Siruri

Noțiunea de șir

Definiție:

Se numește șir de numere reale, orice funcție $x:N-A\to R$ unde A este o submulțime finită a lui N. Numărul x(n) se notează prin $x_n$ și se numește termenul de rang n al șirului x. Șirul x se notează ${\left(x_n\right)}_{n\in N}$ sau $\left(x_n\right)$

Moduri de a defini un șir:

1. Șir definit descriptiv prin descrierea fiecărui termen al său.

Exemplu:  x₁ = 1, x₂ = 22, x₃ = 333, …, $x_n=nnn...n$

1. Șir definit cu ajutorul unei formule

Exemplu:  $x_n=n+2$

1. Șir definit printr-o relație de recurență:

Exemplu:  x₁ = 1,  x_n+1 = 3x_n – 2,

Mărginirea unui șir:

Definiție:

Șirul  $\left(x_n\right)$ este mărginit inferior dacă ∃m ∈ ℝ astfel încât $m\le \left(x_n\right)$  ∀n ∈ ℕ.

Șirul $\left(x_n\right)$ este mărginit superior dacă ∃M ∈ ℝ astfel încât$M\ge \left(x_n\right)$  ∀n ∈ ℕ.

Șirul $\left(x_n\right)$ este mărginit dacă ∃m, M ∈ ℝ astfel încât $m\le \left(x_n\right)\le M$ ∀n ∈ ℕ.  

Monotonia unui șir:

Definiții:

Șirul $\left(x_n\right)$ este monoton crescător dacă  $x_n\le x_{n+1}$ ∀ n ∈ ℕ.

Șirul $\left(x_n\right)$ este monoton descrescător dacă $x_n\ge x_{n+1}$ ∀ n ∈ ℕ.

Pentru a stabili monotonia unui șir se calculează diferența a doi termeni consecutivi (D) sau raportul acestora (R):

monoton crescător: $D\ge 0,R\ge 1$         

monoton descrescător:     $D\le 0,R\le 1$