Funcția de gradul al II-lea

Definiție:

 Funcția f:, fx=ax2+bx+ca0,a,b, cse numește funcția de gradul al doilea cu coeficienții a, b, c.

Ecuația atașată

 

Forma canonică

a funcției de gradul al doilea este: fx=ax+b2a2-Δ4a.

Monotonia funcției:

Fie funcția f:, fx=ax2+bx+ca0

a) dacă a > 0, atunci f este strict descrescătoare pe -,-b2a   și strict crescătoare pe -b2a,

b) dacă a < 0, atunci f este strict crescătoare pe -,-b2a   și strict descrescătoare pe -b2a,

Graficul funcției 

de gradul al doilea este o parabolă:

Etapele realizării graficului:

1.a) Intersecția cu axele de coordonate:

 GfOx:

Dacă Δ>0   atunci ecuația are 2 rădăcini distincte reale:  x1,2=-b±Δ 2a

Ax1,0,Bx2,0

Dacă Δ=atunci ecuația are o rădăcină dublă:  x1=x2=-b2a   

Ax1,0

Dacă Δ<atunci ecuația nu are rădăcini reale:   x1,2

atunci Gf nu se intersectează cu axa Ox

  b) Gf⋂ Oy: C(0, c). 

2. Determinarea vârfului: V-b2a,4a

3. Determinarea altor puncte.

4. Reprezentare punctelor pe grafic, apoi le unim în formă de parabolă.

Imaginea funcției: 

I m f = - Δ 4 a , ;   dacă a > 0.

 dacă a < 0.

Ecuația axei de simetrie:

  x = - b 2 a

Semnul

funcției de gradul al doilea:

Dacă Δ>atunci ecuația are 2 rădăcini distincte reale atunci între rădăcini vom avea semn contrar lui a și în afara rădăcinilor va fi semnul lui a, iar fx1=0,fx2=0

Dacă Δ=atunci ecuația are o rădăcină dublă atunci va fi peste tot semnul lui a, iar fx1=0

Dacă Δ<atunci ecuația nu are rădăcini reale atunci va fi peste tot semnul lui a.


Algebra :: Funcții :: Funcții, noțiuni introductive

Algebra :: Funcții :: Funcția de gradul întâi

Algebra :: Funcții :: Funcția de gradul al II-lea