Fișă de lucru combinatorică clasa a 10-a — 18 exerciții cu răspunsuri

Fișă de lucru cu 18 exerciții de combinatorică pentru clasa a 10-a: factoriale, permutări, aranjamente și combinări, proprietăți, ecuații și probleme de numărare. Exercițiile urcă de la ușor la greu; răspunsurile sunt la final, pe pagină separată la printare.

(sau salveaz-o ca PDF din fereastra de printare)

Nume: ______________________________Clasa: ________Data: ______________

Fișă de lucru — combinatorică (permutări, aranjamente, combinări), clasa a 10-a. Rezolvă exercițiile în ordine; scrie rezolvarea în spațiul liber de sub fiecare enunț. Notații: \(P_n=n!\), \(A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\), \(C_n^k=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\).

I. Nivel ușor

  1. Calculează: \(5!\), \(0!\) și \(\frac{6!}{4!}\).
  2. Calculează \(A_5^2\) și \(C_6^2\).
  3. Calculează \(C_{10}^{8}\) folosind formula combinărilor complementare.
  4. În câte moduri se pot așeza 4 elevi pe 4 scaune aflate în linie?
  5. Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5?
  6. Câte submulțimi cu 2 elemente are o mulțime cu 7 elemente?

II. Nivel mediu

  1. Calculează \(C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5\).
  2. Câte submulțimi are mulțimea \(\{1,2,3,4,5,6\}\)? Câte dintre ele au exact 3 elemente?
  3. Într-o clasă sunt 12 fete și 10 băieți. În câte moduri se poate forma o echipă de 2 fete și 2 băieți?
  4. Simplifică \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}\), unde \(n\ge 1\).
  5. Rezolvă ecuația \(A_n^2=20\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n\ge 2\).
  6. Rezolvă ecuația \(C_n^2=28\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n\ge 2\).
  7. Adevărat sau fals? a) \(C_7^3=C_7^4\); b) \(A_n^k=k!\cdot C_n^k\); c) \(C_n^1+C_n^n=n\).

III. Nivel greu

  1. Rezolvă ecuația \(A_n^3=10\,C_n^2\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n\ge 3\).
  2. Rezolvă inecuația \(C_n^2\lt 10\), \(n\in\mathbb{N}\), \(n\ge 2\).
  3. Câte numere naturale de patru cifre distincte se pot forma cu cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5? Câte dintre ele sunt pare?
  4. Se consideră 8 puncte în plan, oricare trei necoliniare. Câte drepte determină? Câte triunghiuri au vârfurile în aceste puncte?
  5. În câte moduri se pot așeza 6 persoane pe un rând de 6 scaune, astfel încât două persoane anume să stea alături?
Răspunsuri — apasă pentru a le afișa

Răspunsuri

  1. \(120\), \(1\), \(30\)
  2. \(A_5^2=20\), \(C_6^2=15\)
  3. \(C_{10}^8=C_{10}^2=45\)
  4. \(P_4=24\)
  5. \(A_5^3=60\)
  6. \(C_7^2=21\)
  7. \(2^5=32\)
  8. \(2^6=64\); \(C_6^3=20\)
  9. \(C_{12}^2\cdot C_{10}^2=66\cdot 45=2970\)
  10. \(n(n+1)\)
  11. \(n=5\) (\(n(n-1)=20\))
  12. \(n=8\) (\(n(n-1)=56\))
  13. a) A; b) A; c) F (suma este \(n+1\))
  14. \(n=7\) (\(n(n-1)(n-2)=5n(n-1)\), deci \(n-2=5\))
  15. \(n\in\{2,3,4\}\) (\(n(n-1)\lt 20\))
  16. 300 de numere (\(5\cdot A_5^3\)); 156 sunt pare (60 se termină în 0, \(2\cdot 4\cdot A_4^2=96\) în 2 sau 4)
  17. \(C_8^2=28\) drepte; \(C_8^3=56\) triunghiuri
  18. \(2\cdot 5!=240\)

Teorie: Combinatorică — formule · Calculator combinări, aranjamente, permutări · Formule clasa a 10-a · Alte fișe: toate fișele de lucru