\Rightarrow x = 0$ . Pentru ecuația în $t$ vezi ecuația de gradul al II-lea.

4. Factor comun

Când apar puteri ale aceleiași baze cu exponenți care diferă prin constante, se dă factor comun puterea cu exponentul cel mai mic:

2^{x} + 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 14 \Rightarrow 2^{x} (1 + 2 + 4) = 14 \Rightarrow 2^{x} = 2 \Rightarrow x = 1.

5. Ecuații omogene

Forma $α a^{2 x} + β (a b)^{x} + γ b^{2 x} = 0$ se împarte prin $b^{2 x} > 0$ și se notează $t = {(\frac{a}{b})}^{x} > 0$ :

α t^{2} + β t + γ = 0.

Exemplu tipic: $9^{x} + 6^{x} = 2 \cdot 4^{x}$ , cu $t = {(\frac{3}{2})}^{x}$ .

6. Ecuații de tipul a^x + b^x = c^x (monotonie)

Când nu se poate aplica nicio transformare algebrică, ghicim o soluție și arătăm că este unică folosind monotonia. De exemplu, $3^{x} + 4^{x} = 5^{x} \Leftrightarrow {(\frac{3}{5})}^{x} + {(\frac{4}{5})}^{x} = 1$ . Membrul stâng este strict descrescător (baze subunitare), deci ia valoarea $1$ cel mult o dată; cum $x = 2$ verifică, $S = {2}$ . Analog, $2^{x} + 3^{x} = 13$ are soluția unică $x = 2$ (membrul stâng strict crescător).

Inecuații exponențiale

Sensul inegalității depinde de bază (vezi funcția exponențială):

Baza	$a^{f (x)} < a^{g (x)}$ este echivalentă cu
$a > 1$	$f (x) < g (x)$ (sensul se păstrează)
$0 < a < 1$	$f (x) > g (x)$ (sensul se schimbă)

Exemplu: $2^{x + 1} \leq 8 \Leftrightarrow 2^{x + 1} \leq 2^{3} \Leftrightarrow x \leq 2$ , deci $S = (- \infty, 2]$ . Pentru alte tipuri vezi inecuațiile.

Greșeli frecvente

Păstrarea soluțiilor $t \leq 0$ după substituția $t = a^{x}$ — ele trebuie respinse.
Scrierea $a^{x} = b \Rightarrow x = \log_{a} b$ și pentru $b \leq 0$ , unde logaritmul nu există.
Egalarea exponenților când bazele sunt diferite (de exemplu $2^{x} = 3^{x} \Rightarrow$ „ $x = x$ ” — corect doar $x = 0$ ).
Uitarea schimbării sensului la inecuații cu baza între $0$ și $1$ .
Calcul greșit cu puteri: $2^{x + 2} = 2^{x} + 4$ în loc de $2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}$ .

Întrebări frecvente

Cum rezolv o ecuație exponențială dacă bazele nu se pot egala? Logaritmezi ambii membri (de obicei cu $\ln$ sau în baza uneia dintre puteri): din $a^{x} = b$ rezultă $x = \log_{a} b$ , iar din $a^{f (x)} = b^{g (x)}$ rezultă $f (x) \ln a = g (x) \ln b$ .

De ce trebuie ca t să fie pozitiv la substituția t = a^x? Pentru că o putere cu bază pozitivă este întotdeauna strict pozitivă, deci $a^{x} = t$ nu are soluții pentru $t \leq 0$ .

Când se schimbă sensul la o inecuație exponențială? Când baza este între $0$ și $1$ : funcția $a^{x}$ este atunci descrescătoare, deci $a^{f (x)} < a^{g (x)} \Leftrightarrow f (x) > g (x)$ .

Calculează rapid: calculator logaritmi — log în orice bază, ln, lg și ecuația aˣ = b, exact și pas cu pas.

Exersează: fișă de lucru printabilă — ecuații exponențiale, clasa a 10-a, cu 19 exerciții și răspunsuri.

Verifică-te: 3 întrebări

Pentru $a > 0$ , $a \neq 1$ , ecuația $a^{f (x)} = a^{g (x)}$ este echivalentă cu:

$f (x) = g (x)$
$f (x) \cdot g (x) = 1$
$f (x) = a \cdot g (x)$

Rezolvă ecuația $2^{x + 1} = 32$ .

$x = 5$
$x = 16$
$x = 4$

Ecuația $3^{x} = - 9$ :

are soluția $x = - 2$
nu are soluții reale
are soluția $x = 2$

Exemple

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — aducere la aceeași bază

a) $2^{x} = 8 \Leftrightarrow 2^{x} = 2^{3} \Leftrightarrow x = 3$ .

b) $8^{x - 2} = 16^{2 x - 1} \Leftrightarrow$ $(2^{3})^{x - 2} = (2^{4})^{2 x - 1} \Leftrightarrow$ $3 x - 6 = 8 x - 4 \Leftrightarrow - 5 x = 2 \Leftrightarrow x = - \frac{2}{5}$ .

Exemplul 2 — logaritmare

a) $3^{x} = 7 \Rightarrow x = \log_{3} 7$ .

b) $5^{x - 11} = - 3$ : membrul stâng este strict pozitiv, deci ecuația nu are soluții, $S = \emptyset$ .

Exemplul 3 — substituție

Rezolvați $4^{x} + 7 \cdot 2^{x} - 8 = 0$ .

$4^{x} = (2^{x})^{2}$ . Notăm $t = 2^{x} > 0$ : $t^{2} + 7 t - 8 = 0 \Rightarrow t_{1} = 1, t_{2} = - 8$ .

$t_{2} = - 8 < 0$ se respinge. $2^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$ . $S = {0}$ .

Exemplul 4 — factor comun

Rezolvați $2^{x} + 2^{x + 1} + 2^{x + 2} = 14$ .

$2^{x} (1 + 2 + 4) = 14 \Rightarrow$ $7 \cdot 2^{x} = 14 \Rightarrow$ $2^{x} = 2 \Rightarrow x = 1$ .

Exemplul 5 — ecuație omogenă

Rezolvați $9^{x} + 6^{x} = 2 \cdot 4^{x}$ .

Împărțim prin $4^{x} > 0$ : ${(\frac{9}{4})}^{x} + {(\frac{6}{4})}^{x} = 2$ , adică ${(\frac{3}{2})}^{2 x} + {(\frac{3}{2})}^{x} - 2 = 0$ .

Cu $t = {(\frac{3}{2})}^{x} > 0$ : $t^{2} + t - 2 = 0 \Rightarrow t = 1$ sau $t = - 2$ (respins). ${(\frac{3}{2})}^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$ .

Exemplul 6 — soluție unică prin monotonie

Rezolvați $3^{x} + 4^{x} = 5^{x}$ .

Împărțim prin $5^{x}$ : ${(\frac{3}{5})}^{x} + {(\frac{4}{5})}^{x} = 1$ . Funcția $h (x) = {(\frac{3}{5})}^{x} + {(\frac{4}{5})}^{x}$ este strict descrescătoare (sumă de funcții exponențiale cu baze subunitare), deci injectivă. $h (2) = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$ , așadar $x = 2$ este singura soluție.

Exerciții

Exerciții propuse

Rezolvați în $R$ :

$3^{x + 1} = 27$
$25^{x} = 125$
$2^{x^{2} - 3 x} = \frac{1}{4}$
$5^{x} = 12$
$2^{x + 3} - 2^{x} = 56$
$9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$
$2^{x} + 3^{x} = 13$
Inecuația ${(\frac{1}{3})}^{x - 1} > 9$

Răspunsuri

$x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$
$5^{2 x} = 5^{3} \Rightarrow x = \frac{3}{2}$
$x^{2} - 3 x = - 2 \Rightarrow x \in {1, 2}$
$x = \log_{5} 12$
$2^{x} (8 - 1) = 56 \Rightarrow 2^{x} = 8 \Rightarrow x = 3$
$t = 3^{x}$ : $t^{2} - 4 t + 3 = 0 \Rightarrow$ $t \in {1, 3} \Rightarrow x \in {0, 1}$
$x = 2$ , unică (membrul stâng strict crescător)
$9 = {(\frac{1}{3})}^{- 2}$ , baza subunitară: $x - 1 < - 2 \Rightarrow x < - 1$ , $S = (- \infty, - 1)$

Actualizat la

Testează-te la acest capitol Grile din subiecte oficiale de Evaluare Națională, cu scor și explicații →

Ecuații exponențiale — metode de rezolvare, inecuații, exerciții rezolvate