Calculator descompunere în factori primi — pas cu pas, divizori, număr prim?

A descompune un număr în factori primi înseamnă a-l scrie ca produs de numere prime. Orice număr natural mai mare decât 1 are o singură descompunere (dacă nu ținem cont de ordinea factorilor) — este teorema fundamentală a aritmeticii. Calculatorul de mai sus face împărțirile succesive în tabelul clasic cu bară verticală, scrie rezultatul ca produs de puteri, îți spune dacă numărul este prim, câți divizori are (cu formula \((a+1)(b+1)\dots\)), care este suma lor și îi afișează pe toți.

Cum se descompune un număr în factori primi

Scrii numărul în stânga unei bare verticale. În dreapta scrii cel mai mic număr prim care îl divide (încerci pe rând 2, 3, 5, 7, 11, 13, …), iar sub număr scrii câtul împărțirii. Repeți cu fiecare cât, până obții 1. Factorii primi sunt numerele din dreapta barei; factorii egali se grupează ca puteri. Ca să găsești repede divizorii mici, folosește criteriile de divizibilitate: cu 2 dacă ultima cifră este pară, cu 3 dacă suma cifrelor se divide cu 3, cu 5 dacă ultima cifră este 0 sau 5.

Exemplul 1: descompunerea lui 360

\(360 : 2 = 180\), \(180 : 2 = 90\), \(90 : 2 = 45\), \(45 : 3 = 15\), \(15 : 3 = 5\), \(5 : 5 = 1\). În dreapta barei au apărut factorii 2, 2, 2, 3, 3, 5, deci

\[ 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5. \]

Regulile de calcul cu puteri (de exemplu \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\)) sunt pe pagina puteri.

Exemplul 2: este 97 număr prim?

Un număr \(n \ge 2\) este prim dacă are exact doi divizori: 1 și pe el însuși. Nu trebuie să încerci toate numerele până la \(n\): dacă \(n = a \cdot b\) cu \(a \le b\), atunci \(a \le \sqrt{n}\). Așadar ajunge să verifici numerele prime până la \(\sqrt{n}\). Pentru 97, \(\sqrt{97} \approx 9{,}8\), deci încerci 2, 3, 5 și 7 — niciunul nu îl divide, așa că 97 este prim. Un număr care nu este prim (și este mai mare decât 1) se numește compus. Numărul 1 nu este nici prim, nici compus.

Numărul și suma divizorilor

Dacă \(n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\), orice divizor are forma \(p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdots p_k^{b_k}\), cu fiecare exponent \(b_i\) ales între 0 și \(a_i\). De aici formula pentru numărul divizorilor:

\[ \tau(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1). \]

Pentru \(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\): \(\tau(360) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) de divizori. Suma divizorilor se obține înmulțind sumele de puteri ale fiecărui factor:

\[ \sigma(360) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)(1 + 5) = 15 \cdot 13 \cdot 6 = 1170. \]

Când suma divizorilor proprii (toți, mai puțin numărul însuși) este egală cu numărul, acesta se numește număr perfect: \(6 = 1 + 2 + 3\), \(28\), \(496\), \(8128\). Un număr este pătrat perfect exact atunci când toți exponenții din descompunere sunt pari — util la scoaterea factorilor de sub radicali: \(\sqrt{360} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 10} = 6\sqrt{10}\).

Exemplul 3: 1176

\(1176 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7^2\), deci are \((3+1)(1+1)(2+1) = 24\) de divizori, nu este prim și nici pătrat perfect (exponentul lui 2 și al lui 3 sunt impari).

La ce folosește descompunerea

Cu descompunerea afli cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun — vezi calculatorul cmmdc și cmmmc și regulile de pe pagina cmmdc și cmmmc —, simplifici fracții (calculator simplificare fracții) și scoți factori de sub radical.

Greșeli frecvente

• Factori care nu sunt primi. \(360 = 4 \cdot 9 \cdot 10\) este o scriere ca produs, dar nu o descompunere în factori primi: 4, 9 și 10 se mai descompun.
• Oprirea înainte de 1. Ultimul cât din tabel trebuie să fie 1; dacă te oprești la 15, ai uitat factorii 3 și 5.
• Numărul divizorilor fără +1. \(72 = 2^3 \cdot 3^2\) are \((3+1)(2+1) = 12\) divizori, nu \(3 \cdot 2 = 6\).
• „1 este prim”. Fals: 1 are un singur divizor. Iar 2 este singurul număr prim par.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama dacă un număr este prim? Încerci împărțirea lui la numerele prime 2, 3, 5, 7, 11, … până la radicalul numărului. Dacă niciunul nu îl divide, numărul este prim. Calculatorul face aceste încercări pentru numere de până la 16 cifre și îți arată un divizor, dacă numărul este compus.

Câți divizori are un număr? Îl descompui în factori primi, aduni 1 la fiecare exponent și înmulțești rezultatele. De exemplu, \(100 = 2^2 \cdot 5^2\) are \(3 \cdot 3 = 9\) divizori: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

Descompunerea în factori primi este unică? Da. Orice număr natural mai mare decât 1 se scrie într-un singur fel ca produs de numere prime, dacă nu ținem cont de ordinea factorilor. Indiferent cu ce divizor prim începi, ajungi la același rezultat.

De ce nu se descompune 0 sau 1? Numărul 1 nu are niciun factor prim, iar 0 se divide cu orice număr nenul, deci are o infinitate de divizori. De aceea descompunerea se face pentru numere naturale mai mari sau egale cu 2.