O funcție \(f:A\to B\) este injectivă dacă valori diferite ale lui \(x\) au imagini diferite, surjectivă dacă orice \(y\in B\) este atins, și bijectivă dacă este simultan injectivă și surjectivă. Numai funcțiile bijective sunt inversabile, iar graficul inversei \(f^{-1}\) este simetricul graficului lui \(f\) față de dreapta \(y=x\).
Monotonia funcțiilor
Fie \(f:A\to\mathbb{R}\), \(A\subseteq\mathbb{R}\). Funcția este:
- strict crescătoare pe \(A\) dacă \(x_1\lt x_2\Rightarrow f(x_1)\lt f(x_2)\);
- crescătoare dacă \(x_1\lt x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)\);
- strict descrescătoare dacă \(x_1\lt x_2\Rightarrow f(x_1)\gt f(x_2)\);
- descrescătoare dacă \(x_1\lt x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)\).
O funcție crescătoare sau descrescătoare se numește monotonă. Metoda practică este raportul de variație:
\[ R(x_1,x_2)=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2},\qquad x_1\neq x_2. \]Dacă \(R\gt 0\) pentru orice \(x_1\neq x_2\) din \(A\), funcția este strict crescătoare; dacă \(R\lt 0\), este strict descrescătoare (\(R\ge 0\), respectiv \(R\le 0\), pentru monotonie în sens larg). Pentru \(f(x)=ax+b\) raportul este chiar \(a\).
Funcții pare și impare
Fie \(A\subseteq\mathbb{R}\) o mulțime simetrică față de \(0\) (\(x\in A\Rightarrow -x\in A\)). Funcția \(f:A\to\mathbb{R}\) este:
\[ \text{pară} \iff f(-x)=f(x),\ \forall x\in A;\qquad \text{impară} \iff f(-x)=-f(x),\ \forall x\in A. \]- graficul unei funcții pare este simetric față de axa \(Oy\) (ex.: \(x^2,\ x^4,\ |x|,\ \cos x\));
- graficul unei funcții impare este simetric față de originea \(O\) (ex.: \(x,\ x^3,\ \sin x\)); dacă \(0\in A\), atunci \(f(0)=0\).
Majoritatea funcțiilor nu sunt nici pare, nici impare (de exemplu \(f(x)=x+1\)). Dacă domeniul nu este simetric, întrebarea nici nu se pune.
Funcții periodice
\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) este periodică dacă există \(T\neq 0\) astfel încât \(f(x+T)=f(x)\) pentru orice \(x\). Cel mai mic \(T\gt 0\) cu această proprietate se numește perioadă principală. Exemple: \(\sin x\) și \(\cos x\) au perioada \(2\pi\), \(\operatorname{tg} x\) are perioada \(\pi\), partea fracționară \(\{x\}\) are perioada \(1\).
Funcții mărginite
\(f\) este mărginită dacă există \(m,M\in\mathbb{R}\) astfel încât \(m\le f(x)\le M\) pentru orice \(x\) din domeniu, echivalent \(|f(x)|\le K\) pentru un \(K\gt 0\). Exemplu: \(f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\) satisface \(0\lt f(x)\le 1\), deci este mărginită.
Funcții injective
\[ f \text{ injectivă} \iff \big(x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)\big) \iff \big(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\big). \]- metoda algebrică: presupunem \(f(x_1)=f(x_2)\) și deducem \(x_1=x_2\);
- metoda grafică: orice paralelă la \(Ox\) taie graficul în cel mult un punct;
- orice funcție strict monotonă este injectivă;
- pentru a arăta că nu e injectivă, este suficient un contraexemplu: \(x_1\neq x_2\) cu \(f(x_1)=f(x_2)\).
Funcții surjective
\[ f:A\to B \text{ surjectivă} \iff \forall y\in B,\ \exists x\in A:\ f(x)=y \iff f(A)=B. \]- metoda ecuației: rezolvăm \(f(x)=y\) în raport cu \(x\) și verificăm că soluția există în \(A\) pentru orice \(y\in B\);
- metoda grafică: orice paralelă la \(Ox\) dusă printr-un punct al codomeniului taie graficul în cel puțin un punct;
- surjectivitatea depinde de codomeniu: \(f(x)=x^2\) nu e surjectivă pe \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), dar este surjectivă ca funcție \(\mathbb{R}\to[0,\infty)\).
Funcții bijective
\(f:A\to B\) este bijectivă dacă este injectivă și surjectivă, adică ecuația \(f(x)=y\) are soluție unică \(x\in A\) pentru orice \(y\in B\). Grafic: orice paralelă la \(Ox\) prin puncte ale codomeniului taie graficul în exact un punct.
| Proprietate | Ecuația \(f(x)=y\), \(y\in B\) | Paralela la \(Ox\) taie graficul |
|---|---|---|
| injectivă | cel mult o soluție | în cel mult un punct |
| surjectivă | cel puțin o soluție | în cel puțin un punct |
| bijectivă | exact o soluție | în exact un punct |
Funcții inversabile și funcția inversă
\(f:A\to B\) este inversabilă dacă există \(g:B\to A\) astfel încât \(g\circ f=1_A\) și \(f\circ g=1_B\). Funcția \(g\) se notează \(f^{-1}\). Teorema fundamentală:
\[ f \text{ inversabilă} \iff f \text{ bijectivă},\qquad f^{-1}(y)=x \iff f(x)=y. \]Cum găsim inversa: scriem \(y=f(x)\), exprimăm \(x\) în funcție de \(y\), apoi (opțional) redenumim variabila. Exemplu: \(f(x)=2x+3\Rightarrow x=\dfrac{y-3}{2}\Rightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2}\).
Graficele lui \(f\) și \(f^{-1}\) sunt simetrice față de prima bisectoare \(y=x\): \(M(a,b)\in G_f\iff M'(b,a)\in G_{f^{-1}}\). Inversa unei funcții strict crescătoare este tot strict crescătoare. Exemple importante: \(\sqrt{x}\) este inversa lui \(x^2\) pe \([0,\infty)\), iar funcția logaritmică este inversa funcției exponențiale.
Greșeli frecvente
- A verifica paritatea pe un domeniu care nu este simetric față de \(0\).
- A crede că o funcție care nu e pară trebuie să fie impară — majoritatea nu sunt nici una, nici alta.
- A discuta surjectivitatea fără a ține cont de codomeniu.
- A nota \(f^{-1}(x)\) cu \(\dfrac{1}{f(x)}\): inversa funcției nu este inversul valorii.
- A căuta inversa unei funcții care nu este bijectivă (de exemplu \(x^2\) pe \(\mathbb{R}\)).
Noțiunile de bază (domeniu, grafic, compunere) sunt în funcții — noțiuni introductive; aplicații directe găsești la funcția de gradul I și la funcția de gradul al II-lea.
Întrebări frecvente
Cum demonstrez că o funcție este injectivă? Presupui \(f(x_1)=f(x_2)\) și arăți că rezultă \(x_1=x_2\). Alternativ, arăți că funcția este strict monotonă, sau observi pe grafic că orice dreaptă orizontală îl taie în cel mult un punct.
Ce diferență este între funcție surjectivă și bijectivă? Surjectivă înseamnă că fiecare element din codomeniu are cel puțin o preimagine; bijectivă înseamnă că are exact una, adică funcția este și injectivă, și surjectivă.
Când este o funcție inversabilă? Exact atunci când este bijectivă. Inversa \(f^{-1}\) se obține rezolvând ecuația \(y=f(x)\) în raport cu \(x\), iar graficul ei este simetricul graficului lui \(f\) față de dreapta \(y=x\).