Calculator ecuația de gradul 2 — rezolvare pas cu pas (Δ, rădăcini, Viète)

Ecuația de gradul al doilea \(ax^2 + bx + c = 0\) (cu \(a \neq 0\)) se rezolvă întotdeauna în aceiași pași: calculezi discriminantul \(\Delta = b^2 - 4ac\), te uiți la semnul lui și aplici formula rădăcinilor. Calculatorul de mai sus face exact asta și afișează fiecare pas: ecuația cu coeficienții identificați, Δ calculat, formula cu valorile înlocuite, rădăcinile (exacte când se poate, altfel cu 4 zecimale, inclusiv rădăcinile complexe când Δ < 0), verificarea cu relațiile lui Viète, descompunerea în factori și vârful parabolei. Folosește-l ca să-ți verifici temele, nu ca să le sari: scrie mai întâi rezolvarea ta, apoi compară pașii.

Formula rădăcinilor

\[ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta = b^2 - 4ac \]

Formula se obține prin „completarea pătratului”: se împarte ecuația la \(a\), se adună în ambii membri \(\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\) și se obține \(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\). De aici, expresia \(b^2 - 4ac\) de sub radical — discriminantul — decide câte soluții reale există. Toate formulele, cu demonstrație și cazuri particulare (ecuații incomplete, cu \(b = 0\) sau \(c = 0\)), sunt pe pagina ecuația de gradul 2; lista completă a tipurilor de ecuații este în secțiunea ecuații.

Cele trei cazuri după Δ

Semnul lui Δ	Rădăcini	Formula	Graficul funcției \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
Δ > 0	două rădăcini reale distincte	\( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)	parabola taie axa Ox în două puncte
Δ = 0	o rădăcină reală dublă	\( x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a} \)	parabola este tangentă la Ox în vârf
Δ < 0	nicio rădăcină reală (două rădăcini complexe conjugate)	\( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} \)	parabola nu atinge axa Ox

Legătura cu graficul este explicată pe pagina funcția de gradul 2: vârful parabolei are coordonatele \(V\left(-\dfrac{b}{2a},\, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)\), iar semnul lui \(a\) spune dacă brațele sunt în sus (\(a > 0\), minim) sau în jos (\(a < 0\), maxim).

Relațiile lui Viète

Dacă \(x_1\) și \(x_2\) sunt rădăcinile ecuației \(ax^2 + bx + c = 0\), atunci:

\[ S = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \]

Relațiile funcționează în toate cele trei cazuri (și pentru rădăcinile complexe) și au două utilizări practice. Prima: verificarea — după ce ai găsit rădăcinile, aduni și înmulțești; dacă nu obții \(-b/a\) și \(c/a\), ai greșit undeva. A doua: găsirea rapidă a rădăcinilor întregi — pentru \(x^2 - 5x + 6 = 0\) cauți două numere cu suma 5 și produsul 6 și găsești imediat 2 și 3, fără discriminant. Invers, ecuația cu rădăcinile date se scrie \(x^2 - Sx + P = 0\).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 (Δ > 0): \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Avem \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\). \(\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0\), deci \( x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 1}{2} \), adică \(x_1 = 3\), \(x_2 = 2\). Verificare Viète: \(3 + 2 = 5 = -b/a\), \(3 \cdot 2 = 6 = c/a\). Descompunere: \(x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)\).

Exemplul 2 (Δ = 0): \(x^2 + 2x + 1 = 0\). \(\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0\), deci rădăcină dublă \(x_1 = x_2 = -\dfrac{2}{2} = -1\). Descompunere: \((x + 1)^2\) — este chiar un pătrat perfect, ceea ce se întâmplă mereu când \(\Delta = 0\).

Exemplul 3 (Δ < 0): \(x^2 + x + 1 = 0\). \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\). În mulțimea numerelor reale ecuația nu are soluții (la Evaluarea Națională și în clasa a IX-a răspunsul este „\(S = \varnothing\)”). În mulțimea numerelor complexe, \( x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \) — două rădăcini complexe conjugate, care verifică tot \(S = -1\) și \(P = 1\).

Exemplul 4 (coeficienți necomozi): \(2x^2 + x - 1 = 0\). \(\Delta = 1 + 8 = 9\), \(\sqrt{\Delta} = 3\), \( x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm 3}{4} \), deci \(x_1 = \dfrac{1}{2}\), \(x_2 = -1\). Descompunere: \(2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)(x + 1) = (2x - 1)(x + 1)\).

Greșeli frecvente

• Semnul lui b. În \(x^2 - 3x + 2 = 0\), \(b = -3\), nu 3. Formula începe cu \(-b = 3\). Scrie coeficienții explicit înainte să calculezi.
• Pătratul unui număr negativ. \((-5)^2 = 25\), nu \(-25\). Pune paranteze.
• Împărțirea doar a lui \(-b\) la \(2a\). Toată expresia \(-b \pm \sqrt{\Delta}\) se împarte la \(2a\), nu doar primul termen.
• Uitarea lui a în \(2a\) și în \(4ac\). Când \(a \neq 1\) (de exemplu \(2x^2 + x - 1 = 0\)), numitorul este 4, iar \(4ac = -8\).
• Δ < 0 interpretat ca „soluție negativă”. Semnul lui Δ nu are legătură cu semnul rădăcinilor: ecuația \(x^2 + 2x + 5 = 0\) are Δ = −16 și nu are rădăcini reale, în timp ce \(x^2 + 3x + 2 = 0\) are Δ = 1 și rădăcinile negative −1 și −2.
• Ecuația nu e adusă la forma standard. Pentru \(x^2 = 3x - 2\) trebuie mai întâi să treci totul într-un membru: \(x^2 - 3x + 2 = 0\).

Întrebări frecvente

Cum rezolv o ecuație de gradul 2? Aduci ecuația la forma \(ax^2 + bx + c = 0\), identifici \(a\), \(b\), \(c\), calculezi \(\Delta = b^2 - 4ac\) și aplici \( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \). Dacă Δ = 0 există o singură rădăcină (dublă), iar dacă Δ < 0 nu există rădăcini reale. Pentru ecuațiile incomplete (\(b = 0\) sau \(c = 0\)) poți rezolva și direct: \(x^2 = -c/a\), respectiv \(x(ax + b) = 0\).

Ce se întâmplă când Δ este negativ? Nu există rădăcini reale, pentru că nu putem extrage radical dintr-un număr negativ în ℝ; graficul funcției nu intersectează axa Ox. În liceu (clasa a X-a, numere complexe) se introduce \(i^2 = -1\) și ecuația capătă două rădăcini complexe conjugate \( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} \). Calculatorul le afișează pe amândouă.

Cum verific rădăcinile cu relațiile lui Viète? Calculezi \(x_1 + x_2\) și \(x_1 \cdot x_2\) și le compari cu \(-b/a\) și \(c/a\). Pentru \(x^2 - 3x + 2 = 0\): rădăcinile 2 și 1 dau suma 3 = −(−3)/1 și produsul 2 = 2/1, deci sunt corecte. Este o verificare de 10 secunde care prinde aproape orice greșeală de semn — ia-ți obiceiul s-o faci la subiectele de Evaluare Națională și la teste.