Funcția de gradul al II-lea (funcția de gradul 2) este funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax^2+bx+c\), cu \(a\neq 0\). Graficul ei este o parabolă, iar studiul complet — vârful parabolei, forma canonică, monotonia și tabelul de variație, semnul funcției, imaginea — apare constant în subiectele de Bacalaureat și în clasa a IX-a. Ecuația atașată \(ax^2+bx+c=0\) este tratată separat la ecuația de gradul al II-lea.
Definiție
Funcția \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=ax^2+bx+c\), unde \(a,b,c\in\mathbb{R}\) și \(a\neq 0\), se numește funcție de gradul al II-lea cu coeficienții \(a,b,c\).
Ecuația atașată este \(ax^2+bx+c=0\), cu discriminantul \(\Delta=b^2-4ac\). Rădăcinile ei (când există) sunt zerourile funcției, adică punctele în care graficul taie axa \(Ox\).
Graficul funcției de gradul al II-lea: parabola
Graficul este o parabolă cu axa de simetrie verticală:
- dacă \(a>0\), parabola „ține apă” (are ramurile în sus) și vârful este punct de minim;
- dacă \(a<0\), parabola „nu ține apă” (are ramurile în jos) și vârful este punct de maxim.
Vârful parabolei și axa de simetrie
Vârful parabolei are coordonatele:
\[V\left(-\frac{b}{2a},\ -\frac{\Delta}{4a}\right),\qquad\text{adică } x_V=-\frac{b}{2a},\quad y_V=f(x_V)=-\frac{\Delta}{4a}\]
Axa de simetrie a parabolei este dreapta verticală \(x=-\dfrac{b}{2a}\). Punctele simetrice față de axă au aceeași valoare: \(f(x_V-t)=f(x_V+t)\) pentru orice \(t\). Dacă \(\Delta>0\), \(x_V\) este mijlocul segmentului dintre rădăcini: \(x_V=\dfrac{x_1+x_2}{2}\).
Forma canonică
Prin restrângerea pătratului, funcția se scrie:
\[f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}=a\,(x-x_V)^2+y_V\]
Forma canonică arată imediat vârful, axa de simetrie și valoarea extremă. Când \(\Delta\ge 0\), există și forma factorizată \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Intersecțiile graficului cu axele de coordonate
Cu axa \(Oy\): \(x=0\Rightarrow f(0)=c\), deci punctul \(C(0,c)\). Graficul taie întotdeauna axa \(Oy\), într-un singur punct.
Cu axa \(Ox\): se rezolvă \(f(x)=0\), adică \(ax^2+bx+c=0\):
- \(\Delta>0\): două puncte \(A(x_1,0)\) și \(B(x_2,0)\), cu \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\);
- \(\Delta=0\): un singur punct \(A\left(-\dfrac{b}{2a},0\right)\) — parabola este tangentă la \(Ox\), vârful se află pe axă;
- \(\Delta<0\): graficul nu intersectează axa \(Ox\); parabola este în întregime deasupra (\(a>0\)) sau dedesubtul (\(a<0\)) axei.
Etapele trasării graficului
- Se determină semnul lui \(a\) (orientarea ramurilor).
- Se calculează \(\Delta\) și intersecțiile cu \(Ox\) (dacă există) și cu \(Oy\): \(C(0,c)\).
- Se determină vârful \(V\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\) și axa de simetrie.
- Se completează un tabel de valori cu 2–3 puncte suplimentare, simetrice față de axă.
- Se reprezintă punctele și se unesc printr-o curbă netedă (parabola).
Monotonia funcției și tabelul de variație
Funcția de gradul al II-lea schimbă monotonia exact în \(x_V=-\dfrac{b}{2a}\):
- dacă \(a>0\): \(f\) este strict descrescătoare pe \(\left(-\infty,-\dfrac{b}{2a}\right]\) și strict crescătoare pe \(\left[-\dfrac{b}{2a},+\infty\right)\);
- dacă \(a<0\): \(f\) este strict crescătoare pe \(\left(-\infty,-\dfrac{b}{2a}\right]\) și strict descrescătoare pe \(\left[-\dfrac{b}{2a},+\infty\right)\).
Tabelul de variație pentru \(a>0\):
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-\dfrac{b}{2a}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(-\dfrac{\Delta}{4a}\) (min) | ↗ | \(+\infty\) |
Tabelul de variație pentru \(a<0\):
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-\dfrac{b}{2a}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | \(-\dfrac{\Delta}{4a}\) (max) | ↘ | \(-\infty\) |
Valoarea extremă (minim / maxim)
- dacă \(a>0\): \(f\) are un minim, \(f_{\min}=-\dfrac{\Delta}{4a}\), atins pentru \(x=-\dfrac{b}{2a}\);
- dacă \(a<0\): \(f\) are un maxim, \(f_{\max}=-\dfrac{\Delta}{4a}\), atins pentru \(x=-\dfrac{b}{2a}\).
Valoarea extremă se poate obține și direct, calculând \(f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\).
Imaginea funcției
\[\operatorname{Im} f=\left[-\frac{\Delta}{4a},+\infty\right)\ \text{dacă } a>0,\qquad \operatorname{Im} f=\left(-\infty,-\frac{\Delta}{4a}\right]\ \text{dacă } a<0\]
Funcția de gradul al II-lea nu este injectivă pe \(\mathbb{R}\) (două puncte simetrice față de axă au aceeași imagine) și nu este surjectivă pe \(\mathbb{R}\); devine bijectivă dacă se restrânge la \(\left[-\dfrac{b}{2a},+\infty\right)\to\operatorname{Im} f\).
Semnul funcției de gradul al II-lea
Semnul lui \(f(x)\) depinde de \(\Delta\) și de semnul lui \(a\):
- \(\Delta>0\): între rădăcini \(f\) are semn contrar lui \(a\), în afara rădăcinilor are semnul lui \(a\), iar \(f(x_1)=f(x_2)=0\);
- \(\Delta=0\): \(f\) are peste tot semnul lui \(a\), cu excepția lui \(x_1=-\dfrac{b}{2a}\), unde \(f(x_1)=0\);
- \(\Delta<0\): \(f\) are peste tot semnul lui \(a\) (nu se anulează niciodată).
Tabelul de semn pentru \(\Delta>0\) (\(x_1<x_2\)):
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | semnul lui \(a\) | \(0\) | semn contrar lui \(a\) | \(0\) | semnul lui \(a\) |
Consecințe utile: \(f(x)>0\) pentru orice \(x\in\mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow a>0\) și \(\Delta<0\); \(f(x)\ge 0\) pentru orice \(x\) \(\Leftrightarrow a>0\) și \(\Delta\le 0\); analog pentru \(f(x)<0\) cu \(a<0\). Semnul funcției este instrumentul de bază pentru inecuațiile de gradul al II-lea.
Poziția unei drepte față de parabolă
Fie parabola \(y=ax^2+bx+c\) și dreapta \(d:\ y=mx+n\) (vezi și funcția de gradul I). Abscisele punctelor comune sunt soluțiile ecuației \(ax^2+bx+c=mx+n\), adică
\[ax^2+(b-m)x+(c-n)=0,\qquad \Delta_d=(b-m)^2-4a(c-n)\]
- \(\Delta_d>0\): dreapta este secantă (taie parabola în două puncte);
- \(\Delta_d=0\): dreapta este tangentă parabolei (un singur punct comun);
- \(\Delta_d<0\): dreapta este exterioară (nu intersectează parabola).
Caz particular: dreapta orizontală \(y=k\) este tangentă parabolei exact când \(k=-\dfrac{\Delta}{4a}\) (trece prin vârf).
Întrebări frecvente
Cum aflu rapid vârful parabolei?
Calculezi \(x_V=-\dfrac{b}{2a}\), apoi \(y_V=f(x_V)\) (sau \(y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}\)). Pentru \(f(x)=x^2-6x+5\): \(x_V=3\), \(y_V=9-18+5=-4\), deci \(V(3,-4)\).
Ce înseamnă „tabel de variație” și cum îl completez?
Este un tabel cu două linii: pe prima trec \(x\) cu \(-\infty\), \(-\dfrac{b}{2a}\), \(+\infty\); pe a doua trec săgeți care arată monotonia (↘ apoi ↗ dacă \(a>0\), ↗ apoi ↘ dacă \(a<0\)) și valoarea extremă \(-\dfrac{\Delta}{4a}\) sub \(x_V\).
Când este funcția de gradul 2 pozitivă pentru orice x real?
Când parabola este în întregime deasupra axei \(Ox\): \(a>0\) și \(\Delta<0\). Dacă cere \(f(x)\ge 0\), condiția devine \(a>0\) și \(\Delta\le 0\). Exersează cu grile din subiecte oficiale pe evaluare.matepenet.ro și la Evaluare Națională.